高中数学函数专题训练Word格式.docx
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函数f(x)=|x|的定义域是R,而函数g(x)=的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),它们是两个不同的函数.所以,答案为C.
2.1.5 函数y=x+的图象是( ).
解析 函数y=所以,答案为C.
2.1.6 函数y=的图象是( ).
解析 函数y=即为y=1-,它的定义域是{x|x≠1,x∈R},值域是{y|y≠1,y∈R},由描点法可得此函数的图象是B.
2.1.7 已知函数f(x),g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
g(x)
(1)求f[g
(1)]的值;
(2)求满足f[g(x)]>
g[f(x)]的x的值.
解析
(1)由已知可得g
(1)=3,则f[g
(1)]=f(3)=1.
(2)f[g
(1)]=1,而g[f
(1)]=3;
f[g
(2)]=3,g[f
(2)]=1;
f[g(3)]=1,g[f(3)]=3,所以,满足f[g(x)]>
g[f(x)]的x的值是x=2.
2.1.8 已知函数f(x)=若a≠b,则[(a+b)+(a-b)·
f(a-b)]的值( ).
(A)一定是a(B)一定是b
(C)是a,b中较大的数(D)是a,b中较小的数
解析 若a>
b则[(a+b)+(a-b)f(a-b)]=[(a+b)+(a-b)]=a;
若a<
b,则[(a+b)+(a-b)f(a-b)]=[(a+b)-(a-b)]=b,所以,答案为C.
2.1.9 已知函数f(x)= g(x)=则f(x)+g(x)= .
解析 f(x)+g(x)=
2.1.10 已知f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,则f
(2)= .
解析 由已知可得-32-8a-2b-8=10,即8a+2b=-50,f
(2)=32+8a+2b-8=-26.
2.1.11 设函数f(x)=若f(x)=3,则x= .
解析 若x+2=3,则x=1,与x≤-1矛盾;
若x2=3,则x=±
,由-1<
x<
2得x=;
若2x=3,则x=,与x≥2矛盾,所以,只有当x=时,f(x)=3.
2.1.12 写出下列函数的值域:
(1)y=1-:
;
(2)y=:
(3)y=:
(4)y=x-1(1≤x≤4且x∈Z):
.
解析
(1)函数y=1-的值域是{y|y≠1,y∈R}.
(2)由2x2-4x+3=2(x-1)2+1≥1得函数y=的值域是(0,5].
(3)由2x2-4x+1=2(x-1)2-1≥-1得函数y=的值域是{y|y>
0或y≤-1}.
(4)函数y=x-1(1≤x≤4且x∈Z)的值域是{0,1,2,3}.
2.1.13 已知A、B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离s(千米)表示成时间t(小时)的函数为( ).
(A)s=60t(B)s=60t+50t
(C)s=(D)s=
解析 由匀速运动中路程与时间的关系可得答案为D.
2.1.14 设[x]表示不超过x的最大整数,对于给定的n∈N*,定义,x∈[1,∞),则当x∈[,3)时,函数的值域是( ).
(A)(B)
(C)∪[28,56)(D)∪
解析 若≤x<
2,则[x]=1,此时,,则4<
≤;
若2≤x<
3,则[x]=2,,则<
≤28.
于是,所求值域是∪,答案为D.
2.1.15 在下列四个函数中,满足性质:
“对于区间[1,2]上的任意x1,x2(x1≠x2),|f(x1)-f(x2)|<
|x1-x2|恒成立”的只有( ).
(A)f(x)=(B)f(x)=|x|(C)f(x)=2x(D)f(x)=x2
解析 任取x1,x2∈[1,2](x1≠x2),对于函数f(x)=,|f(x1)-f(x2)|==<
|x1-x2|;
对于函数f(x)=|x|,|f(x1)-f(x2)|=||x1|-|x2||=|x1-x2|;
对于函数f(x)=2x,|f
(1)-f
(2)|=2>
1=|x1-x2|;
对于函数f(x)=x2,|f(x1)-f(x2)|=||=|x1+x2||x1-x2|>
2|x1-x2|>
|x1-x2|,所以,答案为A.
2.1.16 函数f(x)=的定义域是 .
解析 函数自变量x应满足解得
所以,函数f(x)的定义域是{x|x>
3或x≤1}.
2.1.17 已知a<
0,则函数f(x)=的定义域是 .
解析 函数f(x)=的自变量x应满足由a<
0及x2≤a2得a≤x≤-a,则x+a≤0,于是,由|x+a|+a≠0得-x-a+a≠0,所以,原函数的定义域是[a,0)∪(0,-a].
2.1.18 设满足y≥|x-1|的点(x,y)的集合为A,满足y≤-|x|+2的点(x,y)的集合为B,则A∩B所表示的图形的面积是 .
解析 函数y=|x-1|和y=-|x|+2的图象形成的封闭区域是由函数y=x-1,y=-x+1,y=-x+2,y=x+2围成的矩形,此矩形的顶点是,(1,0),,(0,2),它的面积是.
2.1.19 从装满20升纯酒精的容器里倒出1升,然后用水填满,再倒出1升混合溶液后又用水填满,这样继续进行.如果倒完第k次(k≥1)时共倒出纯酒精x升,设倒完第k+1次时共倒出纯酒精f(x)升,则函数f(x)的表达式为 .
解析 由于倒完第k次共倒出纯酒精x升,则第k+1次倒时,容器中还有纯酒精20-x升,第k+1次倒出了纯酒精(20-x),所以,f(x)=x+(20-x)=1+x(1≤x<
20).
2.1.20 设函数f(x)=x2+x+的定义域是[n,n+1](n是正整数),则f(x)的值域中整数的个数是 .
解析 f(x)=在[n,n+1]上单调递增,f(n+1)=n2+3n+,f(n)=n2+n+,函数f(x)值域中的最大整数是n2+3n+2,最小整数是n2+n+1,所以,值域中共有n2+3n+2-(n2+n)=2n+2个整数.
2.1.21 满足f(x)=x的x称为函数f(x)的不动点.已知f(x)=(a,b∈R)有绝对值相等,符号相反的不动点,则a,b所满足的条件是 .
解析 由已知可得关于x的方程=x,即x2+(b-2)x-a=0有两个互为相反数的根x1和x2,于是,x1+x2=-(b-2)=0,解得b=2,此时,原方程为x2=a,则必须有a>
0,所以,a和b应满足b=2且a>
0.
2.1.22 记实数a1,a2,
,an中的最小值是min{a1,a2,
,an},例如min{-1.1,-2.3,6}=-2.3,那么,定义域为R的函数f(x)=min{x,2-x2}的最大值是 .
题2.1.22
解析 由函数f(x)的定义可作出其图象(如图所示):
抛物线y=2-x2与直线y=x的一个交点是(1,1),所以,当x=1时,f(x)取得最大值1.
2.1.23 求函数y=的定义域.
解析 函数的自变量x应满足
若+2=0,则有x+8+4+4=5x+20,=x+2,解得x=1或x=-4,经检验,x=-4是方程+2=的增根,亦即使得+2=0成立的实数只有x=1,所以,函数的定义域是{x|x≥-4且x≠1}.
2.1.24 求函数y=的定义域(其中k是常数).
解析 函数的自变量x应满足即
所以,若2k>
2,即k>
1时,函数f(x)的定义域是[2k,+∞);
若-2≤2k≤2,即-1≤k≤1时,函数f(x)的定义域是(2,+∞);
若2k<
-2,即k<
-1时,函数f(x)的定义域是[2k,-2)∪(2,+∞).
2.1.25 作出下列函数的图象:
(1)y=
(2)y=;
(3)y=(4)y=2-|x-x2|.
解析
(1)函数y=的图象如图2.1.25
(1)所示.
题2.1.25
(1) 题2.1.25
(2)
(2)函数y=即为y=其图象如图2.1.25
(2)所示.
(3)函数y=的图象如图2.1.25(3)所示.
题2.1.25(3) 题2.1.25(4)
(4)函数y=2-|x-x2|即为y=其图象如图2.1.25(4)所示.
2.1.26 作函数y=的图象.
题2.1.26
解析 函数应满足|x|-x≠0,即此函数的定义域是x<
0,所以,y=,即y=-.若x=-,y=;
x=-,y=0,x=-1,y=,x=-2,y=,函数图象如图2.1.26所示.
2.1.27 求函数y=的值域.
解析 函数y=+1+|-1|=所以,函数的值域是{y|y≥2}.
2.1.28 集合M是实数集R的任意一个子集,函数fM(x)在实数集M上定义如下:
fM(x)=求证:
对任意以实数为元素的集合A,B,必有fA∩B(x)=fA(x)fB(x).
解析 由函数fM(x)在实数集M上定义可得fA∩B(x)=
若x∈A且x∈B,即x∈A∩B时,有fA(x)=1且fB(x)=1,则fA(x)fB(x)=1;
若x∈A且x∉B,则fA(x)=1而fB(x)=0,那么fA(x)fB(x)=0;
若x∉A且x∈B,则fA(x)=0而fB(x)=1,那么fA(x)fB(x)=0;
若x∉A且x∉B,则fA(x)=0且fB(x)=0,那么fA(x)fB(x)=0,
对于“x∈A且x∉B”,“x∉A且x∈B”,“x∉A且x∉B”,都可得x∉A∩B,
则当x∉A∩B时,必有fA(x)fB(x)=0,那么,fA(x)fB(x)=
所以,对任意以实数为元素的集合A,B,必有fA∩B(x)=fA(x)fB(x).
2.1.29 已知f,则f(x)的解析式可以是( ).
(A)(B)-(C)(D)-
解析 令=t,则x=,于是f(t)=,即f(x)=,答案为C.
2.1.30 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则( ).
(A)b∈(-∞,0)(B)b∈(0,1)
(C)b∈(1,2)(D)b∈(2,+∞)
题2.1.30
解析 由函数图象可知方程f(x)=0的根为0、1、2,于是可设f(x)=ax(x-1)(x-2),则ax3-3ax2+2ax=ax3+bx2+cx+d,b=-3a,又当x>
2时有f(x)>
0,于是有a>
0,所以,b<
0,答案为A.
2.1.31 函数y=f(2x-1)的定义域是[0,1),则函数y=f(1-3x)的定义域是 .
(A)(B)
(C)(D)
解析 由0≤x<
1得-1≤2x-1<
1,令t=2x-1,于是,函数y=f(t)的定义域是[-1,1),则函数y=f(1-3x)的自变量应满足-1≤1-3x<
1,所以,它的定义域是,答案为C.
2.1.32 已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f(x)与g(x)的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是( ).
(A)(0,2)(B)(0,8)(C)(2,8)(D)(-∞,0)
解析 若m=0,则f(x)=-8x+1,g(x)=0,不符合要求;
若m<
0,则g(x)=mx,当x>
0时,g(x)<
0,当x<
0时,g(x)>
0,而此时函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1的图象是开口向下的抛物线,一定存在x0>
0有f(x0)<
0,所以,m<
0不符合要求;
若m>
0,当x≤0时,g(x)≤0,函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1当x≤0时必须有f(x)>
0恒成立,而此时函数f(x)的图象开口向上,于是,必须有或解得4≤m<
8或0<
m<
4,所以,m的取值范围是0<
8,答案为B.
2.1.33 给出下面三个函数:
(1)y=;
(2)y=|x-1|-|x+3|;
(3)y=,在这些函数中,其值域中仅含有有限个整数的函数有( )个.
(A)0(B)1(C)2(D)3
解析 函数y=即y=的定义域是R,值域是[1,+∞),值域中有无穷多个正整数;
函数y=|x-1|-|x+3|即为y=它的值域是[-4,4],其中只有有限个整数;
由函数y=可得(y-1)x2+(2-3y)x+3y-4=0,若y=1,则x=-1,若y≠1,则关于x的方程其判别式Δ=(2-3y)2-4(y-1)(3y-4)≥0,即3y2-16y+12≤0,解得≤y≤,其中满足y≠1的整数有y=2,3,4,并且当y=2时,解得x=2±
,y=3时,x=1或x=,y=4时,x=2或x=,所以,在函数y=的值域中,有且仅有4个整数.所以,在给出的三个函数中,值域中仅含有有限个整数的函数有2个,答案为C.
2.1.34 已知函数y=f(x)的定义域是R,则函数y=f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象一定关于( ).
(A)直线y=0对称(B)直线x=0对称
(C)直线y=1对称(D)直线x=1对称
解析 设(x0,y0)是函数y=f(x-1)图象上的任意一点,则y0=f(x0-1),点(x0,y0)关于直线x=1的对称点是(2-x0,y0),f[1-(2-x0)]=f(x0-1)=y0,所以,点(2-x0,y0)在函数y=f(1-x)的图象上,函数y=f(x-1)的图象与函数y=f(1-x)的图象一定关于直线x=1对称,答案为D.
2.1.35 已知集合A={y|y=x2-4x+6,x∈R,y∈N*},集合B={y|y=-x2-2x+18,x∈R,y∈N*},则A∩B= .
解析 y=x2-4x+6=(x-2)2+2,于是A={2,3,4,5,6,
},y=-x2-2x+18=-(x+1)2+19,则B={19,18,17,16,15,
,1},所以,A∩B={2,3,4,5,
,15,16,17,18,19}.
2.1.36 若函数y=3x2-31x+10的自变量都是正整数,则此函数的最小值是 .
解析 函数y=3x2-31x+10即为y=3-,而x∈N*,所以,当x=5时,y最小值=-70.
2.1.37 已知函数f(x)=x2+ax+b满足
|f
(1)|=|f
(2)|=|f(3)|=,则f(x)= .
解析 由已知可得二次函数f(x)的图象的顶点坐标是,并有f
(1)=f(3)=,则a=-4,b=,所以,f(x)=x2-4x+.
2.1.38 已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)当x=3时取得最小值4,且其图象在y轴上的截距是13,则a= ,b= ,c= .
解析 由已知可设f(x)=a(x-3)2+4,当x=0时y=13,解得a=1,即f(x)=x2-6x+13,所以,a=1,b=-6,c=13.
2.1.39 已知一个二次函数,当x=1时有最大值2,它的图象截x轴所得到的线段长是,则此二次函数的解析式是 .
解析 由已知可得二次函数图象与x轴两个交点的横坐标分别是1-和1+,则可设其解析式为f(x)=a,并有f
(1)=2,解得a=-4,所以,该二次函数的解析式是f(x)=-4x2+8x-2.
2.1.40 若函数f(x)=的定义域是R,则k的取值范围是 .
解析 若k=0,则f(x)=,定义域是R.若k≠0,则应有16k2-12k<
0,解得0<
k<
,所以,k的取值范围是0≤k<
.
2.1.41 函数f(x)的定义域是[0,1],则函数f(1-2x)的定义域是 .
解析 由已知得函数y=f(1-2x)应满足0≤1-2x≤1,即它的定义域是.
2.1.42 函数f(x)=2x+1-的最大值是 .
解析 f(x)=-(+1)2+5,而≥0,所以,当x=时,f(x)取得最大值.
2.1.43 函数y=(x2-x)2+4(x2-x)+3的最小值是 .
解析 y=(x2-x+2)2-1,而x2-x+2=≥,所以,y≥-1,当x=时,y取得最小值.
2.1.44 已知t为常数,函数y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为2,则t= .
解析 记f(x)=(x-1)2-1-t,可得函数y=|f(x)|的图象关于直线x=1对称.若-1-t≥0即t≤-1时,则函数y=|x2-2x-t|在[0,3]上最大值为f(3)=3-t=2,则t=1,矛盾.若-1-t<
0且f(3)=3-t≥0,即-1<
t≤3时,如果1+t≤3-t,亦即-1<
t≤1时,函数y=|f(x)|当x=3时取得最大值3-t=2,解得t=1.如果1+t>
3-t,亦即1<
t≤3时,函数y=|f(x)|当x=1时取得最大值1+t=2,矛盾.如果3-t<
0,则函数y=|f(x)|当x=1时取得最大1+t=2,矛盾.所以,t=1.
2.1.45 若x,y∈R,且3x2+2y2=2x,则x2+y2的最大值是 .
解析 由2y2=2x-3x2≥0得0≤x≤,x2+y2=-+x=-(x-1)2+,所以,当x=时,x2+y2取得最大值.
2.1.46 已知函数y=x+3的定义域是[0,+∞),则其最小值是 .
解析 由已知可得y2-2xy+x2=9x2-18x+27,即8x2+(2y-18)x+27-y2=0,关于x的方程有实数解,则判别式Δ=(2y-18)2-32(27-y2)≥0,即y2-2y-15≥0,(y-5)(y+3)≥0,由原函数的定义域是[0,+∞)可知有y>
0,于是,y≥5,若y=5,则4x2-4x+1=0,解得x=.
所以,当x=时,函数y=x+3取得最小值5.
2.1.47 设f(x)=f1(x)=,且fn(x)=fn-1[f(x)],则f
(1)+f
(2)+
+f(n)+f1
(1)+f2
(1)+
+fn
(1)= .
解析 f2(x)=f1[f(x)]=,
f3(x)=f2[f(x)]=,
f4(x)=f3[f(x)]=.
由此可得fn(x)=,则f(k)+fk
(1)==1,所以,f
(1)+f
(2)+
+fn
(1)=n.
2.1.48 定义在N*上的函数f(n)满足f
(1)=1,且f(n+1)=则f(2008)= .
解析 f(2008)=f(2007+1)=f(2007)=f(2006)=f(2005)=f(2004)=f(2003)=f(2002)=f(2001)=
=f
(2)=f
(1)=.
2.1.49 集合A={(x,y)|y=a|x|,x∈R},B={(x,y)|y=x+a,x∈R},已知集合A∩B中有且仅有一个元素,则常数a的取值范围是 .
解析 由函数f(x)=a|x|的图象和函数g(x)=x+a的图象的位置关系可知,使集合A∩B中有且仅有一个元素的常数a的取值范围是-1≤a≤1.
2.1.50 已知函数f(x)满足2f(x)+3f(-x)=2x2-3x+5,则f(x)= .
解析 由已知可得
解得f(x)=x2+3x+1.
2.1.51 如图所示,已知四边形ABCD在映射f:
(x,y)→(x-1,y+2)作用下的象集为四边形A'
B'
C'
D'
,四边形ABCD的面积等于6,试求四边形A'
的面积.
题2.1.51
解析 映射f:
(x,y)→(x-1,y+2)的作用是将点P(x,y)向左平移一个单位并向上平移两个单位,四边形ABCD与四边形A'
必定全等,所以,四边形A'
的面积等于6.
2.1.52 已知m为实数,将函数f(x)=x2-2mx+m-1(0≤x≤2)的最小值记为g(m),试求g(m)的最大值.
解析 f(x)=(x-m)2-m2+m-1,若m<
0,则当x=0时f(x)取得最小值m-1;
若0≤m≤2,则当x=m时f(x)取得最小值-m2+m-1;
2,则当x=2时f(x)取得最小值3-3m,所以,g(m)=
当m<
0时,g(m)<
-1,当m>
2时,g(m)<
-3,当0≤m≤2时,g(m)=-,此时-3≤g(m)≤-,所以,g(m)的最大值是-.
2.1.53 已知m,α,β都是实数,α+β=m,αβ=,求α2+β2的最小值.
解析 α2+β2=(α+β)2-2αβ=m2-(m+2)=,而α,β是关于x的方程x2-mx+=0的两个实数根,于是,Δ=m2-(m+2)≥0,解得m≥2或m≤-1,所以,当m=-1时,α2+β2取得最小值.
2.1.54 已知函数f(x)=x2-2kx+2在x≥-1时恒有f(x)≥k,求实数k的取值范围.
解析 关于x的不等式x2-2kx+2≥k,即x2-2kx+2-k≥0在x≥-1时恒成立,则有或解得-1≤k≤1或-3≤k<
-1,所以,k的取值范围是-3≤k≤1.
2.1.55 已知f(x)=ax2+bx(a、b为常数,a≠0)满足f
(2)=0,且f(x)=x有相等的实数根,
(1)求f(x);
(2)是否存在m、n(m<
n),使f(x)的定义域为[m,n],而值域为[2m,2n]?
解析
(1)f(x)=x即为ax2+(b-1)x=0有相等的实数根,则Δ=(b-1)2=0,又f
(2)=4a+2b=0,解得a=-,b=1,即f(x)=-x2+x.
(2)因为f(x)=-x2+x=-(x-1
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