圆锥曲线存在性问题Word文档格式.doc
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(2)上是否存在点,使得当绕旋转到某一位置时,有成立?
若存在,求出所有的的坐标和的方程,若不存在,说明理由
解:
(1)
则,依题意可得:
,当的斜率为时
解得:
椭圆方程为:
(2)设,
当斜率存在时,设
联立直线与椭圆方程:
消去可得:
,整理可得:
因为在椭圆上
当时,,
当时,,
当斜率不存在时,可知,,则不在椭圆上
综上所述:
,或,
例2:
过椭圆的右焦点的直线交椭圆于两点,为其左焦点,已知的周长为8,椭圆的离心率为
(1)求椭圆的方程
(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,且?
若存在,求出该圆的方程;
若不存在,请说明理由
(1)由的周长可得:
椭圆
(2)假设满足条件的圆为,依题意,若切线与椭圆相交,则圆应含在椭圆内
若直线斜率存在,设,
与圆相切
即
联立方程:
对任意的均成立
将代入可得:
存在符合条件的圆,其方程为:
当斜率不存在时,可知切线为
若,则
符合题意
若,同理可得也符合条件
综上所述,圆的方程为:
例3:
已知椭圆经过点,离心率为,左,右焦点分别为和
(2)设椭圆与轴负半轴交点为,过点作斜率为的直线,交椭圆于两点(在之间),为中点,并设直线的斜率为
①证明:
为定值
②是否存在实数,使得?
如果存在,求直线的方程;
如果不存在,请说明理由
(1)依题意可知:
可得:
椭圆方程为:
,代入可得:
(2)①证明:
设,线段的中点
设直线的方程为:
,联立方程:
化为:
由解得:
且
②假设存在实数,使得,则
即
因为在椭圆上,所以,矛盾
所以不存在符合条件的直线
例4:
设为椭圆的右焦点,点在椭圆上,直线与以原点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切
(2)过点的直线与椭圆相交于两点,过点且平行于的直线与椭圆交于另一点,问是否存在直线,使得四边形的对角线互相平分?
若存在,求出的方程;
若不存在,说明理由
(1)与圆相切
将代入椭圆方程可得:
(2)由椭圆方程可得:
设直线,则
消去可得:
同理:
因为四边形的对角线互相平分
四边形为平行四边形
解得:
存在直线时,四边形的对角线互相平分
例5:
椭圆的左右焦点分别为,右顶点为,为椭圆上任意一点,且的最大值的取值范围是,其中
(1)求椭圆的离心率的取值范围
(2)设双曲线以椭圆的焦点为顶点,顶点为焦点,是双曲线在第一象限上任意一点,当取得最小值时,试问是否存在常数,使得恒成立?
若存在,求出的值;
(1)设
由可得:
代入可得:
(2)当时,可得:
双曲线方程为,,设,
当轴时,
因为
所以,下面证明对任意点均使得成立
考虑
由双曲线方程,可得:
结论得证
时,恒成立
例6:
如图,椭圆的离心率是,过点的动直线与椭圆相交于两点,当直线平行于轴时,直线被椭圆截得的线段长为
(2)在平面直角坐标系中,是否存在与点不同的定点,使得对于任意直线,恒成立?
若存在,求出点的坐标;
(1)
椭圆方程为
由直线被椭圆截得的线段长为及椭圆的对称性可得:
点在椭圆上
(2)当与轴平行时,由对称性可得:
在的中垂线上,即位于轴上,设
当与轴垂直时,则
可解得或
不重合
下面判断能否对任意直线均成立
若直线的斜率存在,设,
联立方程可得:
由可想到角平分线公式,即只需证明平分
只需证明
①
因为在直线上,代入①可得:
成立
平分由角平分线公式可得:
例7:
椭圆的上顶点为,是上的一点,以为直径的圆经过椭圆的右焦点
(2)动直线与椭圆有且只有一个公共点,问:
在轴上是否存在两个定点,它们到直线的距离之积等于1?
若存在,求出这两个定点的坐标;
由椭圆可知:
为直径的圆经过
由在椭圆上,代入椭圆方程可得:
(2)假设存在轴上两定点,
设直线
所以依题意:
①
因为直线与椭圆相切,联立方程:
由直线与椭圆相切可知
化简可得:
,代入①可得:
,依题意可得:
无论为何值,等式均成立
所以存在两定点:
例8:
已知椭圆的左右焦点分别为,点是上任意一点,是坐标原点,,设点的轨迹为
(1)求点的轨迹的方程
(2)若点满足:
,其中是上的点,且直线的斜率之积等于,是否存在两定点,使得为定值?
若存在,求出定点的坐标;
(1)设点的坐标为,点的坐标为,则
由椭圆方程可得:
且
代入到可得:
(2)设点,
设直线的斜率分别为,由已知可得:
是上的点
即的轨迹方程为,由定义可知,到椭圆焦点的距离和为定值
为椭圆的焦点
所以存在定点
例9:
椭圆的焦点到直线的距离为,离心率为,抛物线的焦点与椭圆的焦点重合,斜率为的直线过的焦点与交于,与交于
(1)求椭圆及抛物线的方程
(2)是否存在常数,使得为常数?
(1)设的公共焦点为
(2)设直线,
与椭圆联立方程:
直线与抛物线联立方程:
是焦点弦
若为常数,则
例10:
如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线与轴交于点,与椭圆交于两点,当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时,弦的长为
(2)是否存在点,使得为定值?
若存在,请求出点的坐标,并求出该定值;
(1)依题意可得:
当与轴垂直且为右焦点时,为通径
(2)思路:
本题若直接用用字母表示坐标并表示,则所求式子较为复杂,不易于计算定值与的坐标。
因为要满足所有直线,所以考虑先利用特殊情况求出点及定值,再取判定(或证明)该点在其它直线中能否使得为定值。
(2)假设存在点,设
若直线与轴重合,则
若直线与轴垂直,则关于轴对称
设,其中,代入椭圆方程可得:
,可解得:
若存在点,则。
若,设
设,与椭圆联立方程可得:
,消去可得:
,同理:
所以为定值,定值为
若,同理可得为定值
存在点,使得为定值
三、历年好题精选
1、已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆过点,离心率为,过直线上一点引椭圆的两条切线,切点分别是
(2)若在椭圆上的任一点处的切线方程是,求证:
直线恒过定点,并求出定点的坐标
(3)是否存在实数,使得恒成立?
(点为直线恒过的定点),若存在,求出的值;
2、已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,是椭圆上的一点
(2)设分别是椭圆的左右顶点,是椭圆上异于的两个动点,直线的斜率之积为,设与的面积分别为,请问:
是否存在常数,使得恒成立?
若存在,求出的值,若不存在,请说明理由
3、已知椭圆经过点,离心率为,左,右焦点分别为和
4、已知圆,定点,点为圆上的动点,点在上,点在上,且满足
(2)过点作直线,与曲线交于两点,是坐标原点,设,是否存在这样的直线,使得四边形的对角线相等(即)?
若存在,求出直线的方程;
若不存在,试说明理由
5、(2014,福建)已知双曲线的两条渐近线分别为,
(1)求双曲线的离心率
(2)如图,为坐标原点,动直线分别交直线于两点(分别在第一、四象限),且的面积恒为8,试探究:
是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线?
若存在,求出双曲线的方程;
若不存在请说明理由
习题答案:
1、解析:
椭圆过点
,再由可解得:
(2)设切点坐标为,直线上一点,依题意可得:
两条切线方程为:
,由切线均过可得:
均在直线上
因为两点唯一确定一条直线
,即过定点,即点的坐标为
(3)
,不妨设
,使得恒成立
2、解析:
(1)抛物线的焦点为
依题意可知:
(2)由
(1)可得:
,若直线斜率存在
设,
到直线的距离到直线的距离
(*)
,代入到(*)可得:
或
当时,,交点与重合,不符题意
,代入到可得:
,即
3、解:
4、解析:
(1)由可得为的中点,且
为的中垂线
点的轨迹是以为焦点的椭圆,其半长轴长为,半焦距
轨迹方程为:
(2)因为
四边形为平行四边形
若,则四边形为矩形,即
①若直线的斜率不存在,则
故不符合要求
②若直线的斜率存在,设
由
,解得:
所以存在或,使得四边形的对角线相等
5、解析:
(1)由双曲线方程可知,渐近线方程为
(2)若直线不与轴垂直,设
,同理可得
设直线与轴交于
即
由直线与渐近线的交点分别在第一、四象限可知:
由
(1)可得双曲线方程为:
联立与双曲线方程:
因为与双曲线相切
整理可得:
所以双曲线方程为:
存在一个总与相切的双曲线,其方程为
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- 圆锥曲线 存在 问题