数学必修一练习题汇总(含答案)Word文档下载推荐.doc
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①y=f(|x|)②y=f(-x)③y=xf(x)④y=f(x)+x
A.①③ B.②③C.①④ D.②④
因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).①y=f(|x|)为偶函数;
②y=f(-x)为奇函数;
③令F(x)=xf(x),所以F(-x)=(-x)f(-x)=(-x)·
[-f(x)]=xf(x).所以F(-x)=F(x).所以y=xf(x)为偶函数;
④令F(x)=f(x)+x,所以F(-x)=f(-x)+(-x)=-f(x)-x=-[f(x)+x].所以F(-x)=-F(x).所以y=f(x)+x为奇函数.
9.已知0≤x≤,则函数f(x)=x2+x+1( )
A.有最小值-,无最大值 B.有最小值,最大值1
C.有最小值1,最大值 D.无最小值和最大值
f(x)=x2+x+1=(x+)2+,画出该函数的图象知,f(x)在区间[0,]上是增函数,所以f(x)min=f(0)=1,f(x)max=f()=.
10.已知函数f(x)的定义域为[a,b],函数y=f(x)的图象如图2甲所示,则函数f(|x|)的图象是图2乙中的( )
图2
因为y=f(|x|)是偶函数,所以y=f(|x|)的图象是由y=f(x)把x≥0的图象保留,再关于y轴对称得到的.
11.若偶函数f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则( )
A.f(-)<
f(-1)<
f
(2) B.f(-1)<
f(-)<
f
(2)
C.f
(2)<
f(-) D.f
(2)<
f(-1)
由f(x)是偶函数,得f
(2)=f(-2),又f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,且-2<
-<
-1,则f
(2)<
f(-1).
12.已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf(x+1)=(1+x)f(x),则f的值是( )
A.0B.C.1D.
令x=-,则-f()=f(-),又∵f()=f(-),∴f()=0;
令x=,f()=f(),得f()=0;
而0·
f
(1)=f(0)=0,∴f=f(0)=0,故选A.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.设全集U={a,b,c,d,e},A={a,c,d},B={b,d,e},则∁UA∩∁UB=________.
∁UA∩∁UB=∁U(A∪B),而A∪B={a,b,c,d,e}=U.
Ø
14.设全集U=R,A={x|x≥1},B={x|-1≤x<
2},则∁U(A∩B)=________.
A∩B={x|1≤x<
2},∴∁R(A∩B)={x|x<
1或x≥2}.
{x|x<
1或x≥2}
15.已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上为减函数,求实数a的取值范围为________.
函数f(x)的对称轴为x=1-a,则由题知:
1-a≥3即a≤-2.
a≤-2
16.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0)、f
(1)、f(-2)从小到大的顺序是__________.
∵f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,∴m=0.
∴f(x)=-x2+2.∴f(0)=2,f
(1)=1,f(-2)=-2,∴f(-2)<
f
(1)<
f(0).
f(-2)<
f(0)
三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)
17.(10分)设A={x|-2≤x≤5},B={x|m-1≤x≤2m+1},
(1)当x∈N*时,求A的子集的个数;
(2)当x∈R且A∩B=Ø
时,求m的取值范围.
解:
(1)∵x∈N*且A={x|-2≤x≤5},
∴A={1,2,3,4,5}.故A的子集个数为25=32个.
(2)∵A∩B=Ø
,
∴m-1>
2m+1或2m+1<
-2或m-1>
5,
∴m<
-2或m>
6.
18.(12分)已知集合A={-1,1},B={x|x2-2ax+b=0},若B≠Ø
且B⊆A,求a,b的值.
(1)当B=A={-1,1}时,易得a=0,b=-1;
(2)当B含有一个元素时,由Δ=0得a2=b,
当B={1}时,由1-2a+b=0,得a=1,b=1
当B={-1}时,由1+2a+b=0,得a=-1,b=1.
19.(12分)已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0),满足f
(2)=1,方程f(x)=x有唯一实数解,求函数f(x)的解析式和f[f(-4)]的值.
∵f(x)=且f
(2)=1,∴2=2a+b.
又∵方程f(x)=x有唯一实数解.
∴ax2+(b-1)x=0(a≠0)有唯一实数解.
故(b-1)2-4a×
0=0,即b=1,又上式2a+b=2,可得:
a=,从而f(x)==,
∴f(-4)==4,f(4)==,即f[f(-4)]=.
20.(12分)已知函数f(x)=4x2-4ax+(a2-2a+2)在闭区间[0,2]上有最小值3,求实数a的值.
f(x)=42+2-2a.
(1)当<
0即a<
0时,f(x)min=f(0)=a2-2a+2=3,解得:
a=1-.
(2)0≤≤2即0≤a≤4时,f(x)min=f=2-2a=3,解得:
a=-(舍去).
(3)>
2即a>
4时,f(x)min=f
(2)=a2-10a+18=3,解得:
a=5+,
综上可知:
a的值为1-或5+.
21.(12分)某公司需将一批货物从甲地运到乙地,现有汽车、火车两种运输工具可供选择.若该货物在运输过程中(含装卸时间)的损耗为300元/小时,其他主要参考数据如下:
运输工具
途中速度(千米/小时)
途中费用(元/千米)
装卸时间(小时)
装卸费用(元)
汽车
50
8
2
1000
火车
100
4
1800
问:
如何根据运输距离的远近选择运输工具,使运输过程中的费用与损耗之和最小?
设甲、乙两地距离为x千米(x>
0),选用汽车、火车运输时的总支出分别为y1和y2.
由题意得两种工具在运输过程中(含装卸)的费用与时间如下表:
途中及装卸费用
途中时间
8x+1000
+2
4x+1800
+4
于是y1=8x+1000+(+2)×
300=14x+1600,
y2=4x+1800+(+4)×
300=7x+3000.
令y1-y2<
0得x<
200.
①当0<
200时,y1<
y2,此时应选用汽车;
②当x=200时,y1=y2,此时选用汽车或火车均可;
③当x>
200时,y1>
y2,此时应选用火车.
故当距离小于200千米时,选用汽车较好;
当距离等于200千米时,选用汽车或火车均可;
当距离大于200千米时,选用火车较好.
22.(12分)已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f
(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),又当x2>
x1>
0时,f(x2)>
f(x1).
(1)求f
(1)、f(4)、f(8)的值;
(2)若有f(x)+f(x-2)≤3成立,求x的取值范围.
(1)f
(1)=f
(1)+f
(1),∴f
(1)=0,f(4)=f
(2)+f
(2)=1+1=2,f(8)=f
(2)+f(4)=2+1=3.
(2)∵f(x)+f(x-2)≤3,∴f[x(x-2)]≤f(8),又∵对于函数f(x)有x2>
0时f(x2)>
f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上为增函数.
∴⇒2<
x≤4.∴x的取值范围为(2,4].
第二章综合练习
1.计算log225·
log32·
log59的结果为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
原式=·
·
=·
=6.
2.设f(x)=则f(f
(2))的值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
f
(2)=log3(22-1)=1,f(f
(2))=2e1-1=2e0=2.
3.如果logx>
0成立,则x应满足的条件是( )
A.x>
B.<
1
C.x<
1 D.0<
1
由对数函数的图象可得.
4.函数f(x)=log3(2-x)在定义域区间上是( )
A.增函数 B.减函数
C.有时是增函数有时是减函数 D.无法确定其单调
由复合函数的单调性可以判断,内外两层单调性相同则为增函数,内外两层的单调性相反则为减函数.
5.某种放射性元素,100年后只剩原来的一半,现有这种元素1克,3年后剩下( )
A.0.015克 B.(1-0.5%)3克
C.0.925克 D.克
设该放射性元素满足y=ax(a>
0且a≠1),则有=a100得a=().
可得放射性元素满足y=[()]x=().当x=3时,y=()==.
6.函数y=log2x与y=logx的图象( )
A.关于原点对称 B.关于x轴对称
C.关于y轴对称 D.关于y=x对称
据图象和代入式判定都可以做出判断,故选B.
7.函数y=lg(-1)的图象关于( )
A.x轴对称 B.y轴对称
C.原点对称 D.y=x对称
f(x)=lg(-1)=lg,f(-x)=lg=-f(x),所以y=lg(-1)关于原点对称,故选C.
8.设a>
b>
c>
1,则下列不等式中不正确的是( )
A.ac>
bc B.logab>
logac
C.ca>
cb D.logbc<
logac
y=xc在(0,+∞)上递增,因为a>
b,则ac>
bc;
y=logax在(0,+∞)上递增,因为b>
c,则logab>
logac;
y=cx在(-∞,+∞)上递增,因为a>
b,则ca>
cb.故选D.
9.已知f(x)=loga(x+1)(a>
0且a≠1),若当x∈(-1,0)时,f(x)<
0,则f(x)是( )
A.增函数 B.减函数
C.常数函数 D.不单调的函数
由于x∈(-1,0),则x+1∈(0,1),所以a>
1.因而f(x)在(-1,+∞)上是增函数.
10.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )
A.a>
c B.b<
c<
a
C.b>
a D.a<
b<
c
a==,b=,c==.∵243<
124<
66,
∴<
<
,即a<
c.
11.若方程ax=x+a有两解,则a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.(0,1)
C.(0,+∞) D.Ø
分别作出当a>
1与0<
a<
1时的图象.
(1)当a>
1时,图象如下图1,满足题意.
(2)当0<
1时,图象如上图2,不满足题意.
12.已知f(x)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数,若f(lgx)>
f
(1),则x的取值范围是( )
A.(,1) B.(0,)∪(1,+∞)
C.(,10) D.(0,1)∪(0,+∞)
由于f(x)是偶函数且在(0,+∞)上是减函数,所以f(-1)=f
(1),且f(x)在(-∞,0)上是增函数,应有解得<
10.
13.若函数f(x)=ax(a>
0,且a≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则a=________.
由互为反函数关系知,f(x)过点(-1,2),代入得a-1=2⇒a=.
14.方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解为________.
log2(x-1)=2-log2(x+1)⇔log2(x-1)=log2,即x-1=,解得x=±
(负值舍去),∴x=.
15.设函数f1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则f1(f2(f3(2007)))=________.
f1(f2(f3(2007)))=f1(f2(20072))=f1((20072)-1)=[(20072)-1]=2007-1.
16.设0≤x≤2,则函数y=4x--3·
2x+5的最大值是________,最小值是________.
设2x=t(1≤t≤4),则y=·
4x-3·
2x+5=t2-3t+5=(t-3)2+.
当t=3时,ymin=;
当t=1时,ymax=×
4+=.
17.(10分)已知a=(2+)-1,b=(2-)-1,求(a+1)-2+(b+1)-2的值.
(a+1)-2+(b+1)-2=(+1)-2+(+1)-2=()-2+()-2=(+)=[(7+4)(2-)+(7-4)(2+)]=×
4=.
18.(12分)已知关于x的方程4x·
a-(8+)·
2x+4=0有一个根为2,求a的值和方程其余的根.
将x=2代入方程中,
得42·
22+4=0,解得a=2.
当a=2时,原方程为
4x·
2-(8+)2x+4=0,
将此方程变形化为2·
(2x)2-(8+)·
2x+4=0.
令2x=y,得2y2-(8+)y+4=0.
解得y=4或y=.
当y=4时,即2x=4,解得x=2;
当y=时,2x=,解得x=-.
综上,a=2,方程其余的根为-.
19.(12分)已知f(x)=,证明:
f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.
证明:
设任意x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<
x2,则
f(x1)-f(x2)=-===.∵x1<
x2,∴2x1<
2x2,即2x1-2x2<
0.∴f(x1)<
f(x2).∴f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数.
20.(12分)已知偶函数f(x)在x∈[0,+∞)上是增函数,且f()=0,求不等式f(logax)>
0(a>
0,且a≠1)的解集.
f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上递增,f()=0,
∴f(x)在(-∞,0)上递减,f(-)=0,则有logax>
,或logax<
-.
1时,logax>
-,可得x>
,或0<
-,可得0<
,或x>
.
综上可知,当a>
1时,f(logax)>
0的解集为(0,)∪(,+∞);
当0<
0的解集为(0,)∪(,+∞).
21.(12分)已知函数f(x)对一切实数x,y都满足f(x+y)=f(y)+(x+2y+1)x,且f
(1)=0,
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的解析式;
(3)当x∈[0,]时,f(x)+3<
2x+a恒成立,求a的范围.
(1)令x=1,y=0,则f
(1)=f(0)+(1+1)×
1,∴f(0)=f
(1)-2=-2.
(2)令y=0,则f(x)=f(0)+(x+1)x,∴f(x)=x2+x-2.
(3)由f(x)+3<
2x+a,得a>
x2-x+1.设y=x2-x+1,则y=x2-x+1在(-∞,]上是减函数,所以y=x2-x+1在[0,]上的范围为≤y≤1,从而可得a>
1.
22.(12分)设函数f(x)=loga(1-),其中0<
(1)求证:
f(x)是(a,+∞)上的减函数;
(2)解不等式f(x)>
(1)证明:
设任意x1,x2∈(a,+∞)且x1<
x2,则f(x1)-f(x2)=loga(1-)-loga(1-)=loga=loga=loga=loga(1+)=loga[1+].∵x1,x2∈(a,+∞)且x1<
x2,∴x1-x2<
0,0<
x1<
x2,x2-a>
0.∴<
0,∴1+<
1,又∵0<
1,∴loga[1+]>
0,∴f(x1)>
f(x2),所以f(x)=loga(1-)在(a,+∞)上为减函数.
(2)因为0<
1,所以f(x)>
1⇔loga(1-)>
logaa⇔解不等式①,得x>
a或x<
0.解不等式②,得0<
.因为0<
1,故x<
,所以原不等式的解集为{x|a<
}.
第三章综合练习
1.二次函数f(x)=2x2+bx-3(b∈R)的零点个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.4
∵Δ=b2+4×
2×
3=b2+24>
0,
∴函数图象与x轴有两个不同的交点,从而函数有2个零点.
2.函数y=1+的零点是( )
A.(-1,0) B.-1
C.1 D.0
令1+=0,得x=-1,即为函数零点.
3.下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y=f(x)-1没有零点的是( )
把y=f(x)的图象向下平移1个单位后,只有C图中图象与x轴无交点.
4.若函数y=f(x)在区间(-2,2)上的图象是连续不断的曲线,且方程f(x)=0在(-2,2)上仅有一个实数根,则f(-1)·
f
(1)的值( )
A.大于0 B.小于0
C.无法判断 D.等于零
由题意不能断定零点在区间(-1,1)内部还是外部.
5.函数f(x)=ex-的零点所在的区间是( )
A.(0,) B.(,1)
C.(1,) D.(,2)
f()=-2<
0, f
(1)=e-1>
0,∵f()·
0,∴f(x)的零点在区间(,1)内.
6.方程logx=2x-1的实根个数是( )
C.2 D.无穷多个
方程logx=2x-1的实根个数只有一个,可以画出f(x)=logx及g(x)=2x-1的图象,两曲线仅一个交点,故应选B.
7.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=0.1x2-11x+3000,若每台产品的售价为25万元,则生产者的利润取最大值时,产量x等于( )
A.55台 B.120台
C.150台 D.180台
设产量为x台,利润为S万元,则S=25x-y=25x-(0.1x2-11x+3000)
=-0.1x2+36x-3000
=-0.1(x-180)2+240,则当x=180时,生产者的利润取得最大值.
8.已知α是函数f(x)的一个零点,且x1<
α<
x2,则( )
A.f(x1)f(x2)>
0 B.f(x1)f(x2)<
C.f(x1)f(x2)≥0 D.以上答案都不对
定理的逆定理不成立,故f(x1)f(x2)的值不确定.
9.某城市为保护环境,维护水资源,鼓励职工节约用水,作出了如下规定:
每月用水不超过8吨,按每吨2元收取水费,每月超过8吨,超过部分加倍收费,某职工某月缴费20元,则该职工这个月实际用水( )
A.10吨 B.13吨
C.11吨 D.9吨
设该职工该月实际用水为x吨,易知x>
8.
则水费y=16+2×
2(x-8)=4x-16=20,
∴x=9.
10.某工厂6年来生产甲种产品的情况是:
前3年年产量的增大速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来生产甲种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象为( )
11.函数f(x)=|x2-6x+8|-k只有两个零点,则( )
A.k=0 B.k>
C.0≤k<
1 D.k>
1,或k=0
令y1=|x2-6x+8|,y2=k,由题意即要求两函数图象有两交点,利用数形结合思想,作出两函数图象可得选D.
12.利用计算器,算出自变量和函数值的对应值如下表:
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y=2x
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
y=x2
0.04
0.36
1.96
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
那么方程2x=x2的一个根所在区间为( )
A.(0.6,1.0) B.(1.4,1.8)
C.(1.8,2.2) D.(2.6,3.0)
设f(x)=2x-x2,由表格观察出x=1.8时,2x>
x2,即f(1.8)>
0;
在x=2.2时,2x<
x2,即f(2.2)<
0.
综上知f(1.8)·
f(2.2)<
0,所以方程2x=x2的一个根位于区间(1.8,2.2)内.
13.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间(2,4)上的实数根时,取中点x1=3,则下一个有根区间是__________.
设f(x)=x
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