基于视频图像处理测定车速的优秀数学建模论文Word文档下载推荐.docx
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安全工程
20136809
13290036816
61
474
455
摘要
本文研究基于事故后视频的车速估计理论,并使用该理论对南京宝马车与马自达车相撞事故中各物体碰撞前后速度进行了估计。
视频坐标变换理论:
我们针对视频提供的位置信息建立了一套基于斜坐标系的坐标变换理论。
以视频右下角为原点建立的直角坐标系可以对应到地面上一个斜坐标系中。
通过测量车辆在视频中所处的位置,可以转换为相应的实际地面上所对应的位置。
我们对该理论做出来简单的证明以及了公式推导。
事故后两车各个时刻瞬时速度的确定:
根据该案例的实际情况(碰撞前后两车主要质量都集中在同一直线上),把二维坐标变换简化为简单的一维坐标变换。
通过简单的测量每一帧两车所处位置到原点的距离即可得到真实情况下两车各个时刻到碰撞点的距离。
由此又可以得到碰撞后两车各个时刻的瞬时速度。
碰撞后一瞬间瞬时速度的确定:
对于运动情况较为复杂的马自达汽车,我们根据汽车受力情况从理论上分析得到了汽车的速度变化规律,发现可以简化为匀减速,其产生的误差统一计入最后的误差项中。
由此用线性拟合得到马自达车碰撞后的瞬时速度为26.1m/s,马自达车车尾速度为33m/s,宝马车碰撞后瞬时速度为54.4m/s。
运用动量守恒定律求解碰撞前的瞬时速度:
我们把碰撞后的碎片大致分为马自达车头、马自达车尾、宝马车整体作为主要部分,把含有少量质量的其他碎片作为误差项统一计入最后的误差。
最后对各个部分产生的误差统一进行整理线性叠加最后算得宝马车速为223.21~267.80km/h,宝马车严重超速。
最后我们对该视频坐标变换理论的二维情况进行了初步的探讨和应用介绍并对模型进行了一系列的模型检验和灵敏性分析。
综上所述,我们的模型可以较为准确的估计视频中汽车的速度。
关键词:
视频坐标变换理论理论力学分析动量守恒定律
一、问题重述
1、问题背景
在实际的应用中,我们除了对未来的事件进行估计之外,也经常利用一些科学手段对于已经发生的事件进行估计和判断。
六月二十日在南京发生的宝马车闯红灯撞碎马自达车的交通事故,根据所公布的碰撞视频,网友被超过好莱坞特技场面的惨烈画面所震撼,纷纷质疑事发时肇事宝马车的车速。
实际上,常用的判断车速的方法有很多,比如最常用的雷达测速,区间测速,基于图像的测速,基于刹车痕迹的测速方法等等。
但是上述方法,仅根据现有的图像资料均无法使用。
现在要求仅仅根据有限的视频资料和常识性数据(比如宝马车和马自达车的基本参数、提供视频的摄像头参数等)得到该车车速的估计。
2、题目要求
根据有限的视频资料和常识性数据(比如宝马车和马自达车的基本参数、提供视频的摄像头参数等)得到该车车速的估计。
将得到的估计数据和通过其他方法发现和估计的速度进行对比,说明模型的优点和不足,提出可能的模型改进或者现场数据的测量。
二、模型假设
1、假设视频中所有可见道路均处于同一平面;
2、假设视频无失真现象;
3、假设马自达车被撞后轮胎抱死。
三、符号说明
符号
说明
X
视频图像宽度
θ
监控摄像机相对地面的倾角
H
摄像机高度
VO
马自达车被撞后的质心速度大小和方向
VAO
A点相对于O点的运动速度大小和方向
S
距离
四、模型的建立与求解
(一)录像处理中的坐标变换理论基础
1、问题分析
在监测视频中所看到的直角是二维空间的任意角在三维空间投影形成的图像,因此想要通过视频了解事故发生时车任意时刻车所处的位置需要进行一系列的坐标变换才能得到真实路口上的坐标,进行进一步的计算。
如图1所示为事故发生时的行车情况模拟图。
【1】
图1事故发生时行车情况模拟图
2、模型建立
通过上述问题分析,我们知道,在录像中看到的平行四边形和直角在真实世界中其实是矩形和钝角。
如图2、图3所示。
图2录像中看到的图像图3真实世界中的图像
因此我们根据上述分析,得到坐标变换定理。
定理:
以任意录像的右下角为定点建立直角坐标系可以在图像中地面上找到一个确定角度的斜坐标系与之对应。
该定理证明如下:
对于一个固定的平面斜坐标系xoy构造两相交平面α1,α2使x轴y轴分别在平面α1和平面α2上。
令α1,α2的交线为l。
取x轴正方向半平面与y轴方向半平面及交线l即可构成一个二面角,记为A-OD-B。
由于平面α1,α2不是固定的,则他们的交线l也不是固定的,OD可变,所以二面角A-OD-B的大小亦可变,且二面角A-OD-B的大小在0°
到180°
之间连续变化。
则总存在OD’,使二面角A-OD’-B的大小为90°
即总存在一个直角坐标与斜坐标对应。
如图4所示。
图4证明示意图
由于摄像头中呈现的矩形图像,可以建立直角坐标,则摄像头中所呈图像为地面在摄像头所在平面的投影。
如图5所示。
图5真实世界向摄像机投影示意图
有了以上定理,我们就可以通过丈量图片的方式获取车辆在图像中的坐标,通过坐标变换的方式把它转化为真实世界中一个斜坐标系中的坐标。
运用斜坐标系中的相关理论确定汽车每一帧所移动的距离。
这种方法可以有效提高对录像信息的利用率和精度。
(二)一维视频坐标变换方式的确定
若是一般的平行映射,坐标变换会是较为简单的等比例变换。
但是由于摄像机成像原理是小孔成像,因此各坐标轴的变换都会较为复杂,需要单独分析。
由于视频图像中的点可与真实世界中的点一一对应,摄像机在拍摄时,利用小孔成像原理投射到屏幕上,原理如下图6所示。
图6摄像头成像原理示意图
然而利用小孔成像原理在屏幕上的投影形成的图片各点与真实世界中的图像各点不是等比例缩放,为了将视频图像中的点坐标与真实世界中的点的坐标一一对应,我们进行了坐标的转换,下面就进行转换公式的推导。
设视频图像宽度为X,视频中的点C到原点的距离为x,监控摄像机相对地面的倾角为θ,摄像机高度为H,其余字母及符号见图7。
图7坐标转换示意图
令s=MC,S=NQ,由正弦定理知
ssinβ=xsin(π-β-θ)
(1)
过C点做平行线,使L3平行于L1,则△CMP与△QNP相似,所以hH=sS,然而
h=(X-x)sinθ
(2)
联立上式整理后可以得到
S=Hsinβsinπ-β-θsinθ·
xX-x(3)
由于β,θ,H均为容易出的量,所以唯一是变量为x
令C=Hsinβsinπ-β-θsinθ,则
S=C·
xX-x(4)
即可得到NQ之间的距离S。
接下来进行系数C的确定,我们通过在百度地图上对事发路口进行测量,如图8所示,得到马自达汽车从被撞到停止约移动了35米,这段距离在视频图像上经测量为6厘米,视屏图像宽度为12厘米,代入上式得到C=33。
图8百度地图路口鸟瞰图
(三)运用斜坐标系视频解读策略确定帧与帧之间车移动的距离
运用斜坐标系视频解读策略确定帧与帧之间车移动的距离,运用视频软件将宝马车与马自达轿车碰撞过程进行拆分,以每一帧为单位,得到碰撞过程共
33帧,每一帧时间为0:
00:
00.08。
拆分视频结果如图9所示。
图9每帧视频截图
2、建立模型
在视频中建立如下图10所示的直角坐标系,确定每一帧中A,B点的坐标。
运用式(4)进行坐标变换得到真实世界中对应斜坐标系的坐标即可计算两个点间距离。
这里需要注意的是斜坐标系下的距离公式:
图10直角坐标系示意图
设斜坐标系倾角为θ,A、B两点的坐标分别为xA,yA和xB,yB,则他们之间的距离是【2】
AB=xA-xB2+yA-yB2+2xA-xByA-yBcosθ(5)
但是在此处碰撞前后两车主要质量都集中在同一直线上对应视频中也主要集中在视频的对角线上,因此可以简化为一维碰撞对应的测量也只用丈量两车到视频右下角顶点的距离即可。
如图11所示的一维示意图,二维视频坐标变换详见下文分析。
图11一维示意图
如表1所示为B车马自达33帧动画中距离原点位置,表2所示为A车宝马车33帧动画中距离原点位置。
表1B车马自达33帧动画中距离原点位置
视频帧数
视频距离
1
9
3.8
17
5.1
2
10
4
18
5.2
3
1.8
11
4.3
19
5.25
2.5
12
4.5
20
5.3
5
2.9
13
4.7
21
5.35
6
14
4.9
22
5.4
7
3.2
15
4.95
23
5.45
8
3.4
16
24
5.5
表2A车宝马车33帧动画中距离原点位置
7.2
1.5
7.6
7.9
4.2
8.1
8.3
8.6
6.6
8.8
运用Excel算得实际现场各帧图片距离原点的距离,结果如表3、表4所示。
表3B车马自达33帧动画中实际距离原点位置
实际距离
13.90244
22.17391
2.727273
22.94118
5.294118
16.75325
23.33333
7.894737
23.73134
9.56044
19.31507
24.13534
20.70423
24.54545
10.90909
21.06383
24.96186
11.86047
21.42857
25.38468
表4A车宝马车33帧动画中实际距离原点位置
45
4.285714
51.81818
57.80488
16.15385
62.30769
25.38462
67.2973
30
75.88235
36.66667
82.5
42
90
(四)运用统计的路程对速度进行计算
运用瞬时速度的定义,
v=dxdt=ΔxΔt(6)
得到宝马车和马自达汽车在视频画面中每一帧的瞬时速度。
结果如下表5、表6所示。
表5B车马自达33帧动画中每帧瞬时速度m/s
瞬时速度
34.09091
13.71951
9.590793
32.08556
21.91558
4.901961
32.50774
15.58442
4.975124
20.82128
16.43836
5.049938
5.494505
17.36446
5.126452
11.36364
4.495055
5.204719
11.89218
4.559271
5.284792
25.52467
9.31677
表6A车宝马车33帧动画中每帧瞬时速度m/s
53.57143
85.22727
71.42857
74.8337
76.92308
56.28518
115.3846
62.37006
57.69231
107.3132
83.33333
82.72059
66.66667
93.75
37.5
可以看出这里速度变化较无规律,可能由于路程测量不精确导致。
因此这里采用去掉极端项进行线性拟合的方式来提高准确性。
得到如图12所示为撞车后宝马车速度时间图,图13所示为马自达车被撞后速度时间图。
图12撞车后宝马车速度时间图
图13马自达车被撞后速度时间图
从图中可以清晰的看出马自达车被撞后瞬时速度为26.2m/s。
宝马车被撞后瞬时速度为54.4m/s。
用直线对速度进行拟合的正确性将在下一节中进行详细论证。
(五)对速度进行力学分析并与统计结果进行比对
宝马车肇事后基本完好无损,继续呈直线运动。
马自达车被撞后被分成的若干块,车头部分和车尾部分集中了全车主要的质量。
其中车头部分未离开地面,被撞击后不仅有平动还有转动受力情况较为复杂,因此需要对车头进行单独的受力分析。
如图14所示为马自达车碰撞后运动状态示意图。
图14马自达车碰撞后运动状态示意图
马自达车被撞后不仅产生的很大的与冲击方向同向的速度,还产生了一个相对于马自达车质心的角速度。
图中A、B、C、D四个点表示马自达轿车的四个轮子,O点表示马自达轿车的质心位置。
如图15所示为马自达车轮运动状态分析图。
图15马自达车轮运动状态分析图
图中VO表示马自达车被撞后的质心速度大小和方向,VAO表示A点相对于O点的运动速度大小和方向,这个速度是由转动产生的方向垂直于轮子到质心的连线,A点的绝对运动速度VA=VO+VAO,同理可以计算出B,C,D三个轮子对应的绝对速度方向。
马自达车被撞后完全失控处于滑动状态,四个轮子所受摩擦力方向与其运动方向相反,即:
VAVA=-ff(7)
摩擦力的大小仅与路面粗糙程度和压力有关,此处可以视为一个常数。
当汽车转动时,四个轮子的绝对运动方向就会偏离其质心的运动方向,摩擦力也因此偏离了质心运动方向。
因此在有转动的时候,摩擦力不会全部用于减慢质心运动速度,摩擦力会随转动的速度变化而变化。
详见附录一。
图16理论加速度随时间变化图
程序输出的理论加速度随时间变化图上反应加速度不是一恒定的量,会随时间变化而增大,也就是随角速度的减小而增大。
图17理论速度时间图
反映在理论速度上影响极小。
图18用直线代替曲线速度对比图
用直线代替曲线进行拟合仍有一定差值,如图两直线间差值约为1.34m/s。
为了计算方便,我们仍然使用直线进行拟合,将直线和曲线拟合的差值计入误差中。
(六)运用动量守恒定律计算碰撞前宝马车速
A车宝马车与B车马自达车碰撞的示意图如下图19所示。
图19碰撞示意图
由于宝马车车速极高,在宝马车与马自达车碰撞的瞬间可认为满足动量守恒定律,简化抽象后可对碰撞前两车速度进行分析,如图20所示。
图20速度分析
由于马自达车正在转向,水平方向速度极小,可忽略不计设为0
为简化计算,我们将碰撞模型抽象为一维碰撞,该碰撞满足动量守恒定理。
碰撞后,马自达车解体,其质量主要分散在车头,车尾及碎片部分,假设MB车头=35MB,MB车尾=15MB,MB碎片=15MB。
而宝马车除车头外无其他形变,也没有解体,则质量不变。
综上所述,利用一维碰撞动量守恒定律我们可以得到
MAVA+MBVBx=MAV'
A+MB车头VB1+MB车尾VB2+MB碎片VB3(8)
前面部分已分析出碰撞前VBx=0,经过之前的计算可得
V'
A=54.4m/s,VB1=26.1m/s
VB2=33m/s,VB3介于0和宝马车车速之间,计算时取VB3=12VA。
经过查阅汽车参数,宝马中国官网上显示宝马740li领先型自重(欧盟标准)1,985千克。
【3】
由于宝马车在碰撞过程中车上有一名乘客,车厢中还摆放有其他物品及货物,汽车油箱中还有汽油。
我们假设碰撞时宝马车总质量介于2285~2385千克之间。
而长安马自达公司官网并未给出长安马自达2车型的质量,通过查阅相关文献,我们得到长安马自2两厢、排量为1.5L手动挡车型的自重为1039千克,碰撞发生时车上有两名乘客,车厢中还摆放有其他物品,汽车油箱中还有汽油。
我们假设碰撞时宝马车总质量介于1190~1290千克之间。
计算式取MA=2335kg,MB=1240kg
将以上数据代入式中仅仅计算,得到VA=67.70m/s=243.72km/h
五、灵敏度分析
一维坐标变换方法的灵敏度方法,程序详见附录二。
图21视频中不同位置上一毫米所对应的实际距离长度
图中显示,距离原点较近时,该方法灵敏度较低即使使用较为粗略的工具测量也不会对结果造成很大影响。
但是测量远离原点位置距离是灵敏度非常高,需要精确的测量才能保证结果准确性。
具体分析结果如下表所示:
表7宝马车质量变化对碰撞前宝马车速度影响灵敏度分析
宝马车质量(kg)
质量变化量(kg)
碰撞前宝马车车速(km/h)
碰撞前宝马车车速变化量(km/h)
2285
-50
244.79
1.07
2335
243.72
2385
50
242.68
-1.04
表8马自达整车质量变化对碰撞前宝马车速度影响灵敏度分析
马自达整车质量(kg)
碰撞前马自达车车速(km/h)
碰撞前马自达车车速变化量(km/h)
1190
241.73
-1.99
1240
1290
245.71
1.99
表9碰撞后马自达车头质量变化对碰撞前宝马车速度影响灵敏度分析
碰撞后马自达车头质量(kg)
0.5*1240
-124
238.59
-5.13
0.6*1240
0.67*1240
86.8
247.3
3.58
表10碰撞后马自达车头速度变化对碰撞前宝马车速度影响灵敏度分析
碰撞后马自达车头速度(m/s)
车速变化量(m/s)
23.7
-2.4
240.89
-2.83
26.1
28.5
2.4
246.55
2.83
表11碰撞后宝马车速变化对碰撞前宝马车速度影响灵敏度分析
碰撞后宝马车速(m/s)
51
-3.4
231.15
-12.57
54.4
57.8
256.29
12.57
六、模型检验
1、距离检验
如图22中红色圈出部分为两根路灯。
两根路灯到原点距离分别为8.7cm,9.6cm。
换算为实际距离后两者相距原点87m,132m。
两路灯距离45m,符合国家标准的路灯安放标准。
以式(4)为核心的坐标变换模型可以准确有效的估计真实距离。
图22视频路灯示意图
2、带入新闻中提供的速度进行对照
通过查询相关资料,我们得到了公安部交通管理科学研究所道路交通事故鉴定中心给出的结果:
宝马轿车通过监控视屏画面中的参照线时的行驶速度为195.2km/h。
这与我们计算的碰撞前宝马车速度范围223.21~267.80km/h相差不大,属可接受范围。
七、误差分析
1、撞后车速的误差
由于仪器精度有限,因此所测距离存在一定误差。
且由于碰撞视频中灰尘过大,确定宝马车和马自达车的位置较为困难,使用更加精密的仪器意义也不大。
因此我们就使用了分度值为1mm的刻度尺进行测量,测出的速度误差对于两车分别为:
(1)马自达在屏幕中距离边缘最大距离为6±
0.1cm,换算为实际距离则为33±
1.1m,对应平均速度为16.5±
0.55m/s,用平均速度的两倍计算最大速度时产生的误差规模为33±
1.1m/s再叠加上直线代曲线产生的误差±
1.34m/s。
因此,马自达车速度最大误差为±
2.4m/s;
(2)宝马在屏幕中距离边缘最大距离为9±
0.1cm,换算为实际距离则为94.1±
4.4m,对应平均速度为73.5±
3.4m/s由于宝马车碰撞后还有轻微加速,因此碰撞后瞬时速度的小于平均速度,同样误差也小于平均速度误差。
这里仍以该误差记,记宝马撞后速度误差为±
3.4m/s。
2、车重的不准确估计
由于搜集到的资料有限,所以关于两辆汽车整体的质量估计存在一定误差。
此外由于碰撞后马自达车解体,我们无法准确得知马自达车每一个部分的质量,通过对每一部分质量进行估计所得到的结果也存在误差。
由于两车质量估计,以及碰撞后马自达车破碎程度引起的误差如下
(1)通过查阅有关资料我们得到宝马车的自重为1985kg,宝马车在碰撞过程中车上有一名乘客,车厢中还摆放有其他物品及货物,汽车油箱中还有汽油。
我们假设碰撞时宝马车总质量介于(2335±
50)kg之间。
碰撞后没有发生解体。
因此,由于宝马车质量引起的误差约为(±
1.07)km/h.
(2)通过查阅有关资料我们得到长安马自2两厢、排量为1.5L手动挡车型的自重为1240kg,碰撞发生时车上有两名乘客,车厢中还摆放有其他物品,汽车油箱中还有汽油。
我们假设碰撞时宝马车总质量介于(1240±
因此,由于宝马车质量引起的误差为(±
1.99)km/h.
(3)我们估计碰撞后马自达车头质量在0.5MB~0.67MB之间。
由此引起速度的变动范围在-5.13~3.58km/h之间。
(4)我们估计碰撞后马
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