高中数学导数讲义完整版.docx
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高中数学导数讲义完整版
高中数学导数讲义完整版
第一部分导数的背景
一、导入新课
1.瞬时速度
问题1:
一个小球自由下落,它在下落3秒时的速度是多少?
(s=-gt2,其中g是重力加速度).
2
2.切线的斜率
问题2:
P(1,1)是曲线y=x2±的一点,Q是曲线上点P附近的一个点,当点Q沿曲线逐渐向点P趋近时
割线PQ的斜率的变化情况.
3.边际成本
问题3:
设成本为C,产量为q,成本与产量的函数关系式为C(q)=3q2+\0,我们来研究当q=50时,产量变化X对成本的影响.
二、小结:
瞬时速度是平均速度兰当△/趋近于0时的极限;切线是割线的极限位置,切线的斜率是割线斜率竺当ArAx
▲厂
△x•趋近于0时的极限;边际成本是平均成本——当M趋近于0时的极限.
三、练习与作业:
1.某物体的运动方程为s(t)=5t2(位移单位:
m,时间单位:
s)求它在t=2s时的速度.
2.判断曲线y=2x2在点P(1,2)处是否有切线,如果有,求出切线的方程.
3.已知成本C与产量q的函数关系式为C=2/+5,求当产量q=80时的边际成本.
4.一球沿某一斜面自由滚下,测得滚下的垂直距离h(单位:
m)与时间1(单位:
s)之间的函数关系为力=t2,
求t=4s时此球在垂直方向的瞬时速度.
5.判断曲线y=-x2在(1,[)处是否有切线,如果有,求岀切线的方程.
22
6.已知成本C与产量q的函数关系为C=4/+7,求当产疑q=30时的边际成本.
例1•求y=2,一1在x=—3处的导数。
(1)
例2•已知函数y=x2+x
求:
A
(2)求函数y=x2+x在x=2处的导数“
四、练习与作业:
1•求下列函数的导数:
(1)y=3x-4:
(2)y=\-2x(3)y=3〒-12x(3)y=5-x3
2.求函数y=x2+\在一1,0,1处导数。
3
•求下列函数在指左点处的导数:
4•求下列函数的导数:
(1)y=4x+1;
(2)y=10-x2:
(3)y=2xy-3x\(4)y=2x2+7o
5•求函数y=x2^2x在一202处的导数。
作业
1•若lim/(.v)存在,则[lim/(x)]'=
x->0
4•某工厂每日产品的总成本C是日产量x的函数,即C(x)=1000+7x+5x2,试求:
(1)当日产虽:
为100时的平均成本:
(2)当日产虽:
由100增加到125时,增加部分的平均成本;
(3)当日产呈:
为100时的边际成本.
5•设电量与时间的函数关系为Q=2t2+3t+\9求t=3s时的电流强度.
6•设质点的运动方程是s=3r+2t+\,计算从t=2到t=2+之间的平均速度,并计算当0=0.1时的平均速度,再计算t=2时的瞬时速度.
3
7•若曲线y=-x2+l的切线垂直于直线2x+6y+3=0,试求这条切线的方程.2
&在抛物线y=2+兀-上,哪一点的切线处于下述位宜?
(1)与x轴平行
(2)平行于第一象限角的平分线.(3)与x轴相交成45°角
9•已知曲线y=2x-x2±有两点A(2,0),B(1,1),求:
(1)割线AB的斜率&炳:
(2)过点A的切线的斜率kAT,(3)点A处的切线的方程.
10•在抛物线y=x2上依次取M(1,1),N(3,9)两点,作过这两点的割线,问:
抛物线上哪一点处的切线平行于这条割线?
并求这条切线的方程.
11.已知一气球的半径以10cm/s的速度增长,求半径为10cm时,该气球的体积与表面积的增长速度.
12•—长方形两边长分别用x与y表示,如果x以O.OlnVs的速度减小,y边以0.02nVs的速度增加,求在x=20m,y=15m时,长方形而积的变化率.
13.(选做)证明:
过曲线Q=/上的任何一点(儿,儿)(x()>0)的切线与两坐标轴围成的三角形面积是一个常数.(提示:
(丄)'=一丄)
第一部分函数求导
一、导数定义
1・简单函数的定义求导的方法(一差、二比、三取极限)
(1)求函数的增疑Ay=f(x()+Ar)一f(x0):
⑵求平均变化率鱼=几2)-心)。
AxAx
(3)取极限求导数/'(x0)=lim
2.导数与导函数的关系:
特殊与一般的关系。
函数在某一点f(x{))的导数就是导函数/(A),当x=x0时的函数值。
3.常用的导数公式及求导法则:
(1)公式
c'=O
(x,,),=n-xn-1
sin'x=cosx
cosrx=-sinx
(ax)f=ax-Ina
(ex)r=ex
log:
x=—
X'lna
lnxx=丄
(2)法则:
(/W+g(x))'=f\x)+g3
(/W•g(x))'=f\x)•g(x)+g3•f(x)
=广(》g(X)-g'(X)J(X)
g(x)g2W
二、例:
(1)y=x3(x2-4)
(2)y=SinX(3)y=3cosx—4sinx(4)y=(2x+3)2(5)y=ln(x+2)
第二部分复合函数的导数
一、基本公式:
如果函数%(X)在点x处可导,函数/(h)在点处可导,则复合函数y=f{u)=f[(p(X)]
在点x处也可导,并且(fl(p(x)])x=ff\(p(x)](p\x)或记作
二、例题:
例1求下列函数的导数y=』3—2xy=
(l-3x)
例2求下列函数的导数
(1)y=Jl—2xcosx
(4)f(x)=(x2-3x+2)2>sin3x
二、求下函数的导数.
1、
(1)y=cos-
•3
(2)y=j2x_\
2、
(1X5a—3)4
(2)y=(2+3x)5
(3)y=(2—a*2)3(4)y=(2x3+x)2
3、
⑴"
(?
)ty-4!
'
(3)产sin(3y——)(4)j^cos(l+y)
'丄丿J—J
m+i
(2x2-l)3
6
4、
(l)>'=(2-x2)3;
(2)y=sinx2;(3)y=cosQ-x):
(4)v=Insin(3x-l)・
4
5、(l)y=siav3+sin33x:
“、sin2x
(9)\,—
(3)log"(F一2)(4)ln(2x2+3x+l)
2x-1
导数的应用一:
求切线方程
导数的几何意义:
f(x)在X=兀处的导数就是f(x)在X=Ao处的切线斜率曲线C:
y=f(x)在其上一点P(xo,/(皿))处的切线方程为y~f(x<))=f9(x<))(x—xo).问题1:
如何求解曲线的切线?
求切线问题的基本步骤:
找切点求导数得斜率题1•求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程.
练习1:
已知=求曲线y=/(a)在x=—1处的切线斜率和切线方程.
练习2:
如图,函数y=f(x)的图象在点尸处的切线方程是y=-兀+8,则/(5)+广(5)二.
变式1:
求曲线y=x2过点(0,—1)的切线方程
变式2.已知曲线y=x2+\
⑴求曲线在点P(l,2)处的切线方程;
(2)求曲线过点(2(1,1)的切线方程:
变3:
已知f(X)=y]\-X2,求曲线y=/(A-)在X处的切线斜率是多少?
2
题2、在曲线y=F+x—l上求一点P,使过点P点的切线与直线y=4x-7平行。
题3、已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M处(-Lf(-l))处的切线方程为6x-y+7=0,求函数的解析式
题4、曲线尸“+1上过点P的切线与曲线尸一2—1相切,求点P的坐标.
作业:
14
1•已知曲线尸丄卫+工,则在点p(2,4)的切线方程是・
'33
2•过点P(—1,2)且与曲线尸3疋一號+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是.
3•设函数f(x)=匕一“)(x-b)(x-c)(“、b、c是两两不等的常数),则_^+_^+_1_=.
f(a)f(b)f(c)
4、求曲线y=2x-x3在兀=_1处的切线的斜率。
5.曲线尸卅+3”十6*—10的切线中,求斜率最小的切线方程.
6•已知函数/(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,beR).若函数f(x)的图象过原点,且在原点处的切
线斜率是一3,求。
上的值:
7•求曲线y=3x-x3的过点A(2,-2)的切线方程。
&若直线y=3x+l是曲线〉*一“的一条切线,求实数a的值.
导数的应用二:
单调区间讨论
例1:
求下列函数的单调区间
(1)f(x)=sinx
(2)f(x)=x3+2x2-5x(3)f(x)=x2^ex
例2:
设a>0,求函数f(x)=y[x-\n(x+a)(xe(0,f)的单调区间.
2
练习:
已知函数f(x)=x--+a(2-Inx)9(a>0),fM的单调性.
x
例3•设函数f(x)=ax2+bx+k伙>0)在兀=0处取得极值,且曲线y=f(x)在点(1J⑴)处的切线垂直于
(I)求a上的值;(II)若函数g(x)=——
fW
练习:
已知函数/(x)=%3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a.beR)・
(I)若函数/(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求“,b的值:
(II)若函数/W在区间(—1,1)上否单调,求G的取值范围.
1、(北京理)设函数fW=xeLx(k^0)
(I)求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程:
(II)求函数/(x)的单调区间:
(III)若函数/(X)在区间(-1,1)内单调递增,求R的取值范屁
2、已知函数/(x)=-x3-ax2+b在x=-2处有极值.
(1)求函数/(X)的单调区间;
(2)求函数/(x)在[-3,3]上有且仅有一个零点,求b的取值范用。
3、已知函数f(x)=-x3g(x)=--kx,且/(x)在区间(2,+oo)上为增函数.
323
(1)、求实数k的取值范围;
(2)、若函数/(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数R的取值范羽.
1-/71
4、已知函数f(x)=\nx-ax+——-1(I)当oS—时,讨论/(x)的单调性:
x2
(II)设当«=1时,若对任意册已(0,2),存在x2g[1,2],使/(xjngg),求实数〃取值范围.g(x)=x2-2bx+4.
导数应用三:
求函数的极值、最值
函数极值的槪念
(2)函数极值的求法:
(1)考虑函数的定义域并求f'(x);
(2)解方程f(x)=0,得方程的根x。
(可能不止一个)
(3)如果在X。
附近的左侧f(x)>0,右侧F(x)<0,那么f(x。
)是
极大值:
反之,那么f(x。
)是极大值
题型一、极值求法
1求下列函数的极值
(1)f(x)二-3x=-9x+5;
(2)f(x)二也上(3)f(x)二丄x+cosx(-;rvxv兀)
x2
2、设a为实数,函数y二J-2x+2a,求y的单调区间与极值
3、设函数f(x)=——X3+x=+(m2-l)x,其中m>0o
3
(1)当m二1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(l))处的切线的斜率
(2)求函数f(x)的单调区间与极值
4、若函数f(x)二匚上,
(1)若f(x)在点(1,f(l))处的切线的斜率为丄,求实数a的值
(2)若f(x)在尸1
x+12
处取得极值,求函数的单调区间
5、函数f(x)=x°+axs+3x-9已知f(x)在x=-3时取得极值,求a
6、若函数y=-x3+6x"+m的极大值为13,求m的值
7、已知函数f(x)*+af+bx+a:
在x二1处有极值10.⑴求a,b的值;
(2)f(x)的单调区间
8、已知函数f(x)二a^+blnx在沪1处有极值丄
(1)求a,b的值;⑵判定函数的单调性,并求岀单调区间
2
9、设函数f(x)=-x3+bx+cx+d(a>0),且方程f*(x)-9x=0的两根分别为1,4,若f(x)在()
3
内无极值点,求a的取值范围
(3)函数的最值与导数
注:
求函数f仗)在闭区间[a,b]内的最值步骤如下
(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值
(2)将函数尸f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,英中最大的一个就是
最大值,最小的一个就是最小值
题型一求闭区间上的最值
1、设在区间[a,b]上函数f(x)的图像是一条连续不断的曲线,且在区间(a,b)上可导,下列命题正确的是
(1)若函数在[a,b]上有最大值,则这个最大值必是[a,b]上的极大值
(2)若函数在[a,b]上有最小值,则这个最小值必是[a,b]上的极小值
(3)若函数在[a,b]上有最值,则这个最值必在x二a或x二b处取得
2、求函数f(x)=x:
-4x+6区间[1,5]上的最值
3、求函数f(x)=x3-3x=+6x-10在区间[-1,1]上的最值
4、已知f(x)=x3+2x2-4x+5,求函数在[-3,1]上的最值
题型二有函数的最值确泄参数的值
1、已知函数f(x)=ax5-6axs+b,x€[-3,1]的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值
(4)导数综合应用
1、已知函数f(x)=xs+ax+blnx(x>O>a,b为实数).⑴若a二l,b二-1,求函数f(x)的极值.⑵若
a+b二-2,讨论f(x)的单调性.
2、设函数f(x)=ax--+lnx<,
(1)当f(l)二0时,若函数f(x)是单调函数,求实数e的取值范
J
用.
(2)当f(x)在x二2,x二4出取得极值时,若方程f(x)=c在区间[1,8]内有三个不同的实
数根,求实数c的取值范®(ln2«0.639).
3、设函数f(x)二丄x'-axFa'x+l(a>0).
(1)若a二1,求曲线f(x)在(a,f(a))处的切线方程。
3
(2)求函数f(x)的单调区间、极大值、和极小值.(3)若xe[a+1,a+2]时,恒有f(x)>-3a,求实数a的取值范用.
(四)作业
函数导数求极值,最值
1.已知f(x)=x3+ax+bx+c,在x=l与x=-2时,都取得极值。
(I)求a,b的值:
(II)若xe[-3,2]都有/(a-)>--丄恒成立,求c的取值范围。
c2
4.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(Z?
hO)在x=0处取到极值2・
(I)求C,〃的值:
(II)试研究曲线y=fM的所有切线与直线x-by+\=0垂直的条数:
(III)若对任意*[1,2],均存在2(0.1],使得ez-ln/-l(x),试求b的取值范围.
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