圆锥曲线一题40问之.docx
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圆锥曲线一题40问之.docx
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圆锥曲线一题40问之
(1)弦长问题
已知椭圆E:
,左右焦点分别为,左右顶点分别为,,上下顶点为,。
(1)过点的直线交椭圆E与M,N两点,是否存在实常数λ,使恒成立?
并由此求的最小值。
(2)过点的直线交椭圆E与M,N两点,MN的中垂线交X轴与点D,是否存在实常数λ,使恒成立?
(3)过点P(4,0)的直线交椭圆E与M,N两点,设,过点M作x轴的垂线与椭圆E与另一点Q,证明:
。
(4)过焦点的直线交椭圆E与M,N两点,求弦长,并求其最小值。
圆锥曲线一题40问之
(2)面积问题
(5)已知动点P在椭圆E上,两定点,,求的面积的最大值。
(6)设直线交椭圆E与M,N两点,且以MN为直径的圆过椭圆的右顶点A,求的面积的最大值
(7)过点P(0,-2)的直线交椭圆E与M,N两点,当的面积最大时,求直线的方程。
(8)过点的兩直线,分别交椭圆E与M,N两点和C,D两点,且,是否存在实常数λ,使恒成立?
并求四边形MCND面积的最小值和最大值。
(9)过椭圆E右焦点的直线斜率不为0,直线与椭圆E交于两点M,N,G为MN的中点,射线OG与椭圆E交于P,求四边形MONP面积S的最小值。
(10)直线与椭圆E交与,两点,已知,,若,证明:
的面积是定值。
圆锥曲线一题40问之(3)定点问题
(11)直线:
交椭圆E于M,N两点(M,N不是左右顶点),且以MN为直径的圆过椭圆的右顶点,求证直线过定点。
(12)已知M,N是椭圆E上两个动点,定点满足直线PM与PN垂直,证明:
直线MN过定点。
(13)动点P在直线上,过P引椭圆E的两条切线,分别切与点C和D。
证明:
直线CD过定点。
(14)动点P在直线x=4上,过P引椭圆E的两条切线,分别切与点C和D。
证明:
直线CD过定点。
(15)过椭圆E的右焦点作两条相互垂直的直线,分别与椭圆E交于A,B和C,D,设线段AB,CD的中点分别是P,Q,求证:
直线PQ恒过一个定点。
(16)过点P(2,1)的直线交椭圆E于,两点,过点N作斜率为的直线交椭圆E于另一点Q,求证:
直线MQ过定点。
圆锥曲线一题40问之(4)定值问题
椭圆结论①椭圆切线
过椭圆上一点的切线方程为:
,从椭圆外一点往椭圆作两条切线分别交椭圆于A,B两点,则AB所在直线的方程为:
(17)已知动点P在椭圆E上(异于),证明:
为定值
(18)已知动点P在椭圆E上,过原点O的直线与椭圆E交与,两点,证明:
为定值。
(19)已知直线与椭圆E交于,两点,且MN的中点为P,求证:
为定值。
(20)已知动点P在椭圆E上,在点P的切线的斜率为k,证明:
为定值,且有为定值。
(21)已知M,N是椭圆E上的两个动点,定点满足直线PM与PN的倾斜角互补,证明:
直线MN的斜率为定值。
(22)证明椭圆E的两个焦点到椭圆E的任一条切线的距离之积为定值
(23)已知M,N是椭圆E上的两个动点,且,求证:
为定值,且原点O到直线MN的距离为定值。
,
(24)过点的兩直线,分别交椭圆E与M,N两点和C,D两点,且,求证:
为定值。
(25)已知动点M,N是椭圆E上位于x轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P。
求证:
是定值。
(26)过焦点的直线交椭圆E与M,N两点,直线与y轴交于点P,,,证明:
为定值。
(27)过点,的弦分别与椭圆E相交,得到的弦分别是PS,PT,设,,证明:
为定值。
圆锥曲线一题40问之(5)恒成立问题
(28)过点的直线交椭圆E异于点的M,N两点,且直线:
交于点,求证:
。
(29)过点的直线交椭圆E于,两点,为直线:
x=-4上任意一点,证明:
(30)过点的直线交椭圆E于,两点,为直线:
上任意一点,求证:
。
(为x轴上任意一点)
(31)过点的光线在椭圆E上一点P处反射,求证:
反射光线经过.(提示:
与与点P处的切线所成的角相等)
(32)过点的兩直线,分别交椭圆E与M,N两点和C,D两点,直线:
x=-4,直线MD交直线于点P,证明:
P,C,N三点共线。
(33)过点的直线交椭圆E于,两点,点M的关于x轴的对称点,证明:
,N,共线。
(34)点P为直线x=4上不同于点(4,0)的任意一点,若直线,分别与椭圆E交于M,N两点,证明:
MN垂直x轴。
圆锥曲线一题40问之(6)探索性问题
(35)过点的直线交椭圆E于,两点,是否存在点P使得为定值。
(36)过点不与坐标轴垂直的直线与椭圆E相交于M,N两点,且MN的垂直平分线交x轴于点,求t的取值范围。
(37)过定点的直线交椭圆E与M,N两点,是否存在点使得为定值。
圆锥曲线一题40问之(7)椭圆轨迹问题
(38)过点P作椭圆E的两条切线,,且,求点P的轨迹方程。
(39)已知M,N是过点的直线与椭圆E的交点,求MN中点的轨迹方程。
(40)已知P为椭圆E上一动点,连接PF1,PF2,过点F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线m,m交直线PF1于
一点Q,求Q的轨迹方程。
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