高中数学竞赛讲义+完美数学高考指导(一)Word文档下载推荐.doc
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1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。
例1
设,求证:
(1);
(2);
(3)若,则
[证明]
(1)因为,且,所以
(2)假设,则存在,使,由于和有相同的奇偶性,所以是奇数或4的倍数,不可能等于,假设不成立,所以
(3)设,则
(因为)。
2.利用子集的定义证明集合相等,先证,再证,则A=B。
例2
设A,B是两个集合,又设集合M满足
,求集合M(用A,B表示)。
【解】先证,若,因为,所以,所以;
再证,若,则1)若,则;
2)若,则。
所以
综上,
3.分类讨论思想的应用。
例3
,若,求
【解】依题设,,再由解得或,
因为,所以,所以,所以或2,所以或3。
因为,所以,若,则,即,若,则或,解得
综上所述,或;
或。
4.计数原理的应用。
例4
集合A,B,C是I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集,
(1)若,求有序集合对(A,B)的个数;
(2)求I的非空真子集的个数。
【解】
(1)集合I可划分为三个不相交的子集;
A\B,B\A,中的每个元素恰属于其中一个子集,10个元素共有310种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所以集合对有310个。
(2)I的子集分三类:
空集,非空真子集,集合I本身,确定一个子集分十步,第一步,1或者属于该子集或者不属于,有两种;
第二步,2也有两种,…,第10步,0也有两种,由乘法原理,子集共有个,非空真子集有1022个。
5.配对方法。
例5给定集合的个子集:
,满足任何两个子集的交集非空,并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求的值。
【解】将I的子集作如下配对:
每个子集和它的补集为一对,共得对,每一对不能同在这个子集中,因此,;
其次,每一对中必有一个在这个子集中出现,否则,若有一对子集未出现,设为C1A与A,并设,则,从而可以在个子集中再添加,与已知矛盾,所以。
综上,。
6.竞赛常用方法与例问题。
定理4
容斥原理;
用表示集合A的元素个数,则
,需要xy此结论可以推广到个集合的情况,即
定义8
集合的划分:
若,且,则这些子集的全集叫I的一个-划分。
定理5
最小数原理:
自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6
抽屉原理:
将个元素放入个抽屉,必有一个抽屉放有不少于个元素,也必有一个抽屉放有不多于个元素;
将无穷多个元素放入个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6
求1,2,3,…,100中不能被2,3,5整除的数的个数。
【解】记,,由容斥原理,,所以不能被2,3,5整除的数有个。
例7
S是集合{1,2,…,2004}的子集,S中的任意两个数的差不等于4或7,问S中最多含有多少个元素?
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。
由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S,将这11个数按连续两个为一组,分成6组,其中一组只有一个数,若S含有这11个数中至少6个,则必有两个数在同一组,与已知矛盾,所以S至多含有其中5个数。
又因为2004=182×
11+2,所以S一共至多含有182×
5+2=912个元素,另一方面,当时,恰有,且S满足题目条件,所以最少含有912个元素。
例8
求所有自然数,使得存在实数满足:
【解】
当时,;
当时,;
当时,。
下证当时,不存在满足条件。
令,则
所以必存在某两个下标,使得,所以或,即,所以或,。
(ⅰ)若,考虑,有或,即,设,则,导致矛盾,故只有
考虑,有或,即,设,则,推出矛盾,设,则,又推出矛盾,所以故当时,不存在满足条件的实数。
(ⅱ)若,考虑,有或,即,这时,推出矛盾,故。
考虑,有或,即=3,于是,矛盾。
因此,所以,这又矛盾,所以只有,所以。
故当时,不存在满足条件的实数。
例9
设A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在A中取三个数,B中取两个数组成五个元素的集合,求的最小值。
【解】
设B中每个数在所有中最多重复出现次,则必有。
若不然,数出现次(),则在出现的所有中,至少有一个A中的数出现3次,不妨设它是1,就有集合{1,},其中,为满足题意的集合。
必各不相同,但只能是2,3,4,5,6这5个数,这不可能,所以
20个中,B中的数有40个,因此至少是10个不同的,所以。
当时,如下20个集合满足要求:
{1,2,3,7,8},
{1,2,4,12,14},
{1,2,5,15,16},
{1,2,6,9,10},
{1,3,4,10,11},{1,3,5,13,14},
{1,3,6,12,15},
{1,4,5,7,9},
{1,4,6,13,16},{1,5,6,8,11},
{2,3,4,13,15},
{2,3,5,9,11},
{2,3,6,14,16},{2,4,5,8,10},
{2,4,6,7,11},
{2,5,6,12,13},
{3,4,5,12,16},{3,4,6,8,9},
{3,5,6,7,10},
{4,5,6,14,15}。
例10集合{1,2,…,3n}可以划分成个互不相交的三元集合,其中,求满足条件的最小正整数
【解】设其中第个三元集为则1+2+…+
所以。
当为偶数时,有,所以,当为奇数时,有,所以,当时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,12,7},{10,14,8}满足条件,所以的最小值为5。
三、基础训练题
1.给定三元集合,则实数的取值范围是___________。
2.若集合中只有一个元素,则=___________。
3.集合的非空真子集有___________个。
4.已知集合,若,则由满足条件的实数组成的集合P=___________。
5.已知,且,则常数的取值范围是___________。
6.若非空集合S满足,且若,则,那么符合要求的集合S有___________个。
7.集合之间的关系是___________。
8.若集合,其中,且,若,则A中元素之和是___________。
9.集合,且,则满足条件的值构成的集合为___________。
10.集合,则
___________。
11.已知S是由实数构成的集合,且满足1))若,则。
如果,S中至少含有多少个元素?
说明理由。
12.已知,又C为单元素集合,求实数的取值范围。
四、高考水平训练题
1.已知集合,且A=B,则___________,___________。
2.
,则___________。
3.已知集合,当时,实数的取值范围是___________。
4.若实数为常数,且___________。
5.集合,若,则___________。
6.集合,则中的最小元素是___________。
7.集合,且A=B,则___________。
8.已知集合,且,则的取值范围是___________。
9.设集合,问:
是否存在,使得,并证明你的结论。
10.集合A和B各含有12个元素,含有4个元素,试求同时满足下列条件的集合C的个数:
1)且C中含有3个元素;
2)。
11.判断以下命题是否正确:
设A,B是平面上两个点集,,若对任何,都有,则必有,证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
1.已知集合,则实数的取值范围是___________。
2.集合的子集B满足:
对任意的,则集合B中元素个数的最大值是___________。
3.已知集合,其中,且,若P=Q,则实数___________。
4.已知集合,若是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则___________。
5.集合,集合,则集合M与N的关系是___________。
6.设集合,集合A满足:
,且当时,,则A中元素最多有___________个。
7.非空集合,≤则使成立的所有的集合是___________。
8.已知集合A,B,aC(不必相异)的并集,则满足条件的有序三元组(A,B,C)个数是___________。
9.已知集合,问:
当取何值时,为恰有2个元素的集合?
说明理由,若改为3个元素集合,结论如何?
10.求集合B和C,使得,并且C的元素乘积等于B的元素和。
11.S是Q的子集且满足:
若,则恰有一个成立,并且若,则,试确定集合S。
12.集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足:
S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中,问:
至多有多少个五元子集?
六、联赛二试水平训练题
1.是三个非空整数集,已知对于1,2,3的任意一个排列,如果,,则。
求证:
中必有两个相等。
2.求证:
集合{1,2,…,1989}可以划分为117个互不相交的子集,使得
(1)每个恰有17个元素;
(2)每个中各元素之和相同。
3.某人写了封信,同时写了个信封,然后将信任意装入信封,问:
每封信都装错的情况有多少种?
4.设是20个两两不同的整数,且整合中有201个不同的元素,求集合中不同元素个数的最小可能值。
5.设S是由个人组成的集合。
其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数为偶数。
6.对于整数,求出最小的整数,使得对于任何正整数,集合的任一个元子集中,均有至少3个两两互质的元素。
7.设集合S={1,2,…,50},求最小自然数,使S的任意一个元子集中都存在两个不同的数a和b,满足。
8.集合,试作出X的三元子集族&
,满足:
(1)X的任意一个二元子集至少被族&
中的一个三元子集包含;
(2)。
9.设集合,求最小的正整数,使得对A的任意一个14-分划,一定存在某个集合,在中有两个元素a和b满足。
高中数学精神讲义
(二)
──二次函数与命题
1.二次函数:
当0时,y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数,其对称轴为直线x=-,另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中x0=-,下同。
2.二次函数的性质:
当a>
0时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量x增大函数值减小(简称递减),在[x0,-∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增)。
当a<
0时,情况相反。
3.当a>
0时,方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>
0…②及ax2+bx+c<
0…③与函数f(x)的关系如下(记△=b2-4ac)。
1)当△>
0时,方程①有两个不等实根,设x1,x2(x1<
x2),不等式②和不等式③的解集分别是{x|x<
x1或x>
x2}和{x|x1<
x<
x2},二次函数f(x)图象与x轴有两个不同的交点,f(x)还可写成f(x)=a(x-x1)(x-x2).
2)当△=0时,方程①有两个相等的实根x1=x2=x0=,不等式②和不等式③的解集分别是{x|x}和空集,f(x)的图象与x轴有唯一公共点。
3)当△<
0时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点。
0时,请读者自己分析。
4.二次函数的最值:
若a>
0,当x=x0时,f(x)取最小值f(x0)=,若a<
0,则当x=x0=时,f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>
0),当x0∈[m,n]时,f(x)在[m,n]上的最小值为f(x0);
当x0<
m时。
f(x)在[m,n]上的最小值为f(m);
当x0>
n时,f(x)在[m,n]上的最小值为f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出)。
能判断真假的语句叫命题,如“3>
5”是命题,“萝卜好大”不是命题。
不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。
注1
“p或q”复合命题只有当p,q同为假命题时为假,否则为真命题;
“p且q”复合命题只有当p,q同时为真命题时为真,否则为假命题;
p与“非p”即“p”恰好一真一假。
原命题:
若p则q(p为条件,q为结论);
逆命题:
若q则p;
否命题:
若非p则q;
逆否命题:
若非q则非p。
注2
原命题与其逆否命题同真假。
一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3
反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。
如果命题“若p则q”为真,则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中,如果已知pq,则p是q的充分条件;
如果qp,则称p是q的必要条件;
如果pq但q不p,则称p是q的充分非必要条件;
如果p不q但pq,则p称为q的必要非充分条件;
若pq且qp,则p是q的充要条件。
1.待定系数法。
设方程x2-x+1=0的两根是α,β,求满足f(α)=β,f(β)=α,f
(1)=1的二次函数f(x).
设f(x)=ax2+bx+c(a0),
则由已知f(α)=β,f(β)=α相减并整理得(α-β)[(α+β)a+b+1]=0,
因为方程x2-x+1=0中△0,
所以αβ,所以(α+β)a+b+1=0.
又α+β=1,所以a+b+1=0.
又因为f
(1)=a+b+c=1,
所以c-1=1,所以c=2.
又b=-(a+1),所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.
再由f(α)=β得aα2-(a+1)α+2=β,
所以aα2-aα+2=α+β=1,所以aα2-aα+1=0.
即a(α2-α+1)+1-a=0,即1-a=0,
所以a=1,
所以f(x)=x2-2x+2.
2.方程的思想。
已知f(x)=ax2-c满足-4≤f
(1)≤-1,-1≤f
(2)≤5,求f(3)的取值范围。
因为-4≤f
(1)=a-c≤-1,
所以1≤-f
(1)=c-a≤4.
又-1≤f
(2)=4a-c≤5,f(3)=f
(2)-f
(1),
所以×
(-1)+≤f(3)≤×
5+×
4,
所以-1≤f(3)≤20.
3.利用二次函数的性质。
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0),若方程f(x)=x无实根,求证:
方程f(f(x))=x也无实根。
【证明】若a>
0,因为f(x)=x无实根,所以二次函数g(x)=f(x)-x图象与x轴无公共点且开口向上,所以对任意的x∈R,f(x)-x>
0即f(x)>
x,从而f(f(x))>
f(x)。
所以f(f(x))>
x,所以方程f(f(x))=x无实根。
注:
请读者思考例3的逆命题是否正确。
4.利用二次函数表达式解题。
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>
0),方程f(x)=x的两根x1,x2满足0<
x1<
x2<
(Ⅰ)当x∈(0,x1)时,求证:
f(x)<
x1;
(Ⅱ)设函数f(x)的图象关于x=x0对称,求证:
x0<
【证明】因为x1,x2是方程f(x)-x=0的两根,所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),
即f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.
(Ⅰ)当x∈(0,x1)时,x-x1<
0,x-x2<
0,a>
0,所以f(x)>
x.
其次f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+]<
0,所以f(x)<
x1.
综上,x<
(Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2,
所以x0=,
所以,
5.构造二次函数解题。
例5
已知关于x的方程(ax+1)2=a2(a-x2),a>
1,求证:
方程的正根比1小,负根比-1大。
【证明】
方程化为2a2x2+2ax+1-a2=0.
构造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,
f
(1)=(a+1)2>
0,f(-1)=(a-1)2>
0,f(0)=1-a2<
0,即△>
0,
所以f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。
即方程的正根比1小,负根比-1大。
6.定义在区间上的二次函数的最值。
当x取何值时,函数y=取最小值?
求出这个最小值。
【解】y=1-,令u,则0<
u≤1。
y=5u2-u+1=5,
且当即x=3时,ymin=.
设变量x满足x2+bx≤-x(b<
-1),并且x2+bx的最小值是,求b的值。
由x2+bx≤-x(b<
-1),得0≤x≤-(b+1).
ⅰ)-≤-(b+1),即b≤-2时,x2+bx的最小值为-,所以b2=2,所以(舍去)。
ⅱ)->
-(b+1),即b>
-2时,x2+bx在[0,-(b+1)]上是减函数,
所以x2+bx的最小值为b+1,b+1=-,b=-.
综上,b=-.
7.一元二次不等式问题的解法。
已知不等式组
①②的整数解恰好有两个,求a的取值范围。
因为方程x2-x+a-a2=0的两根为x1=a,x2=1-a,
若a≤0,则x1<
x2.①的解集为a<
1-a,由②得x>
1-2a.
因为1-2a≥1-a,所以a≤0,所以不等式组无解。
0,ⅰ)当0<
a<
时,x1<
x2,①的解集为a<
1-a.
因为0<
1-a<
1,所以不等式组无整数解。
ⅱ)当a=时,a=1-a,①无解。
ⅲ)当a>
时,a>
1-2a,
所以不等式组的解集为1-a<
a.
又不等式组的整数解恰有2个,
所以a-(1-a)>
1且a-(1-a)≤3,
所以1<
a≤2,并且当1<
a≤2时,不等式组恰有两个整数解0,1。
综上,a的取值范围是1<
a≤2.
8.充分性与必要性。
设定数A,B,C使得不等式
A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)≥0
①
对一切实数x,y,z都成立,问A,B,C应满足怎样的条件?
(要求写出充分必要条件,而且限定用只涉及A,B,C的等式或不等式表示条件)
充要条件为A,B,C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA).
先证必要性,①可改写为A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2≥0
②
若A=0,则由②对一切x,y,z∈R成立,则只有B=C,再由①知B=C=0,若A0,则因为②恒成立,所以A>
0,△=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2≤0恒成立,所以(B-A-C)2-4AC≤0,即A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA)
同理有B≥0,C≥0,所以必要性成立。
再证充分性,若A≥0,B≥0,C≥0且A2+B2+C2≤2(AB+BC+CA),
1)若A=0,则由B2+C2≤2BC得(B-C)2≤0,所以B=C,所以△=0,所以②成立,①成立。
2)若A>
0,则由③知△≤0,所以②成立,所以①成立。
综上,充分性得证。
9.常用结论。
若a,b∈R,|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
因为-|a|≤a≤|a|,-|b|≤b≤|b|,所以-(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b|,
所以|a+b|≤|a|+|b|(注:
若m>
0,则-m≤x≤m等价于|x|≤m).
又|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|,
即|a|-|b|≤|a+b|.综上定理1得证。
若a,b∈R,则a2+b2≥2ab;
若x,y∈R+,则x+y≥
(证略)
注
定理2可以推广到n个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。
1.下列四个命题中属于真命题的是________,①“若x+y=0,则x、y互为相反数”的逆命题;
②“两个全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题。
2.由上列各组命题构成“p或q”,“p且q”,“非p”形式的复合命题中,p或q为真,p且q为假,非p为真的是_________.①p;
3是偶数,q:
4是奇数;
②p:
3+2=6,q:
③p:
a∈(a,b),q:
{a}{a,b};
④p:
QR,q:
N=Z.
3.当|x-2|<
a时,不等式|x2-4|<
1成立,则正数a的取值范围是________.
4.不等式ax2+(ab+1)x+b>
0的解是1<
2,则a,b的值是____________.
5.x1且x2是x-1的__________条件,而-2<
m<
0且0<
n<
1是关于x的方程x2+mx+n=0有两个小于1的正根的__________条件.
6.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的逆命题是_________.
7.若S={x|mx2+5x+2=0}的子集至多有2个,则m的取值范围是_________.
8.R为全集,A={x|3-x≥4},B=,则(CRA)∩B=_________.
9.设a,b是整数,集合A={(x,y)|(x-a)2+3b≤6y},点(2,1)∈A,但点(1,0)A,(3,2)A则a,b的值是_________.
10.设集合A={x||x|<
4},B={x|x2-4x+3>
0},则集合{x|x∈A且xA∩B}=_________.
11.求使不等式ax2+4x-1≥-2x2-a对任意实数x恒成立的a的取值范围。
12.对任意x∈[0,1],有①②成立,求k的取值范围。
1.若不等式|x-a|<
x的解集不空,则实数a的取值范围是_________.
2.使不等式x2+(x-6)x+9>
0当|a|≤1时恒成立的x的取值范围是_________.
3.
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