高中数学选修12《直接证明与间接证明》教案.docx
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高中数学选修12《直接证明与间接证明》教案
高中数学选修1,2《直接证明与间接证明》教案
高中数学选修1-2《直接证明与间接证明》教案
导学目标:
1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程及特点.2.了解间接证明的一种基本方法反证法,了解反证法的思考过程及特点.
自主梳理
1.直接证明
(1)综合法
①定义:
利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的________,最后推导出所要证明的结论________,这种证明方法叫做综合法.
②框图表示:
PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(其中P表示已知条件,Q表示要证的结论).
(2)分析法
①定义:
从________________出发,逐步寻求使它成立的__________,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分析法.
②框图表示:
QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件.
2.间接证明
反证法:
假设原命题__________(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出________,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
自我检测
1.分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的()
A.充分条件B.必要条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
2.(2011揭阳模拟)用反证法证明如果ab,那么3a3b的假设内容应是()
A.3a=3bB.3a3b
C.3a=3b且3a3bD.3a=3b或3a3b
3.设a、b、c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是()
A.|a-c||a-b|+|c-b|
B.a2+1a2a+1a
C.a+3-a+1
D.|a-b|+1a-b2
4.(2010广东)在集合{a,b,c,d}上定义两种运算和如下:
那么d(ac)等于()
A.aB.bC.cD.d
5.(2011东北三省四市联考)设x、y、zR+,a=x+1y,b=y+1z,c=z+1x,则a、b、c三数()
A.至少有一个不大于2B.都小于2
C.至少有一个不小于2D.都大于2
探究点一综合法
例1已知a,b,c都是实数,求证:
a2+b2+c213(a+b+c)2ab+bc+ca.
变式迁移1设a,b,c0,证明:
a2b+b2c+c2aa+b+c.
探究点二分析法
例2(2011马鞍山月考)若a,b,c是不全相等的正数,求证:
lga+b2+lgb+c2+lgc+a2lga+lgb+lgc.
变式迁移2已知a0,求证:
a2+1a2-2a+1a-2.
探究点三反证法
例3若x,y都是正实数,且x+y2,
求证:
1+xy2与1+yx2中至少有一个成立.
变式迁移3若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+2,b=y2-2z+3,c=z2-2x+6.求证:
a,b,c中至少有一个大于0.
转化与化归思想的应用
例(12分)(2010上海改编)若实数x、y、m满足|x-m||y-m|,则称x比y远离m.
(1)若x2-1比1远离0,求x的取值范围.
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:
a3+b3比a2b+ab2远离2abab.
多角度审题
(1)本题属新定义题,根据远离的含义列出不等式,然后加以求解.
(2)第
(2)小题,实质是证明不等式|a3+b3-2abab||a2b+ab2-2abab|成立.证明时注意提取公因式及配方法的运用.
【答题模板】
(1)解由题意得x2-11,
即x2-11或x2-1-1.[2分]
由x2-11,得x22,即x-2或x由x2-1-1,得x.
综上可知x的取值范围为(-,-2)(2,+).[4分]
(2)证明由题意知即证a3+b3-2ababa2b+ab2-2abab成立.[6分]
∵ab,且a、b都为正数,
a3+b3-2abab=(a3)2+(b3)2-2a3b3=(a3-b3)2=(aa-bb)2,
a2b+ab2-2abab=ab(a+b-2ab)=ab(a-b)2=(ab-ba)2,[8分]
即证(aa-bb)2-(ab-ba)20,
即证(aa-bb-ab+ba)(aa-bb+ab-ba)0,
需证(a-b)(a+b)(a-b)(a+b)0,[10分]
即证(a+b)(a-b)20,∵a、b都为正数且ab,上式成立.故原命题成立.[12分]
【突破思维障碍】
1.准确理解题意,提炼出相应不等式是解决问题的关键.
2.代数式|a3+b3-2abab|与|a2b+ab2-2abab|中的绝对值符号去掉为后续等价变形提供了方便.
【易错点剖析】
1.推理论证能力较差,绝对值符号不会去.
2.运用能力较差,不能有效地进行式子的等价变形或中间变形出错.
1.综合法是从条件推导到结论的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证的结论.即由因导果.
2.分析法是从待证结论出发,一步一步地寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.即执果索因,用分析法寻找解题思路,再用综合法书写,这样比较有条理,叫分析综合法.
3.用反证法证明问题的一般步骤:
(1)反设:
假定所要证的结论不成立,即结论的反面(否定命题)成立;(否定结论)
(2)归谬:
将反设作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)
(3)结论:
因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于反设的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立)
(满分:
75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.用反证法证明命题若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有有理数根,那么a、b、c中至少有一个是偶数时,下列假设中正确的是()
A.假设a、b、c都是偶数
B.假设a、b、c都不是偶数
C.假设a、b、c至多有一个偶数
D.假设a、b、c至多有两个偶数
2.(2011济南模拟)a,b,c为互不相等的正数,且a2+c2=2bc,则下列关系中可能成立的是()
A.abcB.bca
C.bacD.acb
3.设a、b、c(0,+),P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则PQR0是P、Q、R同时大于零的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件
4.(2010上海普陀2月统考)已知a、b是非零实数,且ab,则下列不等式中成立的是()
A.ba1B.a2b2
C.|a+b||a-b|D.1ab21a2b
5.(2011厦门月考)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()
A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形
B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形
C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形
D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2011江苏前黄高级中学模拟)某同学准备用反证法证明如下一个问题:
函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f
(1),如果对于不同的x1,x2[0,1],都有|f(x1)-f(x2)||x1-x2|,求证:
|f(x1)-f(x2)|12.那么他的反设应该是______________________________.
7.对于任意实数a,b定义运算a*b=(a+1)(b+1)-1,给出以下结论:
①对于任意实数a,b,c,有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);
②对于任意实数a,b,c,有a*(b*c)=(a*b)*c;
③对于任意实数a,有a*0=a.则以上结论正确的是________.(写出你认为正确的结论的所有序号)
8.(2011揭阳模拟)已知三棱锥SABC的三视图如图所示:
在原三棱锥中给出下列命题:
①BC平面SAC;②平面SBC平面SAB;③SBAC.
其中命题正确的是________(填序号).
三、解答题(共38分)
9.(12分)已知非零向量a、b,ab,求证:
|a|+|b||a-b|2.
10.(12分)(2011宁波月考)已知a、b、c0,求证:
a3+b3+c313(a2+b2+c2)(a+b+c).
11.(14分)(2011宁波月考)已知a、b、c(0,1),求证:
(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于14.
学案38直接证明与间接证明
自主梳理
1.
(1)①推理论证成立
(2)①要证明的结论充分条件
2.不成立矛盾
自我检测
1.A[由分析法的定义可知.]
2.D[因为3a3b的否定是3a3b,
即3a=3b或3a3b.]
3.D[D选项成立时需得证a-b0.A中|a-b|+|c-b||(a-b)-(c-b)|=|a-c|,B作差可证;
C移项平方可证.]
4.A[由所给的定义运算知ac=c,dc=a.]
5.C[a+b+c=x+1y+y+1z+z+1x6,
因此a、b、c至少有一个不小于2.]
课堂活动区
例1解题导引综合法证明不等式,要特别注意基本不等式的运用和对题设条件的运用.这里可从基本不等式相加的角度先证得a2+b2+c2ab+bc+ca成立,再进一步得出结论.
证明∵a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,
三式相加得a2+b2+c2ab+bc+ca,
3a2+3b2+3c2(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)
=(a+b+c)2.
a2+b2+c213(a+b+c)2;
∵a2+b2+c2ab+bc+ca,
a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)
ab+bc+ca+2(ab+bc+ca),
(a+b+c)23(ab+bc+ca).
原命题得证.
变式迁移1证明∵a,b,c0,根据基本不等式,
有a2b+b2a,b2c+c2b,c2a+a2c.
三式相加:
a2b+b2c+c2a+a+b+c2(a+b+c).
即a2b+b2c+c2aa+b+c.
例2解题导引当所给的条件简单,而所证的结论复杂,一般采用分析法.含有根号、对数符号、绝对值的不等式,若从题设不易推导时,可以考虑分析法.
证明要证lga+b2+lgb+c2+lgc+a2lga+lgb+lgc,
只需证lga+b2b+c2c+a2lg(abc),
只需证a+b2b+c2c+a2abc.(中间结果)
因为a,b,c是不全相等的正数,
则a+b2ab0,b+c2bc0,c+a2ca0.
且上述三式中的等号不全成立,
所以a+b2b+c2c+a2abc.(中间结果)
所以lga+b2+lgb+c2+lgc+a2lga+lgb+lgc.
变式迁移2证明要证a2+1a2-2a+1a-2,
只要证a2+1a2+2a+1a+2.
∵a0,故只要证a2+1a2+22a+1a+22,
即a2+1a2+4a2+1a2+4
a2+2+1a2+22a+1a+2,
从而只要证2a2+1a22a+1a,
只要证4a2+1a22a2+2+1a2,
即a2+1a22,而该不等式显然成立,故原不等式成立.
例3解题导引
(1)当一个命题的结论是以至多、至少、惟一或以否定形式出现时,宜用反证法来证,反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是①与已知条件矛盾,②与假设矛盾,③与定义、公理、定理矛盾,④与事实矛盾等方面,反证法常常是解决某些疑难问题的有力工具,是数学证明中的一件有力武器.
(2)利用反证法证明问题时,要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理,否则,将出现循环论证的错误.
证明假设1+xy2和1+yx2都不成立,
则有1+xy2和1+yx2同时成立,
因为x0且y0,
所以1+x2y,且1+y2x,
两式相加,得2+x+y2x+2y,
所以x+y2,
这与已知条件x+y2相矛盾,
因此1+xy2与1+yx2中至少有一个成立.
变式迁移3证明假设a,b,c都不大于0,即a0,b0,c0.
∵a=x2-2y+2,b=y2-2z+3,c=z2-2x+6,
x2-2y+2+y2-2z+3+z2-2x+6
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(-3)0,①
又∵(x-1)2+(y-1)2+(z-1)20,-30,
(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+(-3)0.②
①式与②式矛盾,假设不成立,即a,b,c中至少有一个大于0.
课后练习区
1.B
2.C[由a2+c22ac2bc2acba,可排除A、D,令a=2,c=1,可得b=52,可知C可能成立.]
3.C[必要性是显然成立的,当PQR0时,若P、Q、R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P0,Q0,R0,则Q+R=2c0,这与c0矛盾,即充分性也成立.]
4.D[ba1b-aa0a(a-b)0.
∵ab,a-b0.而a可能大于0,也可能小于0,
因此a(a-b)0不一定成立,即A不一定成立;
a2b2(a-b)(a+b)0,∵a-b0,只有当a+b0时,a2b2成立,故B不一定成立;
|a+b||a-b|(a+b)2(a-b)2ab0,
而ab0也有可能,故C不一定成立;
由于1ab21a2ba-ba2b20(a-b)a2b20.
∵a,b非零,ab,上式一定成立,因此只有D正确.]
5.D[由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形,
由sinA2=cosA1=sin2-A1,sinB2=cosB1=sin2-B1,sinC2=cosC1=sin2-C1,得A2=2-A1,B2=2-B1,C2=2-C1,
那么,A2+B2+C2=2,
这与三角形内角和为相矛盾,所以假设不成立,所以△A2B2C2是钝角三角形.]
6.x1,x2[0,1],使得|f(x1)-f(x2)||x1-x2|,
则|f(x1)-f(x2)|12
7.②③
解析按新定义,可以验证a*(b+c)(a*b)+(a*c);
所以①不成立;而a*(b*c)=(a*b)*c成立,
a*0=(a+1)(0+1)-1=a.
所以正确的结论是②③.
8.①
解析
由三视图知,在三棱锥SABC中,底面ABC为直角三角形且ACB=90,即BCAC,
又SA底面ABC,
BCSA,由于SAAC=A,
BC平面SAC.
所以命题①正确.
由已知推证不出②③命题正确.故填①.
9.证明∵ab,ab=0.(2分)
要证|a|+|b||a-b|2,只需证:
|a|+|b|2|a-b|,(4分)
平方得:
|a|2+|b|2+2|a||b|2(|a|2+|b|2-2ab),(8分)
只需证:
|a|2+|b|2-2|a||b|0,(10分)
即(|a|-|b|)20,显然成立.故原不等式得证.(12分)
10.证明∵a2+b22ab,a、b、c0,
(a2+b2)(a+b)2ab(a+b),(3分)
a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2,
a3+b3a2b+ab2.(6分)
同理,b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2,
将三式相加得,
2(a3+b3+c3)a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.(9分)
3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).
a3+b3+c313(a2+b2+c2)(a+b+c).(12分)
11.证明方法一假设三式同时大于14,
即(1-a)b14,(1-b)c14,(1-c)a14,(3分)
∵a、b、c(0,1),
三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a164.
(8分)
又(1-a)a1-a+a22=14,(10分)
同理(1-b)b14,(1-c)c14,
(1-a)a(1-b)b(1-c)c164,(12分)
这与假设矛盾,故原命题正确.(14分)
方法二假设三式同时大于14,
∵00,(2分)
(1-a)+b2(1-a)b14=12,(8分)
同理(1-b)+c212,(1-c)+a212,(10分)
三式相加得3232,这是矛盾的,故假设错误,
原命题正确.(14分)
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