《25二次函数与幂函数》教案Word下载.docx
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5.掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系,提高解综合问题的能力.
教学重点
幂函数的概念、图像与性质.
教学难点
函数性质、二次函数、方程、二次方程、不等式的综合应用
教学过程
一、课堂导入
以提问的形式复习一元二次方程的一般形式,一次函数,反比例函数的定义,然后让学生欣赏一组优美的有关抛物线的图案,创设情境:
(1)你们喜欢打篮球吗?
(2)你们知道:
投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?
怎样计算篮球达到最高点时的高度?
从而引出课题〈〈二次函数〉〉,导入新课
二、复习预习
1.复习一次函数的相关概念
2.预习二次函数的概念
3.预习二次函数的相关性质
4.预习二次函数的图像
三、知识讲解
考点1二次函数的解析式
(1)一般式:
f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
(2)顶点式:
若二次函数的顶点坐标为(h,k),则其解析式为f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);
(3)两根式:
若相应一元二次方程的两根为x1,x2,则其解析式为f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
考点2二次函数的图象和性质
a>
a<
图象
定义域
X∈R
值域
单调性
在
上递减,在
上递增
上递增,在
上递减
奇偶性
b=0时为偶函数,b≠0既不是奇函数也不是偶函数
图象特点
①对称轴:
x=-
;
②顶点:
考点3幂函数的定义
形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
考点4五种幂函数的图象
考点5五种幂函数的性质
函数
特征
性质
y=x
y=x2
y=x3
y=x-1
R
[0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
奇
偶
非奇非偶
增
x∈[0,+∞)时,增
x∈(-∞,0]时,减
x∈(0,+∞)时,减
x∈(-∞,0)时,减
四、例题精析
【例题1】
【题干】已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.
【解析】∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,∴f(x)的对称轴为x=2.
又∵f(x)图象被x轴截得的线段长为2,∴f(x)=0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).
又∵f(x)的图象过点(4,3),
∴3a=3,a=1.∴所求f(x)的解析式为f(x)=(x-1)·
(x-3),即f(x)=x2-4x+3.
【例题2】
【题干】已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.
(1)求a,b的值;
(2)若b<
1,g(x)=f(x)-m·
x在[2,4]上单调,求m的取值范围.
【解析】
(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a.
当a>
0时,f(x)在[2,3]上为增函数,
故
⇒
当a<
0时,f(x)在[2,3]上为减函数,
(2)∵b<
1,∴a=1,b=0,即f(x)=x2-2x+2.
g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2,
∵g(x)在[2,4]上单调,
∴
≤2或
≥4.∴m≤2或m≥6.
【例题3】
【题干】幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象如图所示,则m的值为( )
A.-1<
m<
3 B.0
C.1 D.2
【答案】D
【解析】从图象上看,由于图象不过原点,且在第一象限下降,故m2-2m-3<
0,即-1<
3;
又从图象看,函数是偶函数,故m2-2m-3为负偶数,将m=0,1,2分别代入,可知当m=1时,m2-2m-3=-4,满足要求.
【例题4】
【题干】当0<
x<
1时,f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2的大小关系是________.
【解析】如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此可知h(x)>
g(x)>
f(x).
五、课堂运用
【基础】
1.已知点
在幂函数f(x)的图象上,则f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数
解析:
选A 设f(x)=xα,由已知得
α=
,
解得α=-1,因此f(x)=x-1,易知该函数为奇函数.
2.已知函数f(x)=x2+bx+c且f(1+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是( )
A.f(-2)<
f(0)<
f
(2)
B.f(0)<
f(-2)<
C.f(0)<
f
(2)<
f(-2)
D.f
(2)<
选C ∵f(1+x)=f(-x),
∴(x+1)2+b(x+1)+c=x2-bx+c.
∴x2+(2+b)x+1+b+c=x2-bx+c.
∴2+b=-b,即b=-1.
∴f(x)=x2-x+c,其图象的对称轴为x=
.
∴f(0)<
f(-2).
3.已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则必有( )
A.f(p+1)>0B.f(p+1)<0
C.f(p+1)=0D.f(p+1)的符号不能确定
选A 函数f(x)=x2+x+c的对称轴为x=-
,又因为f(0)>0,f(p)<0,故-1<p<0,p+1>0,所以f(p+1)>0.
【巩固】
4.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c的值为________.
因为f(x)的值域为[0,+∞),所以Δ=0,即a2=4b,所以x2+ax+
-c<0的解集为(m,m+6),易得m,m+6是方程x2+ax+
-c=0的两根,由一元二次方程根与系数的关系得
解得c=9.
答案:
9
5.已知函数y=
的值域是[0,+∞),则实数m的取值范围是________.
当m=0时,y=
,显然成立.
当m≠0时,要使y∈[0,+∞),
只要
解得0<m≤1或m≥9.
综上m的取值范围是[0,1]∪[9,+∞).
[0,1]∪[9,+∞)
【拔高】
6.已知f(x)=-4x2+4ax-4a-a2在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值及函数表达式f(x).
解:
∵f(x)=-4
2-4a,
∴抛物线顶点坐标为
①当
≥1,即a≥2时,f(x)取最大值-4-a2.
令-4-a2=-5,得a2=1,a=±
1<
2(舍去);
②当0<
<
1,即0<
2时,x=
时,
f(x)取最大值为-4a.
令-4a=-5,得a=
∈(0,2);
③当
≤0,即a≤0时,f(x)在[0,1]内递减,
∴x=0时,f(x)取最大值为-4a-a2,
令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0,解得a=-5,或a=1,其中-5∈(-∞,0].
综上所述,a=
或a=-5时,f(x)在[0,1]内有最大值-5.
∴f(x)=-4x2+5x-
或f(x)=-4x2-20x-5.
7.已知f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t+1],若f(x)的最小值为h(t),写出h(t)的表达式.
如图所示,函数图象的对称轴为x=-
(1)当t+1≤-
,即t≤-
h(t)=f(t+1)=(t+1)2+3(t+1)-5,
即h(t)=t2+5t-1
(2)当t≤-
t+1,
即-
<t≤-
h(t)=f
=-
(3)当t>
-
时,h(t)=f(t)=t2+3t-5.
综上可得,h(t)=
课程小结
1.幂函数图象的特点
(1)幂函数的图象一定会经过第一象限,一定不会经过第四象限,是否经过第二、三象限,要看函数的奇偶性;
(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内;
(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
2.与二次函数有关的不等式恒成立问题
(1)ax2+bx+c>
0,a≠0恒成立的充要条件是
(2)ax2+bx+c<
[注意] 当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.
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- 25二次函数与幂函数 25 二次 函数 教案