数学专题17算术平均数与几何平均数docx.docx
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高中数学高考总复习专题十七算术平均数与几何平均数
一、知识网络
二、高考考点
2、在给定条件下求有关式的取值范围;
3、在给定条件下求冇关函数的最大値或最小值;
4、解决实际应川问题,以最优化问题为主耍题型。
三、知识要点
(一)不等式的性质
不等式的性质是证明与求解不筹式的基本依据,为了便于记忆和运用,我们将不等式的性质划分为“基本性质”和“运算性质"两个类别。
1、关于不等式的“基本性质"
(1)对称性:
a>b=b (2)传递性: a>b,b>c—a>c (3)“数加"法则: a>b~a+c>b+c 推论: a+b>c=a>c-b(移项法则) (4)“数乘”法则: a>b,c>0弓ac>bc;a>b,c<0—ac 2、关丁•不等式“两边运算”的性质 (1)同向不等式两边"相加": a>b,c>d—a+c>b+d; (2)同向的正数不等式两边"相乘a>b>0,c>d>0=ac>bd; (3)正数不等式两边“乘方”: a>b>0=an>bn>O(nN); (4)正数不等式两边“开方*亠bA0=>扳A縞(nGbTflu>D 认知: 上述所有不等式的性质均可应用于证明不等式,但只有部分不等式的性质,可应用于解不等式,可应用于求解不等式(保证等价变形)的性质为1 (1);1(3);1(4)及其2(3);2(4) (二)基本定理及其推论 定理1: 如果a,bER,那么a2+b2>2ab(当且仅当a=b时等号成立) 推论(平方和不等式): 2(当且仅当a=b时等号成立) 定理2: 如果a,bER\那么2(当H仅当沪b时等号成立) 推论1(和的平方不等式): 若a,bER;则(a+b)2>4ab(当且仅当a=b时等号成立) 推论2(最值定理): 设x,y均为止数,则 (1)当积xy为定值P时,和x+y有最小值羽虚(当且仅当x=y时取得); is2 (2)当和x+y为定值S时,积冇最大值4(当口仅当x=y时取得); 四、经典例题 例1 s2+—=L (1)若x,yE对且-的最大值. (2)若x,yWR且xy>0,x2y=2,求u=xy+x2的最小值. 分析: 注意运用最值定理解题的要领: 一正二定三相等 (1)欲求积L』4■尸的最大值,首先致力于“凑I大I子",为凑出已知条件下“和为定值''的正数之积而变形u,若u的表达式的部分因子在根号外,则可考虑使这一部分进入根号或考察u2: (2)欲求和xy+x2的最小值,首先致力丁•“凑项”,为凑出已知条件下“积为定值叩勺止数之和而变形u,若有可能,将 U化为一元函数,问题分析会更明朗一些。 解: (1)注意到这里x>0,u>0, 屮=“+卄2(X•与b 2 hl+? 2 M2C__伽致档站M(学尸) 2y=T (2)山已知得■ =3(当口仅当*时成立) Aumin=3(当且仅当x=l且尸2时収得) 点评: 遇“积”凑因了,在主体部分凑出“若干因了Z和为定值”的形式; (1)若x,y,a,bER7,afb,且°尸 求u=x+y的最小彳直; 遇“和”则凑项,在主体部分凑出“若于项Z积为定值”的形成,完成此番设想后,进而再考察冇关各数“相等”的可能性。 (2)若0 分析: 对于 (1)如何利川.y,这一条件通常川法多是作“1的替换”或作“三角替换 对于 (2),注意到这里0 x+(l・x)=l,在⑴的基础上易于寻岀解题思路。 解: (1) 解法一(利用“1的替换”): Vx,y,a,bR u=M+y=(H-yX-+^ ■y =(a+b)+(^+—) 王(a.*b)(当且仅当竺=— ■y ■y —>0,->0fi.—+—=1, 解法二(运用“三角替换t: 注意到.y■f 则有x=ascc29,y=bcsc20 : .u=ascc20+bcsc20 =(atan20+bcot2O)+(a+b) ⑵注意到这里0 o •••令x=cos29,则1-x=sin20(玄) =Jsec204-b2c®c^ =(a2tan2e+bacot2&)+b2) tanfl=— ・•・ymin=(a+b)2(当H仅当»时取得) M=t 点评: 对于⑴上y是明显的;对于 (2),x+(i_x)=i是隐蔽的,今后解决函数或代数的其它问题,也要注意认知并利 用问题中隐蔽的等量关系或不等关系。 例3 (1)设a,b,c是RtAABC的三边,c为斜边之长,且a+b+c=4,试求C的取值范围; (2)设三个数a,b,c成等比数列,且a+b+c=l,试求b的取值范围。 分析: 在一定条件下求某个变量的取值范围,基本解题思路有二: (i)由已知条件与重要不等式导出关于E的不等式,而后由这一不等式解出E的取值范围; (ii)立足于已知条件中的等式(内因),借助已知的重耍不等式(外因),内外结合推导F的取值范围。 解: (1)由已知得c2=a? +b2(利用三角形的特殊性)① 4-c=a+b(以c为主元整理或变形)② 注意到a,b^对且满足2(a2+b2)>(a+b)2③ ・・・将①,②代入③得2c2>(4-c)2 再注意到这里a+b>c(利用三角形的普通性质)=a+b+c>2c乂a+b+c=4 ・•・c<2⑤ 于是由④、⑤得4返-4空"盍 ・・・所求C的取值范围为 (2)由已知得b2=ac① 1-b=a+c② (以b为主元整理或变形) 为利用重要不等式而讨论: 山题设知a、c同号 (i)当a,c同为正数时,a+c&2^(当且仅当a=c时等号成立)・•・山①得a+c>2|b| ・••再由②得l-b>2|b|=2|b|+b 0 ・••若b>0,贝IJ由③得3; 若b<0,则山③得-l 0 ・••由③解得-l (ii)当加同为负数时,(TXT工诟 由②、④得l-b<-2|b|'2|b|-b<-l无解 1 于是综合(i)(ii)得所求b的取值范围为[・1,0)U(0,? ] 点评: (1)、 (2)解题的共同之处,是立足丁•已知的等式,借助算术平均数与儿何平均数人小的不等式导出冇关 变最卩的取值范伟I,这也展示了这一类问题的基木解法。 (2)已知x,yE 2且不等式版亠石茎灭石 恒成立,求a的最小值 例4. 分析: 此恒等式问题与最值冇着千丝万缕的联系, 而寻求有关式子的最值的基木于•段Z—是利用重要不等式。 解: (1)a>b>c ・••原不等式恒成立g-bb-c恒成立① a-c.a-cz.、 u=H(a>b 令a-bb-c 则①=kWu的最小值② 乂a-bb-i;(分子主动与分母沟通联系) 匕二口o卄*2b >4(当.H•仅当a-bb-c时等号成立) ・・・Umin=4(当且仅当a+c=2b时取得)③ 于是山②、③得k<4,即k的最大值为4 ⑵不等式五4$兰皿4丁恒成立 Vx,yWlC (当H仅当x=y时等号成立) 式妊(当H仅当x=y时等号成立) V(当且仅当x=y时取得) 于是由⑤、 ⑥得8工返,即a的最小值为返 例5・ 已知a,b^ RS且a+b=4,求证: (3) (a+l)2+(b+iaa^ (4)abz 1125⑹(呛炉畑注 分析: 对于条件不等式的证明,条件的适当运用是证明的关键环节,对于题设条件屮的等式的应用,主要冇三个方 (i)直接代入: 以a+b=l或(a+b)2=1代入; (ii)换元转化: 令a=cos2a,2 (iii)借助“外因”联合推理: 山己知等式联想有关的重要不等式,二者联合导出己知条件的延伸。 联想1: 由已知等式本身联想重耍不等式: a,bERS且*+b=l (1)山左边a+b联想重要不等式届 ・・・鼻届'1(当且仅当a=b时等号成立) 4(当且仅当a=b时等号成立) (当且仅当沪b时等号成立) 由盘卄昨含有卄潮平方利不等式■丄(卄硏 2(当且仅当a=b时等号成立) ⑵2 联想2: 由已知筹式的筹价变形联想重要不等式 a+b=l(aJ>cBL*) QabM】 4(当且仅当a=b时等号成立) *(当且仅当a=b时等号成立) ・l-(aJ4-b3>^aJ+bJ •• OeUbS丄 2 这与联想1中推出的结果殊途同归. 对已知条件作以上挖掘延伸Z后,再证明所给例题便是水到渠成。 证明: (1)证法一(分析转化、化生为熟): Q石|用$曲 原不等式*2»2<=>“+孰 a+b=lA 又•••不等式(*)成立,・・・原不等式成立。 注意到停阿 224 证法二: (化整为零,化隐为明); a+—==—fiJb=— 当且仅当222时等号成立 a=丄且b=丄 同理 (当口仅当22时等号成立) a+b3 2 a=丄且b=— (当且仅当22时等号成立) (2)利用前面的推论,左边 ⑶略 ⑷利用前而的结论,左边 亠卄』a=b=l 22(当且仅当2时等号成立) at>^—34 (5)利用前而的推论得4ab 为了构造同向不等式,对左边配方: =(^H-®]2+2 -yw a=b=— 扌恥(当且仅当2时等号成立) —a=b=— 2(当且仅当2时等号成立) 二之舟a=b=— 憎'(当H仅当2时等号成立) =17 4(当且仅当 2时等号成立) 丄 (6)解法一: (为了构造“同向不等式”网性提取必后再作变形): ab =^{Cab>1-aC*)+2]ab =^O-ab)1+l] vO .—5.4a=b=- 4*(当且仅当2时等号成立) A1—aba=b=— 4(当H仅当2时等号成立) &4[(^+l]=—a=b=l ・・・左边44(当且仅当2时等号成立) 解法二: 仿⑸之解法,留给同学们练习 点评 (1)的证明告诉我们,对丁•感觉牛: 疏的不等式的证明,要注意通过等价变形來认知它的木來面目;其它问题的证明则告诉我们,条件不等式的证明中,已知条件延伸的主更方向,品悟本例的证明思路,对证明其它的条件不等式具有重要的启示或迁移作用。 例6、 (1)已矢口x,yER+,且x+y=l,试求 U: (i) =«y+— 矽的最小值; (ii)Z°的最小值。 (2)已知a,bER+,且a3+b3=2,求证: (i)ab (ii)a+b<2 分析: 对于 (1)本质上是例5(5)(6)的改作题; 对于 (2),仍可仿照例5中已知条件的延伸手法來寻觅解题思路 解: (1)从略 ⑵证明: 注意到己知条件a3+b3=2 (i)山①式左边联想重要不等式越+»>乏2屆② a2+b2>2ab③ 由③得a2+b2-ab>ab>0 (当冃仅当a=b=l时等号成立)⑤ .・.山②④得(®+b)(a2+b2-ab)&ab(a4-b)^2al>5^ ・・・由①、⑤得2^2ab^ab (当口仅当a=b=l时等号成立) (ii)山①式左边联想巫要不等式 4⑦ ・•・由①、⑥、⑦得 屮)[笃近-呼宙 24(当且仅当a=b=l时等号成立) =(a+b)3<8 =a十bW2(当且仅当a=b时等号成立) 命题得证 点评: 前事不忘,后事Z师,学习屮要注意知识、方法与策略的迁移,对于 (2),也可以根据己知条件£+1=2“实酒等量替换",只是效果不一定理想,事实上, a=a.b=(0,^) 设2 =(sh2c0^£l (i)得证; ifUa+b<2则难以证明,同学们不妨一试. 五、高考真题
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