排列与组合.版块七.排列组合问题的常用方法总结1.学生版Word下载.doc
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⑵组合:
一般地,从个不同元素中,任意取出个元素并成一组,叫做从个元素中任取个元素的一个组合.
组合数:
从个不同元素中,任意取出个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中,任意取出个元素的组合数,用符号表示.
组合数公式:
组合数的两个性质:
性质1:
;
性质2:
.(规定)
⑶排列组合综合问题
解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法:
1.特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法:
先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素;
位置优先法:
先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置;
2.分类分步法:
对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏.
3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.
4.捆绑法:
某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列.
5.插空法:
某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空.
6.插板法:
个相同元素,分成组,每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排,从个空中选个空,各插一个隔板,有.
7.分组、分配法:
分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均分成堆(组),必须除以!
,如果有堆(组)元素个数相等,必须除以!
8.错位法:
编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里,每个盒子放一个小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.关于5、6、7个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题.
1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径:
①元素分析法:
以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;
②位置分析法:
以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;
③间接法:
先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数.
求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题;
再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;
然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;
最后列出式子计算作答.
2.具体的解题策略有:
①对特殊元素进行优先安排;
②理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏;
③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复;
④对于元素相邻的条件,采取捆绑法;
对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法;
⑤顺序固定的问题用除法处理;
分几排的问题可以转化为直排问题处理;
⑥对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面.
⑦对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.
典例分析
直接法
(优先考虑特殊元素特殊位置,特殊元素法,特殊位置法,直接分类讨论)
【例1】从名外语系大学生中选派名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动,要求翻译有人参加,交通和礼仪各有人参加,则不同的选派方法共有.
【例2】北京《财富》全球论坛期间,某高校有名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班,每班人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为
A.B.C.D.
【例3】在平面直角坐标系中,轴正半轴上有个点,轴正半轴有个点,将轴上这个点和轴上这个点连成条线段,这条线段在第一象限内的交点最多有()
A.个B.个C.个D.个
【例4】一个口袋内有个不同的红球,个不同的白球,
⑴从中任取个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?
⑵若取一个红球记分,取一个白球记分,从中任取个球,使总分不少于分的取法有多少种?
【例5】一个口袋内装有大小相同的个白球和个黑球.
⑴从口袋内取出个球,共有多少种取法?
⑵从口袋内取出个球,使其中含有个黑球,有多少种取法?
⑶从口袋内取出个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
【例6】有名划船运动员,其中人只会划左舷,人只会划右舷,其余人既会划左舷也会划右舷.从这名运动员中选出人平均分在左、右舷划船参加比赛,有多少种不同的选法?
【例7】若,则,就称是伙伴关系集合,集合的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为()
A.B.C.D.
【例8】从名女生,名男生中,按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组,则不同的抽取方法种数为______.
A. B. C. D.
【例9】某城市街道呈棋盘形,南北向大街条,东西向大街条,一人欲从西南角走到东北角,路程最短的走法有多少种.
【例10】某幢楼从二楼到三楼的楼梯共级,上楼可以一步上一级,也可以一步上两级,若规定从二楼到三楼用步走完,则上楼梯的方法有______种.
【例11】亚、欧乒乓球对抗赛,各队均有名队员,按事先排好的顺序参加擂台赛,双方先由号队员比赛,负者淘汰,胜者再与负方号队员比赛,直到一方全被淘汰为止,另一方获胜,形成一种比赛过程.那么所有可能出现的比赛过程有多少种?
【例12】设含有个元素的集合的全部子集数为,其中由个元素组成的子集数为,则的值为()
A.B.C.D.
【例13】设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿轴跳动,每次向正方向或负方向跳动一个单位,经过次跳动质点落在点(允许重复过此点)处,则质点不同的运动方法种数为 .
【例14】从名男同学,名女同学中选名参加体能测试,则选到的名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有________种(用数字作答)
【例15】在的边上有四点,边上有共个点,连结线段,如果其中两条线段不相交,则称之为一对“和睦线”,和睦线的对数共有:
()
A.B.C.D.
【例16】从7名男生5名女生中,选出5人,分别求符合下列条件的选法种数有多少种?
⑴、必须当选;
⑵、都不当选;
⑶、不全当选;
⑷至少有2名女生当选;
⑸选出5名同学,让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.
【例17】甲组有名男同学,名女同学;
乙组有名男同学、名女同学.若从甲、乙两组中各选出名同学,则选出的人中恰有名女同学的不同选法共有()
A.种 B.种 C.种 D.种
【例18】从名大学毕业生中选人担任村长助理,则甲、乙至少有人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为()
A.B.C. D.
【例19】某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为()
A. B. C. D.
【例20】要从个人中选出个人去参加某项活动,其中甲乙必须同时参加或者同时不参加,问共有多少种不同的选法?
【例21】有四个停车位,停放四辆不同的车,有几种不同的停法?
若其中的一辆车必须停放在两边的停车位上,共有多少种不同的停法?
【例22】某班5位同学参加周一到周五的值日,每天安排一名学生,其中学生甲只能安排到周一或周二,学生乙不能安排在周五,则他们不同的值日安排有()
A.288种 B.72种 C.42种 D.36种
【例23】某班有名男生,名女生,现要从中选出人组成一个宣传小组,其中男、女学生均不少于人的选法为()
A.B.
C.D.
【例24】用1,2,3,4,5,6这6个数字组成无重复的四位数,试求满足下列条件的四位数各有多少个
⑴数字1不排在个位和千位
⑵数字1不在个位,数字6不在千位.
【例25】甲、乙、丙、丁、戊名学生进行讲笑话比赛,决出了第一到第五的名次,甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:
“很遗憾,你和乙都未拿到冠军”,对乙说:
“你当然不会是最差的”.从这个回答分析,人的名次排列共有_______(用数字作答)种不同情况.
【例26】某高校外语系有名奥运会志愿者,其中有名男生,名女生,现从中选人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作,若要求这人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有()
【例27】用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中恰好有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为()
A. B. C. D.
【例28】某电视台连续播放个不同的广告,其中有个不同的商业广告和个不同的奥运宣传广告,要求最后播放的必须是奥运宣传广告,且两个奥运宣传广告不能连续播放,则不同的播放方式有()
A.种B.种C.种D.种
【例29】从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,
要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中,甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有_____种(用数字作答).
【例30】从名男生和名女生中选出人,分别从事三项不同的工作,若这人中至少有名女生,则选派方案共有()
A.种 B.种 C.种 D.种
【例31】甲组有名男同学,名女同学;
【例32】将名大学生分配到个乡镇去当村官,每个乡镇至少一名,则不同的分配方案有_______种(用数字作答).
【例33】用数字可以组成没有重复数字,并且比大的五位偶数共有()
A.个B.个C.个D.个
【例34】一生产过程有道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等名工人中安排人分别照看一道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排人,则不同的安排方案共有()
【例35】2位男生和3位女生共5位同学站成一排.若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数为()
A.36B.42C.48
D.60
【例36】从名女生,名男生中,按性别采用分层抽样的方法抽取名学生组成课外小组,则不同的抽取方法种数为______.
【例37】名志愿者中安排人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排人,则不同的安排方案共有种(用数字作答).
【例38】给定集合,映射满足:
①当时,;
②任取,若,则有.
则称映射:
是一个“优映射”.例如:
用表1表示的映射:
是一个“优映射”.
表1
表2
1
2
3
⑴
4
已知表2表示的映射:
是一个优映射,请把表2补充完整(只需填出一个满足条件的映射);
⑵若映射:
是“优映射”,且方程的解恰有6个,则这样的“优映射”的个数是_____.
【例39】将个不同的小球全部放入编号为和的两个小盒子里,使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号,则不同的放球方法共有__________种.
【例40】将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( )
A.10种 B.20种 C.36种 D.52种
【例41】一个口袋内有个不同的红球,个不同的白球,
【例42】正整数称为凹数,如果,且,其中,请回答三位凹数共有个(用数字作答).
【例43】年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有()
A.种 B.种 C.种 D.种
【例44】某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有_______种.(用数字作答)
【例45】某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,有5次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?
【例46】从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作,则不同的选派方法有()
A.种B.种C.种D.
【例47】12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有()
A.种B.3种C.种D.种
【例48】袋中装有分别编号为的个白球和个黑球,从中取出个球,则取出球的编号互不相同的取法有()
A.种B.种C.种D.种.
【例49】现有男、女学生共人,从男生中选人,从女生中选人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有种不同方案,那么男、女生人数分别是()
A.男生人,女生人B.男生人,女生人
C.男生人,女生人D.男生人,女生人.
【例50】将个小球任意放入个不同的盒子中,
⑴若个小球各不相同,共有多少种放法?
⑵若要求每个盒子都不空,且个小球完全相同,共有多少种不同的放法?
⑶若要求每个盒子都不空,且个小球互不相同,共有多少种不同的放法?
【例51】将个小球任意放入个不同的盒子中,每个盒子都不空,
⑴若个小球完全相同,共有多少种不同的放法?
⑵若个小球互不相同,共有多少种不同的放法?
【例52】四个不同的小球,每球放入编号为、、、的四个盒子中.
⑴随便放(可以有空盒,但球必须都放入盒中)有多少种放法?
⑵四个盒都不空的放法有多少种?
⑶恰有一个空盒的放法有多少种?
⑷恰有两个空盒的放法有多少种?
⑸甲球所放盒的编号总小于乙球所放盒的编号的放法有多少种?
【例53】设坐标平面内有一个质点从原点出发,沿轴跳动,每次向正方向或负方向跳个单位,若经过次跳动质点落在点处(允许重复过此点),则质点不同的运动方法共___________种;
若经过次跳动质点落在点处(允许重复过此点),其中,且为偶数,则质点不同的运动方法共有_______种.
【例54】设集合,选择的两个非空子集和,要使中最小的数大于中最大的数,则不同的选择方法共有()
A.50种B.49种C.48种D.47种
【例55】是集合到集合的映射,是集合到集合的映射,则不同的映射的个数是多少?
有多少?
满足的映射有多少?
满足的映射对有多少?
【例56】排球单循坏赛,胜者得分,负者分,南方球队比北方球队多支,南方球队总得分是北方球队的倍,
设北方的球队数为.
⑴试求北方球队的总得分以及北方球队之间比赛的总得分;
⑵证明:
或;
⑶证明:
冠军是一支南方球队.
【例57】已知集合,函数的定义域、值域都是,且对于任意.设是的任意的一个排列,定义数表,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是两张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为()
A. B. C. D.
间接法(直接求解类别比较大时)
【例58】有五张卡片,它的正反面分别写0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数,共可组成多少个不同的三位数?
【例59】从中取一个数字,从中取两个数字,组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是()
A.B.C.D.
【例60】以三棱柱的顶点为顶点共可组成个不同的三棱锥.
【例61】设集合,集合是的子集,且满足,,那么满足条件的子集的个数为()
【例62】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为()
A. B. C. D.
【例63】某高校外语系有名奥运会志愿者,其中有名男生,名女生,现从中选人参加某项“好运北京”测试赛的翻译工作,若要求这人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有()
A.种 B.种 C.种 D.种
【例64】对于各数互不相等的正数数组(是不小于的正整数),如果在时有,则称“与”是该数组的一个“顺序”,一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”.例如,数组中有顺序“”,“”,其“顺序数”等于.若各数互不相等的正数数组的“顺序数”是,则的“顺序数”是_________.
【例65】已知集合,,,从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为()
A.B.C.D.
【例66】甲、乙、丙人站到共有级的台阶上,若每级台阶最多站人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).
【例67】设有编号为,,,,的五个球和编号为,,,,的五个盒子,现将这五个球放入个盒子内,
⑴只有一个盒子空着,共有多少种投放方法?
⑵没有一个盒子空着,但球的编号与盒子编号不全相同,有多少种投放方法?
⑶每个盒子内投放一球,并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的,有多少种投放方法?
【例68】在排成的方阵的个点中,中心个点在某一个圆内,其余个点在圆外,在个点中任选个点构成三角形,其中至少有一顶点在圆内的三角形共有()
A.个B.个C.个D.个
【例69】从甲、乙等名同学中挑选名参加某项公益活动,要求甲、乙中至少有人参加,则不同的挑选方法共有()
【例70】若关于的方程组有解,且所有解都是整数,则有序数对的数目为()
A.B.C. D.
【例71】从名男医生、名女医生中选名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有()
A.种 B.种 C.种 D.种
【例72】甲、乙两人从门课程中各选修门,则甲、乙所选的课程中至少有门不相同的选法共有()
A.种 B.种 C.种 D.种
【例73】,则含有五个元素,且其中至少有两个偶数的的子集个数为_____.
【例74】在由数字0,1,2,3,4所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有_______个.
【例75】在的边上取个点,在边上取个点(均除点外),连同点共个点,现任取其中三个点为顶点作三角形,可作出三角形的个数为多少?
【例76】共个人,从中选名组长名副组长,但不能当副组长,不同的选法总数是()
【例77】将甲、乙、丙、丁四名学生
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