随机信号分析课件2(常建平).ppt
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第2章随机信号的时域分析常建平,信号是个随时间、空间、或其它某个参量变化的,携带某种信息的物理量。
通常遇到最多的是时间信号,是随时间变化的物理量。
由于我们讨论的是随机的时间信号,其幅度、相位随机变化,无法由确定的时间函数来描述。
而随机信号的统计规律则是确定的,因此,人们用统计学方法建立了随机信号的数学模型随机过程。
下面由一个试验实例来建立随机过程的概念。
举例:
在相同条件下,对同一雷达接收机的内部噪声电压(或电流)经过大量的重复测试后,设观测到的所有的可能结果有m种,记录下m个不相同的波形。
2.1随机过程的基本概念,尽管从总体上看随机过程各次所得的结果可能不尽相同,是随机的。
但是就其单次实验结果k而言,它是确定的,是可以用一个确定时间函数表示的。
因此,如果能观察到随机过程的所有可能结果,每个结果用一个确定函数表示,则随机过程则可以用所有这些确定函数的总体或来描述。
以上是所有可能结果的集合,尽管在每次测量以前,不能事先确定哪条波形将会出现,但事先可以确定“总会”在这m个波形中“出现一个”。
即:
中每一个结果k总有一个波形与其对应。
而对应于所有不同的实验结果,得到的一族时间波形,而它们的总体称为“随机过程”。
相对所有实验结果而言,这一族时间函数的总体构成了随机过程,其中称随机过程的样本函数,而所有样本函数的集合则构成了随机过程的“样本函数空间”。
可见随机过程必定是两个参变量的函数X(t,),tT,。
对于某个时刻t=ti,X(ti,)通常称为随机过程X(t,)在t=ti时刻的“状态”。
它仅是参变量的函数,对所有实验结果而言,它随机地取X(ti,1),X(ti,k),X(ti,m)中的任一个“值”所以随机过程X(t,)在t=ti时刻的“状态”X(ti,)是定义在上的一个“随机变量”Xi。
而随机过程X(t,)在t=tj时刻的“状态”X(tj,)是定义在上的另一个“随机变量”Xj。
随着t的变化,得到一个个不同的“状态”X(t1,),X(ti,),X(tn,)是一个个不同的随机变量X1,X2,Xn。
所以又可以将随机过程X(t,)看成一个“随时间变化的随机变量X(t)”。
对于随机过程X(t)而言:
固定,t变化一个确定的时间函数。
t固定,变化一个随机变量(状态)。
t固定,固定一个确定的值。
,X(t,m),t变化,变化随机过程(一族时间函数的总体,或随时间变化的随机变量),一般随机变量写成:
X,Y,Z。
一般随机过程写成:
X(t),Y(t),Z(t)一般样本函数写成:
,脚标k对应中第k个样本。
2.1.2随机过程的分类一、按过程的时间和状态是连续?
还是离散?
来分类。
连续型随机过程X(t,).的时间和状态均是连续的。
时间连续过程的样本函数在时间上是连续的。
状态连续过程在任一时刻的状态Xi取值连续,是连续型随机变量。
离散型随机过程Y(t,)的时间是连续的,状态是离散的。
状态离散过程在任一时刻的状态Yj取离散值,是离散型随机变量。
其概率分布如:
连续随机序列时间离散、状态连续时间离散离散时间用序号n代替t。
过程的样本函数在时间上是离散的,构成样本序列。
状态连续过程的状态Xj仍取连续值,是连续型随机变量。
其概率密度如:
离散随机序列时间离散、状态离散时间离散过程在时间上离散的,构成随机序列。
状态离散过程的状态Wi取离散值,是离散型随机变量。
二、按随机过程的概率分布或性质来分类1)、高斯过程、泊松过程、维纳过程其每一个状态Xj均为高斯分布、泊松分布、维纳分布。
2)、平稳随机过程过程的一阶,二阶矩不随时间的变化而变化3)、独立增量过程每一个状态的增量之间相互独立。
213、随机过程的概率分布例:
随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,tn状态X(t1),X(t2),X(tn)构成n维随机变量X(t1),X(t2),X(tn),当t0,n时的n维随机变量近似随机过程。
因此,可以借用对n维随机变量的分析研究来“替代”或“近似”对随机过程的分析研究。
一、随机过程的一维分布随机过程X(t)在任一固定时刻t1T,其状态是一维随机变量,其分布函数可以反应随机过程X(t)在整个时间段T上的所有一维状态的概率分布情况。
所以定义随机过程X(t)的一维分布函数:
一维概率密度:
一维分布只能描述随机过程X(t)在任一孤立时刻的统计特性,而不能反应随机过程X(t)的各个状态之间的关系。
二、随机过程的二维分布随机过程X(t)在任意两个固定时刻t1T,t2T的状态X(t1),X(t2)构成二维随机变量X1,X2,其联合分布函数:
随着(t1,t2)的变化,可以表示随机过程X(t)在整个时间段T上,任意两个时刻的状态的联合概率分布情况。
所以定义随机过程X(t)二维分布函数:
随机过程X(t)二维概率密度:
三、随机过程X(t)的n维概率分布随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,tn状态X(t1)、X(t2)、X(tn)构成n维随机变量X1,X2,Xn。
用类似上面的方法,我们可以定义随机过程X(t)的n维分布函数为:
n维概率密度为:
同多维随机变量一样,随机过程X(t)的n维概率分布具有下列主要性质:
1)2)3),4)5)6)如果X(t1),X(t2),X(tn)统计独立,则有,214、随机过程的数字特征一、数学期望如果将过程X(t)中的t看成是固定的,则X(t)就是一个随机变量,它随机的取值,其在t时刻取值的概率密度为。
据期望的定义:
mx(t)描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心即X(t)在各个时刻的状态(随机变量)的数学期望。
二、随机过程X(t)的均方值和方差同理,把过程X(t)中的t视为固定时,X(t)为时刻t的状态(随机变量)。
其二阶原点矩:
将t视为变量时,即为过程X(t)的均方值。
同理,过程X(t)的方差:
过程X(t)的均方差:
故离散型随机过程Y(t)的数学期望为:
对离散型随机过程Y(t),tT,若所有状态取值的样本空间为y1,y2,ym。
可用利函数表示其一维概率密度。
即:
iI=1,m其中表示t时刻状态Y(t)取值为yi的概率。
均方值为:
方差为:
三、随机过程的自相关函数下面两个随机过程X(t),Y(t)它们的期望和方差都相同,mx(t)=my(t),x(t)=y(t)。
但从样本函数看有明显不同。
(t)随时间变化慢,不同时刻的两个状态X(t1),X(t2)之间的依赖性强(相关性强)。
y(t)随时间变化快,不同时刻的两个状态Y(t1),Y(t2)之间的依赖性弱(相关性弱)。
因此期望和方差不能反应过程内部变化快慢、相关性强弱的状况。
一般用来描述随机过程“任意两个时刻的两个状态之间内在联系”的重要数字特征自相关函数定义为:
它反应了任意两个时刻的状态X(t1)与X(t2)之间的“相关程度”。
状态X(t1)与X(t2)之间的相关程度也可以用自协方差函数来描述:
随机过程的自相关系数定义为:
若离散型随机过程Y(t)所有状态可能取值的范围是y,则该过程的自相关函数为:
注:
随机过程的期望、方差、自相关函数、协方差函数、自相关系数等存在的条件是:
例2.2、设随机过程X(t)=Ut,U在(0,1)上均匀分布,求EX(t),DX(t),Rx(t1,t2),Cx(t1,t2)。
解:
例2.3若一随机过程由下图所示的四条样本函数组成,而且每条样本函数出现的概率相等,求RX(t1,t2)。
解:
由题意可知,随机过程X(t)在t1,t2两个时刻为两个离散随机变量。
所以可列出联合分布率如下:
习题:
2-1、2-2、2-3、2-4,2.1.5随机过程的特征函数一、一维特征函数将X(t)视为某一固定t时刻的状态,则随机变量X(t)的特征函数:
将t看成变量,就是随机过程X(t)的特征函数。
特征函数的逆变换:
n阶原点矩:
二维特征函数随机过程X(t)在任意两个时刻t1,t2的状态构成二维随机变量,它们的联合特征函数为:
又称作随机过程X(t)的二维特征函数。
二维特征函数的逆变换:
所以,随机过程X(t)的相关函数可以用其二维特征函数来求:
若将上式两边对变量1,2各求一次偏导数,,据逆转公式,由过程X(t)的n维特征函数可求得n维概率密度。
三.n维特征函数,离散型随机过程的特征函数将t固定,则离散型随机过程X(t)是在t时刻的状态,若X(t)(随机变量)随机的取值i,i=1,2,,其概率,,则离散型随机过程的一维特征函数定义为,同理,定义两个时刻t1,t2的状态X(t1),X(t2)的联合特征函数为离散型随机过程的二维特征函数,2.2.1平稳随机过程粗略的说随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。
严平稳随机过程1.定义设有随机过程X(t),tT,若对于任意n和任意t1t2tn,(tiT)时刻的n个状态的n维概率密度,不随时间平移t而变化。
(t为任意值),则称该过程为严平稳随机过程(或狭义平稳过程)。
为了形象的说明问题,我们暂且假定随机过程的所有状态X(t)可以用纵轴表示,见下图。
严平稳过程的统计特性与所选取的“时间起点”无关,无论从什么时间开始测量n个状态,所得到的统计特性是完全一样的。
即:
X(t)与X(t+t)具有相同的概率分布及数字特征。
2、严平稳过程的概率密度及数字特征
(1)、严平稳过程的一维概率密度与时间无关,
(2)、严平稳过程的二维概率密度只与t1、t2的时间间隔=t2-t1(时间差)有关,而与“时间起点”无关。
因此有:
严平稳过程的一维数字特征与时间无关,因此:
严平稳过程的二维数字特征仅是(时间差)的函数,综上所述:
要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?
是很困难的。
:
一般在实用中,只要产生随机过程的主要物理条件,在时间进程中不变化。
则此过程就可以认为是平稳的。
例如:
在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”,由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关,所以此噪声可以认为是平稳过程。
b):
另一方面,对有些非平稳过程,可以根据需要,如果它在所观测的时间段内是平稳的,就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。
即在观测的有限时间段内,认为是平稳过程。
c):
一般在工程中,通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。
即:
讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。
二、宽平稳过程1、定义若二阶矩过程()X(t)满足:
因此,工程中平稳过程的定义如下:
EX(t)=mx常数Rx(t1,t2)=Rx()只与时间间隔(=t2-t1)有关,则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”(广义平稳过程)。
可见:
一个均方值有限的严平稳过程,一定是宽平稳过程。
反之:
一个宽平稳过程,则不一定是严平稳过程。
例2.4设随机过程式中,皆为常数,是在上均匀分布的随机变量。
试问:
X(t)是否是平稳随机过程?
为什么?
解:
由题意可知,随机变量的概率密度为因而,我们根据定义式,求得过程X(t)的均值,自相关函数和均方值分别为,过程X(t)的均值为“0”(常数),,可见,自相关函数仅与时间间隔有关,均方值为“”有限,故过程X(t)是宽平稳过程。
0,例2.5设两个随机过程X1(t)=Y,X2(t)=tY,Y是随机变量。
讨论它们的平稳性。
解:
1)常数可见X1(t)是平稳过程。
(也是严平稳过程)2)非常数,所以X2(t)是非平稳过程。
1、平稳过程的自相关函数在上的值是非负值。
在下章将看到表示平稳过程X(t)的“平均功率”。
2、即自相关函数在是变量的偶函数。
证明:
同理可得,,222平稳过程的自相关函数性质,3、即自相关函数在上具有最大值。
证明:
任何正函数的数学期望恒为非负值,即,对于平稳过程X(t),有代入前式,可得于是同理可得:
即自协方差函数在上也具有最大值。
值得注意的是这里并不排除在其它地方的也有可能出现同样的最大值。
例如,随机相位正弦信号的自相关函数,在,n=0,1,2,时,均出现最大值。
4)若平稳过程X(t)满足条件X(t+T)=X(t),则称它为周期平稳过程,其中T为过程的周期。
周期平稳过程的自相关函数必为周期函数,且它的周期与过程的周期相同。
证明:
由自相关函数的定义和周期性条件,容易得到,5、若平稳过程X(t)含有一个周期分量,那么Rx()也可能含有一个同周期的周期分量。
例如:
设某接收机的输入混合信号X(t)是随机相位正弦信号S(t)和噪声电压N(t)之和。
即:
例如:
X(t)=cos(0t+),在(0,2)上均匀分布,常数,则自相关函数与X(t)有相同的周期2。
式中为在(0,2)上均匀分布的随机变量,N(t)为平稳过程,且对于所有t而言,与N(t)统计独立。
于是,我们很容易求出X(t)的自相关函数为:
由此可见,Rx()含有与X(t)相同周期的周期分量Rs()。
证明:
对于此类非周期平稳过程,当增大时,随机变量X(t)与之间的相关性会减弱;在的极限情况下,两者互相独立,故有:
同理可得,6、若平稳过程中不含有任何周期分量,则有,即:
7、若非周期平稳过程X(t)含有平均分量(均值),则自相关函数也含有平均分量。
即,由于,非周期平稳过程有则有因此在时,可得到,例2.7已知平稳过程X(t)的自相关函数为求:
X(t)的均值,均方值,方差。
解:
Rx()中非周期分量Rx()中周期分量,8、平稳过程自相关函数的图形不会出现“平顶”,“垂直边”或在幅度上的任何不连续。
即是说平稳过程自相关函数中不会含有阶跃因子U(t)。
因为X(t)=X1(t)+X2(t)是平稳过程,所以X1(t)也是平稳过程,即在(-,)上均匀分布,EX1(t)=0。
理由是平稳过程的自相关函数与功率谱密度是一对傅立叶变换,如果中含有因子,则中含有虚数因子。
第三章证明平稳过程的功率谱密度是的实函数,不含有虚数因子。
则中不含有因子。
根据上述8个性质的讨论,我们可以画出平稳过程的自相关函数和自协方差函数的典型曲线。
分别如下图所示。
非周期平稳过程,习题2-5,2-6,2-7,2-8,2.2.3平稳过程的自相关系数及相关时间,一、自相关系数,二、(自)相关时间,对于非周期平稳过程而言,随着增大,X(t)与X(t+)的相关程度减弱,直至;x()0。
实际上,从相关系数曲线上看,不要等到,当增大到一定程度(0)以后,x()就很小了,可以近似认为X(t)与X(t+)不相关。
这个可以认为X(t)与X(t+)不相关的时间间隔“0”称为“相关时间”。
由图可见,由于过程不同,自相关系数()也不同,其不相关的时间间隔“0”也不相同。
通常定义相关时间“0”的方法有两种:
1、,2、,相关时间“0”所反映的意义:
由图可见,曲线越陡,相关时间“0”越小,意味着过程的任意两个状态X(t),X(t+)不相关所要求的时间差越短。
样本变化越剧烈(样本起伏越大)。
反之,且反。
因此,相关时间0是对过程的任意两个状态X(t),X(t+)随变成不相关“快、慢”的一种度量。
例2.8已知平稳过程X(t)的自相关函数,求其自相关系数和相关时间。
解:
由相关系数的定义,由相关时间定义一:
由相关时间定义二:
一.两个随机过程的联合分布设有两个随机过程,它们的概率密度分别为,1、两个过程的n+m维联合分布函数,2、两个过程的n+m维联合概率密度,2.3两个随机过程的联合统计特性,3、若X(t)与Y(t)对于任意的n,m,都有,或,则称随机过程X(t)和Y(t)是相互独立的。
4、若两个过程的任意n+m维联合分布均不随时间平移而变化,则称此两过程为联合严平稳或者严平稳相依。
两个随机过程的互相关和正交1、互相关函数定义两个随机过程X(t)与Y(t)的互相关函数为,式中是过程X(t)与Y(t)在两个时刻t1,t2的状态。
2、协方差函数定义过程X(t)和Y(t)的互协方差函数为,式中分别是随机变量的数学期望。
此式也可写成,3、两个过程正交,4、两个过程互不相关,若两个过程X(t)和Y(t)对任意两个时刻t1,t2都有,则称X(t)和Y(t)两个过程正交。
则称两个过程X(t)和Y(t)在同一时刻的状态正交。
若两个过程X(t)和Y(t)对任意两个时刻t1,t2都有,则称X(t)和Y(t)两个过程互不相关。
若仅在同一时刻t存在,若仅在同一时刻t存在,则称两个过程X(t)和Y(t)在同一时刻的状态互不相关。
三、两个随机过程联合平稳1、定义若X(t)、Y(t)为两个平稳随机过程,且它们的互相关函数仅是单变量的函数,即则称过程X(t)和Y(t)为“联合宽平稳”,简称“联合平稳”。
2、性质
(1)、互相关函数和互协方差函数均不是偶函数,
(2)、互相关函数和互协方差函数的取值满足:
(3)、表示两个平稳过程正交。
(5)、表示两个平稳过程互不相关。
(4)、两个平稳过程所有同一时刻的状态正交。
(6)、两个平稳过程所有同一时刻的状态互不相关。
3、两个联合平稳过程的互相关系数,习题2-9、2-11、2-12、2-13,2.4复随机过程,“实”随机过程可以看成随时间变化的“实”随机变量。
“复”随机过程可以看成随时间变化的“复”随机变量。
一、复随机变量1、定义:
复随机变量Z=X+jY由实随机变量X,Y构成。
2、复随机变量的数字特征定义的原则:
必须满足:
在Y=0时Z的数字特征,就是X的数字特征。
(1)复随机变量Z的数学期望:
若设中心化的复随机变量:
(2)复随机变量Z的方差:
(3)两个复随机变量Z1=X1+jY1与Z2=X2+jY2的协方差:
(4)两个复随机变量Z1=X1+jY1与Z2=X2+jY2相互独立的条件,(5)两个复随机变量Z1,Z2的互不相关,(6)两个复随机变量Z1,Z2的正交,复随机过程1、定义复随机过程为:
Z(t)=X(t)+jY(t)式中X(t)和Y(t)都是实随机过程。
2、复随机过程Z(t)统计特性可以由X(t)和Y(t)的2n维联合概率分布完整的描述,其概率密度为,3、复随机过程Z(t)的数字特征,Z(t)的数学期望:
Z(t)的方差:
Z(t)的自相关函数:
Z(t)的自协方差函数:
4、复随机过程Z(t)平稳的条件:
(X(t)和Y(t)各自都是平稳过程),5、两个复随机过程Z1(t),Z2(t),Z1(t)=X1(t)+jY1(t),Z2(t)=X2(t)+jY2(t),Z1(t)与Z2(t)的互相关函数:
(2)Z1(t)与Z2(t)的互协方差函数:
(3)两个复随机过程Z1(t),Z2(t)联合平稳的条件:
Z1(t),Z2(t)各自平稳,且:
例:
设复随机过程,(4)两个复随机过程Z1(t)和Z2(t)互不相关,(5)两个复随机过程Z1(t)和Z2(t)正交,习题:
2-14,2.5.1随机序列的收敛,“数列收敛”的概念:
若有数列S1,S2,Sn,对任意小的正实数0,总能找到一个正整数N,使得当nN时,存在Sn-aN,则称数列S1,S2,Sn,收敛于常数a。
用表示。
或用S1,S2,Sn,即称:
数列Sn的极限为a.,一、随机序列收敛的几种定义,1、随机变量序列“处处收敛”若随机序列样本空间=1,2,3中的“所有”的样本序列(普通数列)均收敛,,2.5随机过程的微分和积分,则称:
随机序列X(n)“处处收敛”于随机变量X。
记作:
简写:
在上述“处处收敛”的定义中,中只要有“一个”i对应的样本序列不收敛,则随机序列X(n)就不是“处处收敛”的。
这个条件一般的随机序列都不容易满足。
下面介绍几种常用的“宽松的”收敛定义。
2、以概率1收敛(“几乎处处收敛”)almosteverywhere若随机序列X(n)相对试验E的所有可能结果满足:
则称:
随机序列X(n)“以概率1收敛”于随机变量X。
简记:
3、依概率收敛(Probability)若随机序列X(n)对于任意给定小正数,有:
则称:
随机序列X(n)“依概率收敛”于随机变量X。
记:
4、依分布收敛(distribution)设:
Fn(x),n=1,2,是随机序列X(n)的分布函数,F(x)是随机变量X的分布函数。
若存在:
则称:
随机变量序列X(n)“依分布收敛”于X。
记:
5、均方收敛(平均意义下的收敛)Mean.square设随机序列X(n)对所有的n=1,2,二阶矩存在,随机变量X的二阶矩也存在。
若X(n)、X满足:
则称:
随机序列X(n)“均方收敛”于随机变量X。
记作:
或:
(2)均方收敛的充要条件(柯西准则)若随机序列X(n)和随机变量X的二阶矩均存在,则X(n)均方收敛于X的充要条件是:
只需要对随机序列X(n)的一个方差进行检验,比较方便。
因此,在随机过程中运用的是均方收敛。
四种收敛模式之间的关系:
例2.12已知二维随机变量(X,Y)在平面区域内服从均匀分布。
而随机序列Z(n)定义在平面区域Gn上(见下图),证明:
(1)随机序列Z(n)依概率收敛于0;
(2)随机序列Z(n)依分布收敛于0;(3)随机序列Z(n)均方收敛于0;,证明
(1):
因为,所以随机序列Z(n)依概率收敛于0。
证明
(2):
由题可知,随机序列Z(n)的分布律和分布函数为,验证收敛于0,随机序列Z(n)分布函数的极限:
常数0,可以看成是仅取值0的特殊随机变量Z0,因此F0(z)=U(z)。
所以有上式表明:
随机序列Z(n)依分布收敛于0。
证明(3):
由随机序列Z(n)的分布律可得,上式表明:
随机序列Z(n)均方收敛于0。
思考:
随机序列Z(n)是否以概率1收敛于0?
一、随机过程处处连续对于随机过程X(t)而言,若它的每一个样本函数在上都连续:
则称:
该过程X(t)在上处处连续。
252随机过程的连续性,一般确定函数的连续性:
设函数(t)在的某个邻域内有定义,当自变量的增量t0时,函数的增量也趋于0,,则称:
函数(t)在上连续.,在微积分中,一个函数要可微,该函数首先必须要连续。
即:
极限,二、均方连续1、定义若二阶矩过程在tT上满足,则称X(t)在tT上,“在均方意义下”连续。
或称该二阶矩过程X(t)具有“均方连续性”。
常表示为或者简称过程m.s连续。
2、均方连续的准则(过程X(t)在tT上均方连续的“充要条件”),若X(t)的自相关函数在tT(t1=t2=t)上连续,则X(t)便在tT上均方连续。
充分性:
均方极限,若在t1=t2=t处一般连续,等式右边有,证明:
展开定义式左侧,对上式两边取极限:
则左边就有,X(t)均方连续.,利用许瓦兹不等式,必要性:
若X(t)在tT上均方连续,则在t1=t2=t上一般连续。
证明:
对不等式两端取极限:
若X(t)在tT上均方连续,,则不等式右端,即有,即,则在t1=t2=t上一般连续。
证毕。
则,3、推论
(1)若自相关函数在(t1=t2=tT)C上的每一点连续,则它在时域(t1,t2)TT上处处连续。
证:
设(t1,t2)TT时域中任意(t1t2)处,将(t1,t2)分别代换(2-123)式中的(t,t)。
同理可证:
若X(t)是平稳过程,Rx(t,t)=R(0),则“Rx()在=0点连续”是平稳过程X(t)在tT上均方连续的充要条件。
(t1t2),因自相关函数在(t1=t2=tT)上的每一点连续,则过程X(t)在tT上均方连续。
有:
因为,则有,则有,即自相关函数在(t1,t2)TT时域中任意(t1t2)上也连续,证毕。
同理,若平稳过程X(t)的Rx()在=0点连续,则Rx()在所有tT上也连续。
故有,
(2)如果随机过程X(t)是均方(m.s)连续,则它的数学期望也必定连续。
即:
利用许瓦兹不等式,证明:
设随机过程,因,故,由于X(t)是均方连续的,所以:
也可以写成如下的形式:
也就有:
所以有:
一个均方连续的随机过程,“求极限”与“求期望”可以交换次序。
注:
是一般意义下的极限,是均方意义下的极限。
2.5.3随机过程的微分随机过程的微分(导数)1.均方导数的定义设均方连续过程X(t),tT和随机过程X(t),tT,若在整个T内当时,均方收敛于X(t)即满足:
则称过程X(t)在tT上均方(m.s)可导(可微)。
而便称为过
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