全等三角形证明之能力拔高(经典题目).docx
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全等三角形能力拔高题
姓名:
一、角度转化问题
1.已知:
如图,AB⊥AE,AD⊥AC,∠E=∠B,DE=CB.
求证:
AD=AC.
2.已知:
如图,AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC.
求证:
BD=CE.
3.已知:
如图,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且MQ=NQ.
求证:
HN=PM.
4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足.当直线l不与底边AB相交时,求证:
EF=AE+BF.
5.已知:
如图,AE⊥AB,BC⊥AB,AE=AB,ED=AC.
求证:
ED⊥AC.
二、二次全等问题
1.已知:
如图,线段AC、BD交于O,∠AOB为钝角,AB=CD,BF⊥AC于F,DE⊥AC于E,AE=CF.
求证:
BO=DO.
2.已知:
如图,AC与BD交于O点,AB∥DC,AB=DC.若过O点作直线l,分别交AB、DC于E、F两点,求证:
OE=OF.
3.如图,E在AB上,∠1=∠2,∠3=∠4,那么AC等于AD吗?
为什么?
4.已知:
如图,DE⊥AC,BF⊥AC,AD=BC,DE=BF.
求证:
AB∥DC.
5、已知:
如图,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DB=DC,
求证:
EB=FC
【练习】1、已知∠B=∠E=90°,CE=CB,AB∥CD.
求证:
△ADC是等腰三角形。
2、如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
求证:
MB=MC
E
D
C
A
B
3、已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上求证:
BE=AD
4、如图:
在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB交AB于E,BC=30,
BD:
CD=3:
2,则DE=。
G
F
E
D
C
B
A
5、如图,已知,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确的命题。
(只写出一种情况)①AB=AC②DE=DF③BE=CF
已知:
EG∥AF,________,__________
求证:
_________
6、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∠BAC=90°,AB=AC,点D是AB的中点,AF⊥CD于H交BC于F,BE∥AC交AF的延长线于E,
求证:
BC垂直且平分DE.
【思维拓展】
证明线段的和、差、倍、分问题时,常采用“割长”、“补短”等方法,构造全等三角形。
提示:
要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法:
(1)、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段,然后证明剩余的线段与另一条线段相等。
(割)
(2)、把一个三角形移到另一位置,使两线段补成一条线段,再证明它与长线段相等。
(补))
A
C
E
B
D
1、如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,求证AB=AC+BD
A
B
E
C
D
2、如图,AD∥BC,E为AB的中点,DE平分∠ADC,
CE平分∠BCD,求证AD+BC=CD.
【提升练习】
1、如图所示,OP为∠MON的平分线,请利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请在图
(1)中作出,然后解答下列问题。
(1)如图
(2)所示,在△ABC中,∠ACB是直角。
∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,AD,CE相交于点F。
请写出FE与FD之间的数量关系。
(2)如图(3)所示,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而其他条件不变,
(1)中所得的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
B
E
A
C
D
O
P
M
N
A
B
C
D
E
图
(1)图
(2)图(3)
2、如图,已知:
△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,分别过B,C向经过点A的直线EF作垂线,垂足为E,F。
(1)证明:
EF与斜边BC不相交时,则有EF=BE+CF(如图1)。
(2)如图2,EF与斜边BC相交时,其他条件不变,你能得到什么结论?
请给出证明。
3、已知,如图①所示,在和中,,,,且点在一条直线上,连接分别为的中点.
(1)求证:
①;②;
C
E
N
D
A
B
M
图①
C
A
E
M
B
D
N
图②
(2)在图①的基础上,将绕点按顺时针方向旋转,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出
(1)中的两个结论是否仍然成立.
4、已知:
如图,是等边三角形,过边上的点作,交于点,在的延长线上取点,使,连接.
(1)求证:
;
(2)过点作,交于点,请你连接,并判断是怎样的三角形,试证明你的结论.
5、中,将绕点顺时针旋转角得交于点,分别交于两点.如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段与有怎样的数量关系?
并证明你的结论;
A
D
B
E
C
F
A
D
B
E
C
F
A
B
C
D
E
F
6、如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
∠ADC=∠BDE.
7、如图1,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。
直角三角尺的一条直角边
经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM
的平分线BF相交于点F.
⑴如图14―1,当点E在AB边的中点位置时:
①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是;
②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是;
③请证明你的上述两猜想.
⑵如图14―2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,
使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明
8、已知中,为边的中点,
绕点旋转,它的两边分别交、(或它们的延长线)于、
当绕点旋转到于时(如图1),易证
A
E
C
F
B
D
图1
图3
A
D
F
E
C
B
A
D
B
C
E
图2
F
当绕点旋转到不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,、、又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
9、已知:
在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的左侧作等腰直角△ADE,解答下列各题:
如果AB=AC,∠BAC=90°.
(1)当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图甲,线段BD,CE之间的位置关系怎样?
说明理由。
(2)当点D在线段BC的延长线上时,如图乙,
(1)中的结论是否还成立?
为什么?
10、如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别为边BC、CD的中点,AF、DE相交于点G,则可得结论:
①AF=DE;②AF⊥DE.(不需要证明)
(1)如图2,若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点,但满足CE=DF.则上面的结论①、②是否仍然成立?
(请直接回答“成立”或“不成立”)
(2)如图3,若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时上面的结论①、②是否仍然成立?
若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
11、数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,求证:
AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证,所以.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由.
A
D
F
C
G
E
B
图1
A
D
F
C
G
E
B
图2
A
D
F
C
G
E
B
图3
13
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