全国高中数学联合竞赛A卷试题含答案.docx
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全国高中数学联合竞赛A卷试题含答案
2019年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)
一、填空题:
本大题共8小題,每小题8分,满分64分。
1•已知正实数a满足aa=(9a)8a,则loga(3a)的值为
2•若实数集合{1,2,3,x}的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和,则X的值为
2019年全国高中数学联合竞赛加试试题(A卷)
一、(本题满分40分)如图,在锐角厶ABC中,M是BC边的中点。
点P在厶ABC内,使得AP平分∠BAC直线MP与厶ABRAACP的外接圆分别相交于不同于点P的两点D,E证明:
若
DE=MP贝UBC=2BP
—、(本题满分40分)设整数aι,a2…,a20i9,满足1=aι≤a2≤…≤a20i9=99记f=(a^+a^+…+a20192)-(a1a3+a2a4+a3a5+…+a2017a2019).
求f的最小值f0∙并确定使f=f0成立的数组佝,a2,∙∙∙,a2019)的个数
三、(本題满分50分)设m为整数,≥2.整数数列a1,a2,…满足:
a1,a2不全为零,且对任
意正整数n,均有an+2=a∏+1-ma∏.
证明:
若存在整效r,s(r>s≥2)使得ar=as,=a1,则r-s≥.
四、(本题满分50分)设V是空间中2019个点构成的集合,其中任意四点不共面。
某些点之间连有线段,记E为这些线段构成的集合。
试求最小的正整数n,满足条件:
若E至少有n
个元素,则E一定含有908个二元子集,其中每个二元子集中的两条线段有公共端点,且任
意两个二元子集的交为空集
2019年全国高中数学联合竞赛一试(A卷》
参考答案及评分标准
1.评阅试雜时.请依据本评分标准•填空屋只设*分和O分两档,其他各般的评闽.请严格按照本即分标准的评分档次給分P不得堆加其他中间档次.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步•正甌在评卷时可參考本评分标准适当划分档次评分.解答题中第9小AU分为一个档次■第KhH小题$分为一个档次,不得増加其他中间档次.
一、填空题;本大题共8小込每小题8分.满分64分.
I.己知正实数“满足=则IOM3①的們为・
W:
Ih条件l3S59^—.故5α=>fi)a∙a=atfl•所WIogJ3d)=—・
2.若实数集合}I.2J.λ∣的处大兀索勺用小元索Z密⅛于该集合的所付元盘之和,则T的值为・
解:
1K⅛χ>0.则凰大•凰小元衣Z羌不超过max{3∕∙而所有元董之和大:
Inax{3,x∣.不符合条件.故*V0■即N为最小元索.3-x=6÷x.解
3.平而"J坐折系4;足唯位向氐向越満足二;=2・叫可≤平皿对任童实血成立.则Pl的取值范用足-
答案:
∣√5.2√5∣.
M:
不妨JQe=(U))-由Fae=2.耐设Cf=(2.$)•姻对任意实数f∙仃
这笞价T4+?
<5|j|.解得μ∣∈[U4]>即√∈[U6].
于是Pl=√4+7∈[√5.2金]•
4.R为椭関I、的长轴顶点,F,F为】5勺两个焦点.I^I=4.∣.4Γ∣=2÷√3,P为1•上■点•满处∣PE∣∙∣M∣=2・则△/":
/的曲枳为.
答案,I.
解:
不妨设平面I•询坐标系屮「的标准方程为4+4=∣(λ>A>0).
(TΛ*
根据条件ft∣2fl=∣.IΛ∣≡i4.a±Jaz—Λ2⅛∣JΛ∣=2÷>A.∏IS∣λ=2.ft=I,H.∣f∕∣=2√α∙-A2=2j3.
由椭阴定义知IM|十IMl=加=4•结仟|P£|・∖PF∖"紂
|?
£f十IPFIl=(∣∕1f∣+∣PFOi-2∣ff∣∙∣PΓ∣=l2=∣^.
所以厶EPF为Il«1.进而EVtF=1∙∣∕^∣∙∣PΛ∙∣=I.
5.的.2.3.…』)中碗机选岀一个数S崔-L-2-3∙∙∙∙.-10中勃机选岀一
个豺∙Uh"心;整除的槪率为・
**∙Iooe
M:
数组(""JHilOj=IOO忡導悅帑的选法・
考虑真中便a2÷∕>½3廉除的迭法数N•
若“帔3協除.则b也被3整除・此时“上各冇3种选法•这祥的(Gb)冇护=9组.若口平被3醱除∙K∙∣√≡l(m□d3).从iΛjft≡Km(Xl3).此时αU7选法./>有4种选法•这样(Kj(tf,Λ)^7x4≡28fa.
37
因此*=9十28=≡37∙F是所求概率为二.
100
6.对任盘闭(XfIiH・fl]Ml/<示函数」∙=Mir在/上的Q大(t'[.若IE数α满
足Λ∕lυβl=2Λ∕lιfjβl・则“Wlfft为.
VJkt或Fjr•
612
M:
假如OVd∙≤专・则曲Il:
效園数图像性质得OVMlM=SinmSMχa∣∙与条件不符.
因此«>y・此时MMd=丨,故Mb.纽=!
,F是存在菲负烙数R・使紂
2Λπ÷-s<α<2(∕<2Aλ⅛-π•①
66
且①中两处"≤w至少有一处取到零号.
”*=0时•得“=丄JT或加=匕注・经检脸・a=^π.-π均満足糸件・
66612
-1U>1时.fllT∙2A∙7Γ-t-^r<2∣2jt7r+~r∣・故不存在満足①的“.
综上.“的值为丄兀或匕帀・
612
7.如图.正方体ABCd-EFCH一个截而纾过顶点A9C及投EF上一点K∙OIE方体分成体枳比为3:
1的两都分,则黑的值为・
Ar
答第√3.
脈记料为蔽面所6:
Tm.延—不交•「点尸•则P
在α上•故直线CPα与他BMF的交练设CP与甩?
交于点J割四边形AKLC为裁面•
因平而.4眈平ITTT而K"∙HAK9Bl∖CL点尸∙^ABC-KI-L7^
0.不舫设正方体梭长为l∙则正方体休枳为l∙讎合条件^^ABC-KFLtfJ休积y=}∙
4r
紗—烷=鈴唱=倉臓到Ps
分别足棱钳Γ-IfiC1I稜推P-KFL的高•『址
化简得3∕,=l∙故Λ=ψ•从而^γ=⅛=7=√3.
√3A?
PKh
R将6个救2.0J9,20,19按任磁次序排成行■拼成个8位效睛位不为0人则产生的不同的8位数的个数为•
答案:
498.
解:
将2,0∙L9.20,19¾ιvfG(4<为()的捋列的全体记为儿
⅛>liM≡5x5∙=6CO〈这里及以下.M表示有限集Xβ⅛元索个数〉・
V2的肓一项是0∙HJ的后一项建9的排列的全体记为5:
A屮2的后一顼是0∙但I的后一项不是9的It列的全体记为r:
A中I的后一项是9∙但2的后一项不是0的排列的全体记为D•
⅛to∣β∣=4?
.∣β∣÷(c∣=5!
.∣Λ∣+∣D∣=4×4!
>β∏∣B∣=24,∣C∣=96t∣D∣=72・
由P中排列产生的毎个8{⅛βl,恰对应〃中的2x2=4个禅列(这样的排列中.20可与-IOM互换.!
9可IJML9H互换)•类似地.由「或D中推列产生的每个8位数•恰对应(7或。
中的2个排列•因此満足条件的&位数的个数为
∣j∖(5∪c∪D)∣÷l^l⅛Si^
Λ
二解签船本大33共3小SL满分S6分.解答应写岀文字说明、证明过程或漏算步骤.
9∙CJ*βM分16分)W处中.BC≈aiCΛ≈b.Λli≈c.若乃是Q与G的等比中项∙HSin^½sin(β-^)I-JSmCw中项.求CCfiB的fit
解:
因/>是0«的等比中顼.故存在彳>0,满足
2sιnA=sin(Ii—J)-f∙SinC≡Sin(J?
—4)∣+sin(β⅛A)=2$inBCoSA.
结合JIL余弦定理•衍
Ul“‘+C2—tt*=IaC•
将①代入并化前・可¾1∕÷√-1≡2^.即74-<+>∙所以
进而
12分
16分1».<*«»分2()分)在T而坐标系中,恻兌与地物红「」•—&恰仃一个公共点.且圆Jl与二轴相切于「的轨点F.求圆。
的半径.
鹏易知「的議点F豹坐标为(1・0)・设BId的半径为r(r>O)∙由对称性•不妨徙d任M轴上方与X轴梆切FF.故G的方程为
U-l)2+(y-r)2=r.
=F代入①并化纵+/-2σ=r0.皿然y>O,故
5分根器条件.心)恰有一个正数解该Nfi对应。
与「的唯一公共点.
考虑M≡⅛^√v>θ)的锻小值•
32丫
从而
IIiT均位不*,rΛKllr2十4=y'十g+扌十~∙≥4J」*(寸•
∕ω>5^∙i6
15分
当HK当r2=J•即V≡半时•/(y)IUj*JM小值字.
由②有解i∣fiflr>±∕i.义倒δ∏r∙>字.闵八口副P连绩变化.U.V-"半,十寸上均有解.与解的
唯一性矛腑.
20分
U.(本用欄分20分)弥-个足数效列匚;为“仃趣的”.r:
IZIhI.n对任慝正筆故刃・均有4;:
・|+2匚二讪+二:
=0∙求用大的轧数(、・使得时一切仃理的故列匕」及任总正整数”八ZMfk÷r.+∙∙→rβ,∣>C.
K:
嘉世仃趣的!
Z数数列二|・力纳地υΓ⅛!
lr^()(∕reN,).由余件为
維待字S=二^返1(疋、・).因此曽钊=SFLL^l=sf,故k.l=l-∣l⅛≡^Zr(WeNe)•
=^r
进而有
2-
记TWMI*4亠+∙∙∙÷rWI(WJ∈N*)・%=2$($eN[时.种H②可御
_才如FI=
IO分
7L≥l-∣十彳I-£|二”-i十二”IA芈-亡
当加=2$+1($€、°)时.由①、②町知
ISlI=S右VJ^TS=∑∑l^-∣+∙^l∙
丄n■A«s-fl-A«*>
-UlI-I-Z∣+I∣÷-24∣=^^∙
当”1=1时・片=k∣=iA半・
15分
以上发勒匚=£満足婆求.
另•方而・当r1=I.Z24=.r24>l=⅛⅛Ik∈N*)时.拐验证知
辄」为何趣的数刘.此IM
■
A≡l
20分
=l∙πl-I+72(∙iA+
2019年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)
參考答案及评分标准
说明,
1.评阅试堆时,请产格按照本評分标准的评分档次给分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只曼JS路合理、步:
》正确•在评卷时可參考本评分标准适当划分档次评分川分为一个档次■不得增加其他中何档次・
—<(本M分40分)如18中∙M堆〃「边的中乩点尸任
内•使得AP^^JJiAC.∣τ⅛A∕P与P、^A(T的外按岡分別郴交J
H∖(Ψ∏ΓXllZHDlt,=LiiΛP=Z 国为HM≈CMILEA/=EV•所以RF=CEaBFHCE・ Γ⅛LF=ZCEWMBDP.进IrIJIiJ)=BF・20分 7.DE≈SIP.SPHEM=FM・ 「•堆征等腰ABDF中•由对称性彻AP=BM■从而Bc=2SM=2BP∙ 40分二•(本Je満分40分〉i⅛整¾δip∏2√∙∙1CJ2Mi.⅞足I=α∣W幻W…S込吓=购・记/=@;+“;i•十%)-(ala3十fl2σ4÷u∕ι5+…+Gxwj)・求/的垠小血人.并确定伙r=人成立的数组%」的个數. 解: 由条件知 2(Λ1 2/=Qf÷λ2+<⅛m+⅛h∙4工阿=-©): •① β>l : OI* ΣU∙2-fl.)=十SHK・② illΓtf1,u2及%-(JJG≡1,2,∙∙∖2016)均为菲负整数•故有<>al.at>a2・^⅛∙2~at∕≥¾≠2~aΛi≡h厶…,201®.于昱 Oi十十52g∙,-©•≥o∣十创十 *■! IO分 ιhφ>②得 2∕≥Λ2φp+ff>∣∣+(亦-¾∣f)2+λ3H÷‰* 结合“则=99及α20nι>«2On>0,町加 /≥τ(2αa>∏+(99-α2017)5+α爲十塚) =(α20l7-49)2÷7400>7400・③ 20分另一方而.令 αl≡α2≡τ...≡αmα-I.Jzt■ 30分以下孑迟③的取尊条件•此HI^I=αxιlt=49.且②屮的不警式均 Il∏f∕l=^=∣.λik7,€: OJI(I=L2.•••■2016)• 因Jlkl=GI≤βy≤∙∙∙≤fl2t∣l=49,I丄対毎个&(1≤*≤49)tfl1.∙αj.∙∙∙.ffxn,l,戛少仃两项筹于*∙这也是③IR零的充分*什・ M毎个Λ(1≤Λ≤49).‰υ<⅛-⅛¾l中等Titt琐数为I十叫.则叫为止於数OIL(1+wl)÷(1⅛∕r2)+∙∙∙+(l÷π4^)≡2018∙RP +肪: 4・・•+/1.=1969・ 该力租的疋整效解仙./、….心)的纽数为也且毎组解-x∙i应•个便④収零伯数组(LS…山和」.故便∕≡=√;成工的数细(%0;■…∙%J宵c£个. 40分=UC4: m分轴分)设刖为整数∙M∣22•経数数列d14∙…满居al.u2不全痛・鬓对任«>均Igm 证明: 若存化整ftr⅛ι(r>.v>2)便得鸳=atSB叫.JMf-J≥∣m∣. 证明: 不紡设如陽互JiU否虬若yj≡=M>l∙则牛与牛互瓠并且用d(J 字学■*■…代宀厶…•条件匂结论均不改变). daa lħ? &列迷推关系知 σ1=α∣=σ4=∙∙∙(mod∣m∣).① 以下证明: 对任癒畫敷λ>3.有 O(I≡α3-(α∣+(π-3>αj)m(mod∕τr)•② IO分前实上•当JI・3时②显优成立.^mn≈k时②成立C其中A为来个XT2的张故)•注恿到CD.fι≡x.1≡≡jnι□d√).结合归纳載设知 αw∣=QA—ma*、≡a2—阿+(⅛-3>αj)m-m<>2 =a2-(^l+<Λ-2)u2)(∏*>Jmj)• l! ∣i∕J=*+l时②也成辽•阿此②对任意整S(M>3均成立•20分 注阪⅛αl≡a2时•②对n=2也成立• 设fH⅛rl^(r≥jp>2)•满⅛αr=αj=αl・ ^αl=α,.由②对“22旳戒立.可知 U: _(□)+(r—3)勺)劝≡af=4It三α2_(q÷(.v-;)込)加(modm2). 叩Ul+(/•—3)as≡αl+(J—3)ai(n⅛>d∣∕HI)∙Wl (FT)α,≡0(π)θd∣√n∣)・@ ^aI≠α2∙⅛]or≡≡βs≡β∣*α1•故r>s>3∙业时山F②对n>3^}成立.故类似可知③仍成立.30分 找们证明“”用! £累・ 事实卜•・K⅛x>Λm存在一个公共索因fP.则由①術P为吆O3.5…的公IMJ.而碍心互素•故p∖a2.这IJar≈a9=Syf 闵此•由③^r-S=O(n*κl∣w∣).Xr>s.所Wr-S>∣∕w∣. 50分四、CWM分利分)设卩堆空间中2019个点构成的集合•其中任童四点不共仏菜叫点2何连有线段,记E为这歧线段构成的集合・试求垠小的止整数M.満足条件,/;£至少右〃个元素∙WJA--定您冇908个二元「集.JE中抵个: 元子集屮的两条线段右公共菇点.Fi任意两个二元子集的交为空集. 解: 为了釵述力便・称-个田中的苗条相邻的边构成•个“加”. 先证MJr个引理: 设O=(F上)是一个简单用・且O是逢適的.的G含仃个两购无公辰边的如(这UIS]农示实数C的幣数潮分,. 别理的证明T对£的元耒个数忙阳纳证明・^IrI=O.1.2.3时.结论M∙然咸工.FiftIKttlZ∣≥4.片且鉛论任|£|较小时均成立.只需证阴.在G屮可Uii取衲条边a.b^fS.一个角.任G中耐去“4这两条边民剩F的怕含冇一个连通分丈包含|£|-2条边.对这个逢通分支应用啊纳假设即为结论成立. 考的中的敞长賂F;vipj.∙∙vi,其中vl.v,t...,r1½互不相同的廉点.因为G连讷•故23. 怖形h 灰中3幻“∙Wh⅛ηvt∣⅛•个你OΦIM去这轉条边・若片处还有蹌三条 边•则辆卜的罔足连迥的I若U处仅行被刑尖的两条边•划片成为血立点・心 连IflL总Z茫剁下的图屮仃一个连通分支含什A卜2,E边・ 悄形2: <∣cg(vl)≡].de^(ι∖>≈2.IMIVIv2tvp>l&'个加.花<7中IH公这两条边后・V"、都成为孤*点,从余的点互和连通・国此何一个连通分支含右IE卜2条边. 怖形3: (Ieg(VI)=I.dcg(vj>3∙HJJ几」•——T氟则: H小; 趣一个你圧G中ft两紺儿成为抵…£相理如因此有一个逢通分支含^|£|-2条边. IW形4: dcg(vl)=1∙dcg(v2>≥3τib∖IjVJ个Mnbb•••■和相^β∙IhT^理最长路.故If的邻点均征怡…电之中.WIvlV2.'∙J7j⅛∙个你征G中8»去这两条边.別片戛孤土点.若“处仪位边叫,则刪公所述边信"也足滋立点,而Jg条点互相连通.若”处还冇兀他边",・3≤f≤A.所述边后.除几外K余 点⅛l∣iiS⅛i-总之•斜F的图中有一个连迪分支含<|£|-2条边. 引理获证.20 冋到原勢題中的F和E可石作一个l¾G=<Γt^). 杵先述明λ≥279S. 设*λ=IVPVIrv⅛・任VI宀严宀冲•市先旳曲连边∙IMM去其中15条Hl 815⅛JiA<)1个点^rljCfrtra見连通图.再4⅛崭余^2019-61=1958个点配破979对•何对两点之何连_条 =907个两两无公如边 边•则圉G中一共连了18154979=2794条线段.由上述构迫町见.G中的任何 -•个角必须便用片'•…■仏相连的边,因此至笔Ii : 。 ・啟謫足婴求的I、小F2795・W 另一方而•若I叩279S∙可任創別去若干条边•只考^∣Ei≡2795的倩形•设G有上个连通分丈・分谢有mi,∙∙∙,m4个点.及环….白条边.卜Iki证明%∙∙∙.0j"至多TT979个奇数・ 反证法r假设环…•勺中有至少980个奇数•由于屮…g=2795是奇数•故环…心中至少仃981个奇数•故Λ≥98U不妨迎%%∙∙∙,⅜M都址奇It显然%叫•…∙"⅛nN2・ 令w≡υι9ll+∙∙∙→∕Mi≥2.则ffC^≥ς(l≤ι≤980).≥tf,fl+-+et.故 1W-O 2793=∑ mlt∙-1 利用组含Sl的凸性∙l! μ*Lv≥r≥3.仃c: ;~c; «1 Cl⅛£c;≤C: +98OC∙=269l<2795• ml 这与①才・肝・从両%…宀中望多有979个奇数.40分 対毎个直通分支应用引理•町知G中角存N个两柄疋公具边的%J∙Jl中 N=£闫2£(£丐_咖)=1*(2705・97专=908. 50分 烁上・■所求最小的〃绘2795. 3•平面直角坐标系中,是单位向量,向量满足•=2,且*2≤5对任意实数t成立, 则的取值范是 4•设A,B为椭圆Γ的长轴顶点。 E,F为Γ的两个焦点,=4,=2+一,P为Γ上一点, 满足=2,则APEF的面积为 5•在1,2,3,∙∙∙,10中随机选出一个数a,在-1,-2,-3,…,-10中随机选出一个数b,则a2+b被3整 除的概率为6.对任意闭区间I,用MI表示函数y=sinx在I上的最大值。 若正数a满足M【o,旬=2M[a,2a],则a 的值为 7•如图,正方体ABCD-EFGH勺一个截面经过顶点AC及棱EF上一点K,且将正方体分成体积比为3: 1的两部分, 贝y—的值为 8•将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),则产生的不同 的8位数的个数为 二、解答题: 本大题共3小题,满分56分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤• 9.(本题满分16分)在厶ABC中,BC=a,CA=b,AB=C若b是a与C的等比中项,且SinA是Sin(B-A)与SinC的等差中项,求CosB的值。 2 10.(本题满分20分)在平面直角坐标系XOy中,圆Ω与抛物Γ: y=4x恰有一个公共点,且圆Ω与X轴相切于Γ的焦点F求圆Ω的半径 11・(本题满分20分)称一个复数列{Zn}为“有趣的”,若=1,且对于任意正整数n,均有4Zn+12+2ZnZn+1+Zn2=0•求最大的常数C使得对一切有趣的数列{Zn}及任意正整数m,均有|Z1+Z2: +…+Zm|≥Co
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