上海市嘉定区高考数学二模试卷含答案解析Word格式文档下载.doc
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19.如图,已知椭圆C:
(a>b>0)过点,两个焦点为F1(﹣1,0)和F2(1,0).圆O的方程为x2+y2=a2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过F1且斜率为k(k>0)的动直线l与椭圆C交于A、B两点,与圆O交于P、Q两点(点A、P在x轴上方),当|AF2|,|BF2|,|AB|成等差数列时,求弦PQ的长.
20.如果函数y=f(x)的定义域为R,且存在实常数a,使得对于定义域内任意x,都有f(x+a)=f(﹣x)成立,则称此函数f(x)具有“P(a)性质”.
(1)判断函数y=cosx是否具有“P(a)性质”,若具有“P(a)性质”,求出所有a的值的集合;
若不具有“P(a)性质”,请说明理由;
(2)已知函数y=f(x)具有“P(0)性质”,且当x≤0时,f(x)=(x+m)2,求函数y=f(x)在区间[0,1]上的值域;
(3)已知函数y=g(x)既具有“P(0)性质”,又具有“P
(2)性质”,且当﹣1≤x≤1时,g(x)=|x|,若函数y=g(x)的图象与直线y=px有2017个公共点,求实数p的值.
21.给定数列{an},若满足a1=a(a>0且a≠1),对于任意的n,m∈N*,都有an+m=an•am,则称数列{an}为指数数列.
(1)已知数列{an},{bn}的通项公式分别为,,试判断{an},{bn}是不是指数数列(需说明理由);
(2)若数列{an}满足:
a1=2,a2=4,an+2=3an+1﹣2an,证明:
{an}是指数数列;
(3)若数列{an}是指数数列,(t∈N*),证明:
数列{an}中任意三项都不能构成等差数列.
参考答案与试题解析
【考点】H1:
三角函数的周期性及其求法.
【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期,
【解答】解:
函数y=2sin2(2x)﹣1,
化简可得:
y=1﹣cos4x﹣1=﹣cos4x;
∴最小正周期T=.
故答案为
2.设i为虚数单位,复数,则|z|= 1 .
【考点】A8:
复数求模.
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.
复数===﹣i,
则|z|=1.
故答案为:
1.
3.设f﹣1(x)为的反函数,则f﹣1
(1)= 1 .
【考点】4R:
反函数.
【分析】根据反函数的性质,原函数的值域是反函数的定义域即可求解
的反函数,
其反函数f﹣1(x),
反函数的性质,反函数的定义域是原函数的值域,即.
可得:
x=1,
∴f﹣1(x)=1.
故答案为1.
4.= 3 .
【考点】8J:
数列的极限.
【分析】通过分子分母同除3n+1,利用数列极限的运算法则求解即可.
===3.
3.
5.若圆锥的侧面积是底面积的2倍,则其母线与轴所成角的大小是 30°
.
【考点】MI:
直线与平面所成的角.
【分析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式,结合已知可得l=2R,进而解母线与底面所成角,然后求解母线与轴所成角即可.
设圆锥的底面半径为R,母线长为l,则:
其底面积:
S底面积=πR2,
其侧面积:
S侧面积=2πRl=πRl,
∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍,
∴l=2R,
故该圆锥的母线与底面所成的角θ有,
cosθ==,
∴θ=60°
,
母线与轴所成角的大小是:
30°
.
【考点】85:
等差数列的前n项和.
【分析】=,可得3(a1+4d)=5(a1+2d),化为:
a1=d.再利用等差数列的求和公式即可得出.
∵=,∴3(a1+4d)=5(a1+2d),化为:
a1=d.
则==.
7.直线(t为参数)与曲线(θ为参数)的公共点的个数是 1 .
【考点】QK:
圆的参数方程;
QJ:
直线的参数方程.
【分析】根据题意,将直线的参数方程变形为普通方程,再将曲线的参数方程变形为普通方程,分析可得该曲线为圆,且圆心坐标为(3,5),半径r=,求出圆心到直线的俄距离,分析可得直线与圆相切,即可得直线与圆有1个公共点,即可得答案.
根据题意,直线的参数方程为,则其普通方程为x+y﹣6=0,
曲线的参数方程为,则其普通方程为(x﹣3)2+(y﹣5)2=2,该曲线为圆,且圆心坐标为(3,5),半径r=,
圆心到直线x+y﹣6=0的距离d===r,
则圆(x﹣3)2+(y﹣5)2=2与直线x+y﹣6=0相切,有1个公共点;
【考点】KC:
双曲线的简单性质.
【分析】求出双曲线的焦点坐标,利用渐近线的倾斜角的关系,列出方程,然后求解即可.
双曲线C1与双曲线C2的焦点重合,C1的方程为,焦点坐标(±
2,0).
双曲线C1的一条渐近线为:
y=,倾斜角为30°
C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的2倍,可得C2的渐近线y=.
可得,c=2,解得a=1,b=,
所求双曲线方程为:
9.若,则满足f(x)>0的x的取值范围是 (1,+∞) .
【考点】7E:
其他不等式的解法.
【分析】由已知得到关于x的不等式,化为根式不等式,然后化为整式不等式解之.
由f(x)>0得到即,所以,解得x>1;
故x的取值范围为(1,+∞);
(1,+∞);
【考点】C9:
相互独立事件的概率乘法公式.
【分析】利用对立事件的概率公式,计算即可,
设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件,则事件B为一种新产品都没有成功,
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和.
则P(B)=(1﹣)(1﹣)=,
再根据对立事件的概率之间的公式可得P(A)=1﹣P(B)=,
故至少有一种新产品研发成功的概率.
故答案为.
【考点】84:
等差数列的通项公式.
【分析】由题意可得:
Sn=na1+d.an>0.=+(n﹣1)d,化简n≠1时可得:
a1=(n﹣1)d2+2d﹣d.分别令n=2,3,解出即可得出.
由题意可得:
Sn=na1+d.an>0.
=+(n﹣1)d,可得:
Sn=a1+(n﹣1)2d2+2(n﹣1)d.
∴na1+d=a1+(n﹣1)2d2+2(n﹣1)d.
n≠1时可得:
a1=(n﹣1)d2+2d﹣d.
分别令n=2,3,可得:
a1=d2+2d﹣d,a1=2d2+2d﹣d.
解得a1=,d=.
∴an=+(n﹣1)=.
【考点】57:
函数与方程的综合运用.
【分析】分类讨论,根据定义化简Cxn,求出Cx10的表达式,再利用函数的单调性求出Cx10的值域.
当x∈[,2)时,[x]=1,∴f(x)=C=,
当x∈[,2)时,f(x)是减函数,∴f(x)∈(5,);
当x∈[2,3)时,[x]=2,∴f(x)=C=,
当x∈[2,3)时,f(x)是减函数,∴f(x)∈(15,45];
∴当时,函数f(x)=C的值域是,
【考点】25:
四种命题间的逆否关系.
【分析】根据逆否命题的定义,我们易求出命题的逆否命题
将命题的条件与结论交换,并且否定可得逆否命题:
若x2﹣3x+2≠0,则x≠1
故选:
D
【考点】L7:
简单空间图形的三视图.
【分析】确定5个顶点在面DCC1D1上的投影,即可得出结论.
A1在面DCC1D1上的投影为点D1,E在面DCC1D1的投影为点G,F在面DCC1D1上的投影为点C,H在面DCC1D1上的投影为点N,因此侧视图为选项C的图形.
故选C
【考点】9V:
向量在几何中的应用.
【分析】以A为原点,以BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.由于等边三角形△的边长为4,可得B,C的坐标,再利用向量的坐标运算和数乘运算可得,,利用△APD的面积公式即可得出.
以A为原点,以BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系.
∵等边三角形△的边长为4,
∴B(﹣2,﹣2),C(2,﹣2),
由足=[(﹣2,﹣2)+(2,﹣2)]=(0,﹣),
=(0,﹣)+(4,0)=(,﹣),
∴△ADP的面积为S=||•||=×
×
=,
A.
【考点】3N:
奇偶性与单调性的综合.
【分析】因为偶函数在对称区间上单调性相反,根据已知中f(x)是偶函数,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,易得f(x)在(﹣∞,0)上为减函数,又由若时,不等式f(ax+1)≤f(x﹣2)恒成立,结合函数恒成立的条件,求出时f(x﹣2)的最小值,从而可以构造一个关于a的不等式,解不等式即可得到实数a的取值范围.
∵f(x)是偶函数,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴f(x)在(﹣∞,0)上为减函数,
当时,x﹣2∈[﹣,﹣1],
故f(x﹣2)≥f(﹣1)=f
(1),
若时,不等式f(ax+1)≤f(x﹣2)恒成立,
则当时,|ax+1|≤1恒成立,
∴﹣1≤ax+1≤1,∴≤a≤0,
∴﹣2≤a≤0,
故选B.
【考点】GL:
三角函数中的恒等变换应用.
【分析】解法一:
(I)由已知及正弦定理可求a,b的值,由余弦定理可求cosB,从而可求sinB,即可由三角形面积公式求解.
(II)由余弦定理可得cosA,从而可求sinA,sin2A,cos2A,由两角差的正弦公式即可求sin(2A﹣B)的值.
解法二:
(I)由已知及正弦定理可求a,b的值,又c=4,可知△ABC为等腰三角形,作BD⊥AC于D,可求BD==,即可求三角形面积.
(II)由余弦定理可得cosB,即可求sinB,由(I)知A=C⇒2A﹣B=π﹣2B.从而sin(2A﹣B)=sin(π﹣2B)=sin2B,代入即可求值.
解法一:
(I)由sinA=2sinB⇒a=2b.
又∵a﹣b=2,
∴a=4,b=2.
cosB===.
sinB===.
∴S△ABC=acsinB==.
(II)cosA===.
sinA===.
sin2A=2sinAcosA=2×
cos2A=cos2A﹣sin2A=﹣.
∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB
==.
又c=4,可知△ABC为等腰三角形.
作BD⊥AC于D,则BD===.
∴S△ABC==.
(II)cosB===.
由(I)知A=C⇒2A﹣B=π﹣2B.
∴sin(2A﹣B)=sin(π﹣2B)=sin2B
=2sinBcosB
=2×
=.
直线与平面所成的角;
LF:
棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】
(1)由题意,平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,转化求解体积推出结果即可.
(2)解法一:
作AM⊥EH,垂足为M,证明HG⊥AM,推出AM⊥平面EFGH.通过计算求出AM=4.AF,设直线AF与平面α所成角为θ,求解即可.
以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求出平面α一个法向量,利用直线AF与平面α所成角为θ,通过空间向量的数量积求解即可.
【解答】
(本题满分,第1小题满分,第2小题满分8分)
解:
(1)由题意,平面α把长方体分成两个高为5的直四棱柱,
,…
所以,.…
作AM⊥EH,垂足为M,由题意,HG⊥平面ABB1A1,故HG⊥AM,
所以AM⊥平面EFGH.…
因为,,所以S△AEH=10,)
因为EH=5,所以AM=4.…
又,…
设直线AF与平面α所成角为θ,则.…
所以,直线AF与平面α所成角的正弦值为.…
以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
则A(5,0,0),H(5,5,0),E(5,2,4),F(0,2,4),…
故,,…
设平面α一个法向量为,则即
所以可取.…
设直线AF与平面α所成角为θ,则.…
所以,直线AF与平面α所成角的正弦值为.…
【考点】KH:
直线与圆锥曲线的综合问题;
K3:
椭圆的标准方程;
KL:
直线与椭圆的位置关系.
(1)求出c=1,设椭圆C的方程为,将点代入,解得a2=4,然后求解椭圆C的方程.
(2)由椭圆定义,|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BF2|=4,通过|AF2|,|BF2|,|AB|成等差数列,推出.设B(x0,y0),通过解得B,然后求解直线方程,推出弦PQ的长即可.
(1)由题意,c=1,…
设椭圆C的方程为,将点代入,
解得a2=4(舍去),…
所以,椭圆C的方程为.…
(2)由椭圆定义,|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BF2|=4,两式相加,得|AB|+|AF2|+|BF2|=8,
因为|AF2|,|BF2|,|AB|成等差数列,所以|AB|+|AF2|=2|BF2|,
于是3|BF2|=8,即.…
设B(x0,y0),由解得,…
(或设,则,解得,,所以).
所以,,直线l的方程为,即,…
圆O的方程为x2+y2=4,圆心O到直线l的距离,…
此时,弦PQ的长.…
(1)根据题意可知cos(x+a)=cos(﹣x)=cosx,故而a=2kπ,k∈Z;
(2)由新定义可推出f(x)为偶函数,从而求出f(x)在[0,1]上的解析式,讨论m与[0,1]的关系判断f(x)的单调性得出f(x)的最值;
(3)根据新定义可知g(x)为周期为2的偶函数,作出g(x)的函数图象,根据函数图象得出p的值.
(1)假设y=cosx具有“P(a)性质”,则cos(x+a)=cos(﹣x)=cosx恒成立,
∵cos(x+2kπ)=cosx,
∴函数y=cosx具有“P(a)性质”,且所有a的值的集合为{a|a=2kπ,k∈Z}.
(2)因为函数y=f(x)具有“P(0)性质”,所以f(x)=f(﹣x)恒成立,
∴y=f(x)是偶函数.
设0≤x≤1,则﹣x≤0,∴f(x)=f(﹣x)=(﹣x+m)2=(x﹣m)2.
①当m≤0时,函数y=f(x)在[0,1]上递增,值域为[m2,(1﹣m)2].
②当时,函数y=f(x)在[0,m]上递减,在[m,1]上递增,
ymin=f(m)=0,,值域为[0,(1﹣m)2].
③当时,ymin=f(m)=0,,值域为[0,m2].
④m>1时,函数y=f(x)在[0,1]上递减,值域为[(1﹣m)2,m2].
(3)∵y=g(x)既具有“P(0)性质”,即g(x)=g(﹣x),∴函数y=g(x)偶函数,
又y=g(x)既具有“P
(2)性质”,即g(x+2)=g(﹣x)=g(x),
∴函数y=g(x)是以2为周期的函数.
作出函数y=g(x)的图象如图所示:
由图象可知,当p=0时,函数y=g(x)与直线y=px交于点(2k,0)(k∈Z),即有无数个交点,不合题意.
当p>0时,在区间[0,2016]上,函数y=g(x)有1008个周期,要使函数y=g(x)的图象与直线y=px有2017个交点,
则直线在每个周期内都有2个交点,且第2017个交点恰好为,所以.
同理,当p<0时,.
综上,.
【考点】8B:
数列的应用.
(1)利用指数数列的定义,判断即可;
(2)求出{an}的通项公式为,即可证明:
(3)利用反证法进行证明即可.
(1)解:
对于数列
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