山东省高考数学试卷文科答案与解析Word文件下载.doc
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可排除B、D,
由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C,
故选A.
【点评】本小题主要考查复合函数的图象识别.属于基础题.
4.(5分)(2008•山东)给出命题:
若函数y=f(x)是幂函数,则函数y=f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
【考点】四种命题的真假关系.菁优网版权所有
【分析】因为原命题和其逆否命题同真假,所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可.
本小题主要考查四种命题的真假.易知原命题是真命题,则其逆否命题也是真命题,而逆命题、否命题是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题有一个.
答案:
C
【点评】本题考查四种命题及其真假关系,注意原命题和其逆否命题同真假.
5.(5分)(2008•山东)设函数f(x)=,则f()的值为( )
A. B.﹣ C. D.18
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法;
函数的值.菁优网版权所有
【专题】计算题;
分类法.
【分析】当x>1时,f(x)=x2+x﹣2;
当x≤1时,f(x)=1﹣x2,故本题先求的值.再根据所得值代入相应的解析式求值.
当x>1时,f(x)=x2+x﹣2,则f
(2)=22+2﹣2=4,
∴,
当x≤1时,f(x)=1﹣x2,
∴f()=f()=1﹣=.
【点评】本题考查分段复合函数求值,根据定义域选择合适的解析式,由内而外逐层求解.属于考查分段函数的定义的题型.
6.(5分)(2008•山东)如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( )
A.9π B.10π C.11π D.12π
【考点】由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
【分析】由题意可知,几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,依次求表面积即可.
从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面为S=4π×
12+π×
12×
2+2π×
1×
3=12π
故选D.
【点评】本题考查学生的空间想象能力,是基础题.
7.(5分)(2008•山东)不等式的解集是( )
【考点】其他不等式的解法.菁优网版权所有
【分析】本题为选择题,可考虑用排除法,也可直接求解.
本小题主要考查分式不等式的解法.易知x≠1排除B;
由x=0符合可排除C;
由x=3排除A,故选D.也可用分式不等式的解法,将2移到左边直接求解
故选D
【点评】本题考查分式不等式的解法,注意分母不为0,属基本题.
8.(5分)(2008•山东)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C的对边,向量=(,﹣1),=(cosA,sinA).若⊥,且αcosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为( )
A., B., C., D.,
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系;
三角函数的积化和差公式.菁优网版权所有
【分析】根据向量数量积判断向量的垂直的方法,可得cosA﹣sinA=0,分析可得A,再根据正弦定理可得,sinAcosB+sinBcosA=sin2C,有和差公式化简可得,sinC=sin2C,可得C,再根据三角形内角和定理可得B,进而可得答案.
根据题意,,可得=0,
即cosA﹣sinA=0,
∴A=,
又由正弦定理可得,sinAcosB+sinBcosA=sin2C,
sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=sin2C,
C=,∴B=.
故选C.
【点评】本题考查向量数量积的应用,判断向量的垂直,解题时,注意向量的正确表示方法.
9.(5分)(2008•山东)从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如下表,则这100人成绩的标准差为( )
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
A. B. C.3 D.
【考点】极差、方差与标准差.菁优网版权所有
【分析】根据平均数、方差、标准差的概念直接运算即可.
∵,
∴
=
=,.
故选B.
【点评】本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算,比较简单.
10.(5分)(2008•山东)已知,则的值是( )
【考点】两角和与差的正弦函数;
同角三角函数基本关系的运用.菁优网版权所有
【分析】从表现形式上看不出条件和结论之间的关系,在这种情况下只有把式子左边分解再合并,约分整理,得到和要求结论只差π的角的三角函数,通过用诱导公式,得出结论.
∴.
故选C
【点评】已知一个角的某个三角函数式的值,求这个角的或和这个角有关的角的三角函数式的值,一般需用三个基本关系式及其变式,通过恒等变形或解方程求解.而本题应用了角之间的关系和诱导公式.
11.(5分)(2008•山东)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x﹣3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( )
A. B.(x﹣2)2+(y﹣1)2=1
C.(x﹣1)2+(y﹣3)2=1 D.
【考点】圆的标准方程.菁优网版权所有
【专题】压轴题.
【分析】设圆心,然后圆心到直线的距离等于半径可解本题.
设圆心为(a,1),由已知得,∴.
【点评】本小题主要考查圆与直线相切问题.还可以数形结合,观察判定即可.
12.(5分)(2008•山东)已知函数f(x)=loga(2x+b﹣1)(a>0,a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是( )
A.0<a﹣1<b<1 B.0<b<a﹣1<1 C.0<b﹣1<a<1 D.0<a﹣1<b﹣1<1
【考点】对数函数的图像与性质.菁优网版权所有
【专题】压轴题;
数形结合.
【分析】利用对数函数和函数图象平移的方法列出关于a,b的不等关系是解决本题的关键.利用好图形中的标注的(0,﹣1)点.利用复合函数思想进行单调性的判断,进而判断出底数与1的大小关系.
∵函数f(x)=loga(2x+b﹣1)是增函数,
令t=2x+b﹣1,必有t=2x+b﹣1>0,
t=2x+b﹣1为增函数.
∴a>1,∴0<<1,
∵当x=0时,f(0)=logab<0,
∴0<b<1.
又∵f(0)=logab>﹣1=loga,
∴b>,
∴0<a﹣1<b<1.
【点评】本题考查对数函数的图象性质,考查学生的识图能力.考查学生的数形结合能力和等价转化思想.
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
13.(4分)(2008•山东)已知圆C:
x2+y2﹣6x﹣4y+8=0.以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件双曲线的标准方程为 .
【考点】圆与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有
【分析】先在圆C:
x2+y2﹣6x﹣4y+8=0的方程中令y=0得出圆C与坐标轴的交点,从而得出双曲线的a,c,b值,最后写出双曲线的标准方程即可.
圆C:
x2+y2﹣6x﹣4y+8=0,
令y=0可得x2﹣6x+8=0,
得圆C与坐标轴的交点分别为(2,0),(4,0),
则a=2,c=4,b2=12,
所以双曲线的标准方程为.
故答案为:
.
【点评】本小题主要考查圆与圆锥曲线的综合、双曲线的标准方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想.属于基础题.
14.(4分)(2008•山东)执行如图所示的程序框图,若p=0.8,则输出的n= 4 .
【考点】程序框图.菁优网版权所有
【分析】根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:
该程序的作用是判断S=>0.8时,n+1的值.
根据流程图所示的顺序,
当n=2时,
当n=3时,,
此时n+1=4.
【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:
:
①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.
15.(4分)(2008•山东)已知f(3x)=4xlog23+233,则f
(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于 2008 .
【考点】对数函数图象与性质的综合应用;
对数的运算性质.菁优网版权所有
压轴题.
【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法,因为f(3x)=4xlog23+233,利用换元法容易求出函数f(x)的解析式,结合对数的运算性质,不难求出答案.
∵f(3x)=4xlog23+233=4log23x+233
∴f(x)=4log2x+233,
∴f
(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)
=8×
233+4(log22+2log22+3log22+…+8log22)
=1864+144
=2008.
2008.
【点评】求解析式的几种常见方法:
①代入法:
即已知f(x),g(x),求f(g(x))用代入法,只需将g(x)替换f(x)中的x即得;
②换元法:
已知f(g(x)),g(x),求f(x)用换元法,令g(x)=t,解得x=g﹣1(t),然后代入f(g(x))中即得f(t),从而求得f(x).当f(g(x))的表达式较简单时,可用“配凑法”;
③待定系数法:
当函数f(x)类型确定时,可用待定系数法.④方程组法:
方程组法求解析式的实质是用了对称的思想.一般来说,当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时,均可用此法.在解关于f(x)的方程时,可作恰当的变量代换,列出f(x)的方程组,求得f(x).
16.(4分)(2008•山东)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为 11 .
【考点】简单线性规划.菁优网版权所有
【分析】先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线2x+y=z过可行域内的点A时,从而得到z最大值即可.
先根据约束条件画出可行域,易知可行域为一个四角形,
其四个顶点分别为(0,0),(0,2),(2,0),(3,5),
设z=2x+y,将最大值转化为y轴上的截距,
当直线z=2x+y经过直线x﹣y+2=0与直线5x﹣y﹣10=0的交点A(3,5)时,z最大,
故填:
11.
【点评】本小题主要考查线性规划问题,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:
画出可行域、求出关键点、定出最优解.
三、解答题(共6小题,满分74分)
17.(12分)(2008•山东)已知函数(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
【考点】三角函数中的恒等变换应用;
两角和与差的正弦函数;
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.菁优网版权所有
【分析】
(Ⅰ)先用两角和公式对函数f(x)的表达式化简得f(x)=2sin(ωx+φ﹣),利用偶函数的性质即f(x)=f(﹣x)求得ω,进而求出f(x)的表达式,把x=代入即可.
(Ⅱ)根据三角函数图象的变化可得函数g(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性求得函数g(x)的单调区间.
(Ⅰ)==.
∵f(x)为偶函数,
∴对x∈R,f(﹣x)=f(x)恒成立,
即,
整理得.
∵ω>0,且x∈R,所以.
又∵0<φ<π,故.
由题意得,所以ω=2.
故f(x)=2cos2x.
(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到的图象.
当(k∈Z),
即(k∈Z)时,g(x)单调递减,
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数图象的应用.属基础题.
18.(12分)(2008•山东)现有8名奥运会志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组成一个小组.
(Ⅰ)求A1被选中的概率;
(Ⅱ)求B1和C1不全被选中的概率.
【考点】等可能事件的概率;
互斥事件与对立事件.菁优网版权所有
(Ⅰ)先用列举法,求出从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,所有一切可能的结果对应的基本事件总个数,再列出A1恰被选中这一事件对应的基本事件个数,然后代入古典概型公式,即可求解.
(Ⅱ)我们可利用对立事件的减法公式进行求解,即求出“B1,C1不全被选中”的对立事件“B1,C1全被选中”的概率,然后代入对立事件概率减法公式,即可得到结果.
(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名,
其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)}
由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,
因此这些基本事件的发生是等可能的.
用M表示“A1恰被选中”这一事件,则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)}
事件M由6个基本事件组成,因而.
(Ⅱ)用N表示“B1,C1不全被选中”这一事件,
则其对立事件表示“B1,C1全被选中”这一事件,
由于={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件有3个基本事件组成,
所以,由对立事件的概率公式得.
【点评】本题考查的知识点是古典概型,古典概型要求所有结果出现的可能性都相等,强调所有结果中每一结果出现的概率都相同.弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提,正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键.解决问题的步骤是:
计算满足条件的基本事件个数,及基本事件的总个数,然后代入古典概型计算公式进行求解.
19.(12分)(2008•山东)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4.
(Ⅰ)设M是PC上的一点,证明:
平面MBD⊥平面PAD;
(Ⅱ)求四棱锥P﹣ABCD的体积.
【考点】平面与平面垂直的判定;
棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有
证明题.
(I)欲证平面MBD⊥平面PAD,根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD内一直线与平面PAD垂直,而根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知BD⊥平面PAD;
(II)过P作PO⊥AD交AD于O,根据平面PAD与平面ABCD垂直的性质定理可知PO⊥平面ABCD,从而PO为四棱锥P﹣ABCD的高,四边形ABCD是梯形,根据梯形的面积公式求出底面积,最后用锥体的体积公式进行求解即可.
(Ⅰ)证明:
在△ABD中,
由于AD=4,BD=8,,
所以AD2+BD2=AB2.故AD⊥BD.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,BD⊂平面ABCD,
所以BD⊥平面PAD,
又BD⊂平面MBD,
故平面MBD⊥平面PAD.
(Ⅱ)解:
过P作PO⊥AD交AD于O,
由于平面PAD⊥平面ABCD,
所以PO⊥平面ABCD.因此PO为四棱锥P﹣ABCD的高,
又△PAD是边长为4的等边三角形.因此.
在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,
所以四边形ABCD是梯形,在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为,
此即为梯形ABCD的高,所以四边形ABCD的面积为.
故.
【点评】本小题主要考查平面与平面垂直的判定,以及棱锥的体积等有关知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,考查转化思想,属于基础题.
20.(12分)(2008•山东)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1.Sn为数列{bn}的前n项和,且满足.
(Ⅰ)证明数列成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和.
【考点】数列的应用;
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【专题】规律型.
(Ⅰ)由题意所给的已知等式特点应考虑应用已知数列的前n项和求其通项这一公式来寻求出路,得到Sn与SSn﹣1之间的递推关系,先求出Sn的通项公式即可得证,接下来求{bn}的通项公式;
(Ⅱ)由题意第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1,又已知{bn}的通项公式和a81的值,应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置,有从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数进而求解.
由已知,当n≥2时,,又Sn=b1+b2+…+bn,
所以,
又S1=b1=a1=1.所以数列是首项为1,公差为的等差数列.
由上可知,.
所以当n≥2时,.
因此
(Ⅱ)设上表中从第三行起,每行的公比都为q,且q>0.
因为,
所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项,故a81在表中第13行第三列,
因此.又,所以q=2.
记表中第k(k≥3)行所有项的和为S,
则.
【点评】
(1)此问重点考查了数列中的已知前n项的和求解通项这一公式,还考查了等差数的定义;
(2)此问重点考查了由题意及图形准确找规律,还考查了等比数列的通向公式及有数列通向求其所有项和,同时还考查了方程的思想.
21.(12分)(2008•山东)设函数f(x)=x2ex﹣1+ax3+bx2,已知x=﹣2和x=1为f(x)的极值点.
(1)求a和b的值;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)设g(x)=x3﹣x2,试比较f(x)与g(x)的大小.
【考点】利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有
(Ⅰ)根据已知x=﹣2和x=1为f(x)的极值点,易得f'
(﹣2)=f'
(1)=0,从而解出a,b的值.
(Ⅱ)利用导数求解函数单调的方法步骤,进行求解.
(Ⅲ)比较大小,做差f(x)﹣g(x)=x2(ex﹣1﹣x),构造新函数h(x)=ex﹣1﹣x,在定义域内,求解h(x)与0的关系.
(Ⅰ)因为f'
(x)=ex﹣1(2x+x2)+3ax2+2bx=xex﹣1(x+2)+x(3ax+2b),
又x=﹣2和x=1为f(x)的极值点,所以f'
(1)=0,
因此解方程组得,b=﹣1.
(Ⅱ)因为,b=﹣1,所以f'
(x)=x(x+2)(ex﹣1﹣1),
令f'
(x)=0,解得x1=﹣2,x2=0,x3=1.
因为当x∈(﹣∞,﹣2)∪(0,1)时,f'
(x)<0;
当x∈(﹣2,0)∪(1,+∞)时,f'
(x)>0.
所以f(x)在(﹣2,0)和(1,+∞)上是单调递增的;
在(﹣∞,﹣2)和(0,1)上是单调递减的.
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,
故f(x)﹣g(x)=x2ex﹣1﹣x3=x2(ex﹣1﹣x),令h(x)=ex﹣1﹣x,则h'
(x)=ex﹣1﹣1.
令h'
(x)=0,得x=1,因为x∈(﹣∞,1]时,h'
(x)≤0,
所以h(x)在x∈(﹣∞,1]上单调递减.故x∈(﹣∞,1]时,h(x)≥h
(1)=0;
因为x∈[1,+∞)时,h'
(x)≥0,所以h(x)在x∈[1,+∞)上单调递增.
故x∈[1,+∞)时,h(x)≥h
(1)=0.
所以对任意x∈(﹣∞,+∞),恒有h(x)≥0,又x2≥0,因此f(x)﹣g(x)≥0,
故对任意x∈(﹣∞,+∞),恒有f(x)≥g(x).
【点评】本题是一道关于函数的综合题,主要考查函数的单调性、极值等基础知识,应熟练掌握利用导数求解函数单调的方法步骤等问题.
22.(14分)(2008•山东)已知曲线所围成的封闭图形的面积为,曲线C1的内切圆半径为.记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆.
(Ⅰ)求椭圆C2的标准方程;
(Ⅱ)设AB是过椭圆C2中心的任意弦,l是线段AB的垂直平分线.M是l上异于椭圆中心的点.
(1)若|MO|=λ|OA|(O为坐标原点),当点A在椭圆C2上运动时,求点M的轨迹方程;
(2)若M是l与椭圆C2的交点,求△AMB的面积的最小值.
【考点】椭圆的标准方程;
解三角形的实际应用;
轨迹方程;
直线与圆锥曲线的综合问题.菁优网版权所有
综合题;
(Ⅰ)利用封闭图形的面积为,曲线C1的内切圆半径为,求出a、b的值,待定系数法写出椭圆的标准方程
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