初一数学尖子生复习讲义Word文档格式.doc
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若x、y在原点左侧,即x<
0,则-2y=8,所以y=-4,x=-12
若x、y在原点右侧,即x>
0,则2y=8,所以y=4,x=12
例4.(整体的思想)方程的解的个数是()
A.1个B.2个C.3个D.无穷多个
这道题我们用整体的思想解决。
将x-2008看成一个整体,问题即转化为求方程的解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为D。
例5.(非负性)已知|ab-2|与|a-1|互为相互数,试求下式的值.
利用绝对值的非负性,我们可以得到:
|ab-2|=|a-1|=0,解得:
a=1,b=2
于是
在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结果.同学们可以再深入思考,
如果题目变成求值,你有办法求解吗?
有兴趣的同学可以在课下继续探究。
例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与,3与5,与,与3.并回答下列各题:
(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?
答:
____.
(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,则A与B两点间的距离
可以表示为.
点B表示的数为―1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。
那么点A呢?
因为x可以表示任意有理数,所以点A可以位于数轴上的任意位置。
那么,如何求出A与B两点间的距离呢?
结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x<
-1时,距离为-x-1,当-1<
x<
0时,距离为x+1,当x>
0,距离为x+1
综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为
(3)结合数轴求得的最小值为,取得最小值时x的取值范围为______.
即x与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x与2之间的距离。
即x与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。
如图,x在数轴上的位置有三种可能:
图1图2图3
图2符合题意
(4)满足的的取值范围为
同理表示数轴上x与-1之间的距离,表示数轴上x与-4之间的距离。
本题即求,当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。
借助数轴,我们可以得到正确答案:
-4或x>
-1。
借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。
这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。
事实上,表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。
这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题。
代数式的化简求值问题
例1.若多项式的值与x无关,
求的值.
多项式的值与x无关,即含x的项系数均为零
因为
所以m=4
将m=4代人,
利用“整体思想”求代数式的值
例2.x=-2时,代数式的值为8,求当x=2时,代数式的值。
因为
当x=-2时,得到,
所以
当x=2时,=
例3.当代数式的值为7时,求代数式的值.
观察两个代数式的系数
由得,利用方程同解原理,得
整体代人,
代数式的求值问题是中考中的热点问题,它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整体代人的方法就是其中之一。
例4.已知,求的值.
解法一(整体代人):
由得
所以:
解法二(降次):
方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功能。
由,得,
解法三(降次、消元):
(消元、、减项)
例5.(实际应用)A和B两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条件基本相同,只有工资待遇有如下差异:
A公司,年薪一万元,每年加工龄工资200元;
B公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资50元。
从收入的角度考虑,选择哪家公司有利?
分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入(元)
第一年:
A公司10000;
B公司5000+5050=10050
第二年:
A公司10200;
B公司5100+5150=10250
第n年:
A公司10000+200(n-1);
B公司:
[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]
=10050+200(n-1)
由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元,如不细心考察很可能选错。
例6.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且,
则的值是_______。
因为abc<
0,所以a、b、c中只有一个是负数,或三个都是负数
又因为a+b+c>
0,所以a、b、c中只有一个是负数。
不妨设a<
0,b>
0,c>
则ab<
0,ac<
0,bc>
所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式,得到结果为1。
同理,当b<
0,c<
0时,x=0。
另:
观察代数式,交换a、b、c的位置,我们发现代数式不改变,这样的代数式成为轮换式,我们不用对a、b、c再讨论。
有兴趣的同学可以在课下查阅资料,看看轮换式有哪些重要的性质。
规律探索问题:
1
7
2
8
3
9
4
10
5
11
6
12
例7.如图,平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,….
(1)“17”在射线____上,
“2008”在射线___________上.
(2)若n为正整数,则射线OA上数字的排列规律可以用含n的
代数式表示为__________________________.
OA上排列的数为:
1,7,13,19,…
观察得出,这列数的后一项总比前一项多6,
归纳得到,这列数可以表示为6n-5
因为17=3×
6-1,所以17在射线OE上。
因为2008=334×
6+4=335×
6-2,所以2008在射线OD上
例8.将正奇数按下表排成5列:
第一列第二列第三列第四列第五列
第一行1357
第二行1513119
第三行17192123
第四行31292725
根据上面规律,2007应在
A.125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列
观察第二、三、四列的数的排列规律,发现第三列数规律容易寻找
第三列数:
3,11,19,27,规律为8n-5
因为2007=250×
8+7=251×
8-1
所以,2007应该出现在第一列或第五列
又因为第251行的排列规律是奇数行,数是从第二列开始从小到大排列,
所以2007应该在第251行第5列
例9.(2006年嘉兴市)定义一种对正整数n的“F”运算:
①当n为奇数时,结果为3n+5;
②当n为偶数时,结果为(其中k是使为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,则:
26
13
44
第一次
F②
第二次
F①
第三次
…
若n=449,则第449次“F运算”的结果是__________.
问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算,即当n为偶数时,结果为(其中k是使为奇数的正整数),要使所得的商为奇数,这个运算才能结束。
449奇数,经过“F①”变为1352;
1352是偶数,经过“F②”变为169,
169是奇数,经过“F①”变为512,512是偶数,经过“F②”变为1,
1是奇数,经过“F①”变为8,8是偶数,经过“F②”变为1,
我们发现之后的规律了,经过多次运算,它的结果将出现1、8的交替循环。
再看运算的次数是449,奇数次。
因为第四次运算后都是奇数次运算得到8,偶数次运算得到1,
所以,结果是8。
与一元一次方程有关的问题
例1.若关于x的一元一次方程=1的解是x=-1,则k的值是()
A.B.1C.-D.0
本题考查基本概念“方程的解”
因为x=-1是关于x的一元一次方程=1的解,
所以,解得k=-
例2.若方程3x-5=4和方程的解相同,则a的值为多少?
题中出现了两个方程,第一个方程中只有一个未知数x,所以可以解这个方程求得x的值;
第二个方程中有a与x两个未知数,所以在没有其他条件的情况下,根本没有办法求得a与x的值,因此必须分析清楚题中的条件。
因为两个方程的解相同,所以可以把第一个方程中解得x代入第二个方程,第二个方程也就转化为一元一次方程了。
3x-5=4,3x=9,x=3
因为3x-5=4与方程的解相同
所以把x=3代人中
即得3-3a+3=0,-3a=-6,a=2
例3.(方程与代数式联系)
a、b、c、d为实数,现规定一种新的运算.
(1)则的值为;
(2)当时,=.
(1)即a=1,b=2,c=-1,d=2,
因为,所以=2-(-2)=4
(2)由得:
10-4(1-x)=18
所以10-4+4x=18,解得x=3
例4.(方程的思想)如图,一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水,将瓶盖盖好后倒置,墨水水面高为h厘米,则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的()
不考虑瓶子的厚度.
A.B.C.D.
左右两个图中墨水的体积应该相等,所以这是个等积变换问题,我们可以用方程的思想解决问题
设墨水瓶的底面积为S,则左图中墨水的体积可以表示为Sa
设墨水瓶的容积为V,则右图中墨水的体积可以表示为V-Sb
于是,Sa=V-Sb,V=S(a+b)
由题意,瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的比为
例5.小杰到食堂买饭,看到A、B两窗口前面排队的人一样多,就站在A窗口队伍的里面,过了2分钟,他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍,B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人。
此时,若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队,将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭,求开始时,有多少人排队。
“B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍,且B窗口队伍后面每分钟增加5人”相当于B窗口前的队伍每分钟减少1人,
题中的等量关系为:
小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+
设开始时,每队有x人在排队,
2分钟后,B窗口排队的人数为:
x-6×
2+5×
2=x-2
根据题意,可列方程:
去分母得3x=24+2(x-2)+6
去括号得3x=24+2x-4+6
移项得3x-2x=26
解得x=26
所以,开始时,有26人排队。
课外知识拓展:
一、含字母系数方程的解法:
思考:
是什么方程?
在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0,所以不是一元一次方程
我们把它称为含字母系数的方程。
例6.解方程
(分类讨论)当a≠0时,
当a=0,b=0时,即0x=0,方程有任意解
当a=0,b≠0时,即0x=b,方程无解
即方程的解有三种情况。
例7.问当a、b满足什么条件时,方程2x+5-a=1-bx:
(1)有唯一解;
(2)有无数解;
(3)无解。
先解关于x的方程,把x用a、b表示,最后再根据系数情况进行讨论。
将原方程移项得2x+bx=1+a-5,合并同类项得:
(2+b)x=a-4
当2+b0,即b-2时,方程有唯一解,
当2+b=0且a-4=0时,即b=-2且a=4时,方程有无数个解,
当2+b=0且a-4≠0时,即b=-2且a≠4时,方程无解,
例8.解方程
根据题意,ab≠0,所以方程两边可以同乘ab
去分母,得b(x-1)-a(1-x)=a+b
去括号,得bx-b-a+ax=a+b
移项,并项得(a+b)x=2a+2b
当a+b≠0时,=2
当a+b=0时,方程有任意解
本题中没有出现方程中的系数a=0,b≠0的情况,所以解的情况只有两种。
二、含绝对值的方程解法
例9.解下列方程
解法1:
(分类讨论)
当5x-2>
0时,即x>
,5x-2=3,5x=5,x=1
因为x=1符合大前提x>
,所以此时方程的解是x=1
当5x-2=0时,即x=,得到矛盾等式0=3,所以此时方程无解
当5x-2<
0时,即x<
,5x-2=-3,x=
因为x=符合大前提x<
,所以此时方程的解是x=
综上,方程的解为x=1或x=
注:
求出x的值后应注意检验x是否符合条件
解法2:
(整体思想)
联想:
时,a=±
3
类比:
,则5x-2=3或5x-2=-3
解两个一元一次方程,方程的解为x=1或x=
例10.解方程
去分母2|x-1|-5=3
移项2|x-1|=8
|x-1|=4
所以x-1=4或x-1=-4
解得x=5或x=-3
例11.解方程
此题适合用解法2
当x-1>
1,x-1=-2x+1,3x=2,x=
因为x=不符合大前提x>
1,所以此时方程无解
当x-1=0时,即x=1,0=-2+1,0=-1,此时方程无解
当x-1<
1,1-x=-2x+1,x=0
因为x=0符合大前提x<
1,所以此时方程的解为x=0
综上,方程的解为x=0
1、体会方程思想在实际中的应用
2、体会转化的方法,提升数学能力
图形的初步认识
(一)正方体的侧面展开图(共十一种)
分类记忆:
第一类,中间四连方,两侧各一个,共六种。
第二类,中间三连方,两侧各有一、二个,共三种。
第三类,中间二连方,两侧各有二个,只有一种。
第四类,两排各三个,只有一种。
基本要求:
1.在右面的图形中是正方体的展开图的有()
(A)3种(B)4种(C)5种(D)6种
2.下图中,是正方体的展开图是()
ABCD
3.如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成,其中是正方体展开图的是(
)
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④
较高要求:
4.下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体,每三个带数字的面交于正方体的
一个顶点,则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是()
A.7B.8C.9D.10
5.一个正方体的展开图如右图所示,每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等,那么a+b-2c=()
A.40B.38C.36D.34
由题意8+a=b+4=c+25
所以b=4+ac=a-17
所以a+b-2c=a+(4+a)-2(a-17)=4+34=38
6.将如图所示的正方体沿某些棱展开后,能得到的图形是()
A.B.C.D.
7.下图是某一立方体的侧面展开图,则该立方体是()
A.
B.
C.
D.
还原正方体,正确识别正方体的相对面。
(二)常见立体图形的平面展开图
8.下列图形是四棱锥的展开图的是()
(A)(B)(C)(D)
9.下面是四个立体图形的展开图,则相应的立体图形依次是()
A.正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱
C.正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
10.下列几何体中是棱锥的是()
A.B.C.D.
11.如图是一个长方体的表面展开图,每个面上都标注了字母,请根据要求回答问题:
(1)如果A面在长方体的底部,那么哪一个面会在上面?
(2)若F面在前面,B面在左面,则哪一个面会在上面?
(字母朝外)(3)若C面
在右面,D面在后面,则哪一个面会在上面?
(字母朝外)
答案:
(1)F;
(2)C,A
(三)立体图形的三视图
12.如图,从正面看可看到△的是(C)
13.对右面物体的视图描绘错误的是(C)
4.如图的几何体,左视图是 ( B )
15.如图,是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图,则搭成这个
俯视图
左视图
主视图
几何体的小正方体的个数是()
A.3B.4
C.5D.6
(四)新颖题型
16.正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字,将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体,那么长方体的下底面数字和为.
正面—黄,右面—红,上面—蓝,后面—紫,下面—白,左面—绿
所以,从右到左,底面依次为:
白、绿、黄、紫
数字和为:
4+6+2+5=17
17.观察下列由棱长为1的小正方体摆成的图形,寻找规律,如图⑴
所示共有1个小立方体,其中1个看得见,0个看不见;
如图⑵所示:
共有8个小立方体,其中7个看得见,1个看不见;
如图⑶所示:
共有27个小立方体,其中19个看得见,8个看不见……
(1)写出第⑹个图中看不见的小立方体有125个;
(2)猜想并写出第(n)个图形中看不见的小立方体的个数为____(n-1)3______个.
11=10=03
28=231=13
327=338=23
464=4327=33
nn3(n-1)3
线段和角
(一)数线段——数角——数三角形
问题1、直线上有n个点,可以得到多少条线段?
点线段
21
33=1+2
46=1+2+3
510=1+2+3+4
615=1+2+3+4+5
……
n1+2+3+…+(n-1)=
问题2.如图,在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD,则图中小于平角的角共有()个
(A)3(B)4(C)5(D)6
拓展:
1、在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个?
射线
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