高中数学复习知识点圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结Word格式文档下载.doc
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2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
(1)椭圆:
焦点在x轴上时(参数方程,其中为参数),焦点在y轴上时。
方程表示椭圆的充要条件是什么?
(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。
已知方程表示椭圆,则k的取值范围为____(答:
);
(2)双曲线:
焦点在x轴上:
,焦点在y轴上:
。
方程表示双曲线的充要条件是什么?
(ABC≠0,且A,B异号)。
双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:
(3)抛物线:
开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:
由分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:
)
由项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
特别提醒:
(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点、的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数a,b,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;
在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;
(2)在椭圆中,a最大,,在双曲线中,c最大,。
4.圆锥曲线的几何性质:
(1)椭圆(以为例):
①范围:
;
②焦点:
两个焦点;
③对称性:
两条对称轴x=0,y=0,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2a,短轴长为2b;
④准线:
两条准线;
⑤离心率:
,椭圆,e越小,椭圆越圆;
e越大,椭圆越扁。
比如:
若椭圆的离心率,则m的值是__(答:
3或);
(2)双曲线(以为例):
两条对称轴x=0,y=0,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2a,虚轴长为2b,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;
,双曲线,等轴双曲线,e越小,开口越小,e越大,开口越大;
⑥两条渐近线:
双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率等于______(答:
或);
(3)抛物线(以为例):
一个焦点,其中p的几何意义是:
焦点到准线的距离;
一条对称轴y=0,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);
一条准线;
,抛物线。
如设,则抛物线的焦点坐标为________(答:
5、点和椭圆的关系:
(1)点在椭圆外;
(2)点在椭圆上;
(3)点在椭圆内
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:
直线与椭圆相交;
直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;
直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。
若直线y=kx+2与双曲线的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:
(2)相切:
直线与椭圆相切;
直线与双曲线相切;
直线与抛物线相切;
(3)相离:
直线与椭圆相离;
直线与双曲线相离;
直线与抛物线相离。
特别提醒:
(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:
相切和相交。
如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;
如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;
(2)过双曲线外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:
①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;
②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;
③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:
一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;
④P为原点时不存在这样的直线;
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:
两条切线和一条平行于对称轴的直线。
①过点(2,4)作直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线有______(答:
2);
②对于抛物线C:
,我们称满足的点在抛物线的内部,若点在抛物线的内部,则直线:
与抛物线C的位置关系是_______(答:
相离);
③求椭圆上的点到直线的最短距离(答:
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7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:
利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径r=ed,其中d表示P到与F所对应的准线的距离。
①已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答:
②椭圆内有一点p(1,-1),F为右焦点,在椭圆上有一点M,使之值最小,则点M的坐标为_______(答:
8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:
常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。
设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,则在椭圆中,①,且当即P为短轴端点时,最大为;
②,当即P为短轴端点时,的最大值为bc;
对于双曲线的焦点三角形有:
①;
②。
短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为,过作直线交椭圆于A、B两点,则的周长为________(答:
6);
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:
(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;
(2)设AB为焦点弦,M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;
(3)设AB为焦点弦,A、B在准线上的射影分别为,若P为的中点,则PA⊥PB;
(4)若AO的延长线交准线于C,则BC平行于x轴,反之,若过B点平行于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。
10、弦长公式:
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则,若分别为A、B的纵坐标,则,若弦AB所在直线方程设为,则。
特别地,焦点弦(过焦点的弦):
焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。
过抛物线焦点的直线交抛物线于A、B两点,已知|AB|=10,O为坐标原点,则ΔABC重心的横坐标为_______(答:
3);
11、圆锥曲线的中点弦问题:
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率;
在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率;
在抛物线中,以为中点的弦所在直线的斜率。
如果椭圆弦被点A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是
(答:
12.你了解下列结论吗?
(1)双曲线的渐近线方程为;
(2)以为渐近线(即与双曲线共渐近线)的双曲线方程为(为参数,≠0)。
(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为;
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为,焦准距(焦点到相应准线的距离)为,抛物线的通径为2p,焦准距为p;
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;
(6)若抛物线的焦点弦为AB,,则①;
②
(7)若OA、OB是过抛物线顶点O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点(2p,0)
13.动点轨迹方程:
(1)求轨迹方程的步骤:
建系、设点、列式、化简、确定点的范围;
(2)求轨迹方程的常用方法:
①直接法:
直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0;
如已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4,求P的轨迹方程.(答:
②待定系数法:
已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数。
如线段AB过x轴正半轴上一点M(m,0)(m>
0),端点A、B到x轴距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线,则此抛物线方程为
③定义法:
先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;
如点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1,则点M的轨迹方程是_______(答:
④代入转移法:
动点P(x,y)依赖于另一动点的变化而变化,并且又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示,再将代入已知曲线得要求的轨迹方程;
如动点P是抛物线上任一点,定点为A(0,-1),点M分所成的比为2,则M的轨迹方程为__________(答:
⑤参数法:
当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。
如若点在圆上运动,则点的轨迹方程是____(答:
注意:
①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
如已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段与该椭圆的交点,点T在线段上,并且满足
(1)设x为点P的横坐标,证明;
(2)求点T的轨迹C的方程;
(3)试问:
在点T的轨迹C上,是否存在点M,使△F1MF2的面积S=若存在,求∠F1MF2的正切值;
若不存在,请说明理由.(答:
(1)略;
(2);
(3)当时不存在;
当时存在,此时∠F1MF2=2)
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:
(1)给出直线的方向向量;
(2)给出与AB相交,等于已知过AB的中点;
(3)给出,等于已知P是MN的中点;
(4)给出,等于已知P,Q与AB的中点三点共线;
(5)给出以下情形之一:
②存在实数;
③若存在实数,等于已知A,B,C三点共线
(6)给出,等于已知P是的定比分点,为定比,即
(7)给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角。
(8)给出,等于已知MP是的平分线;
(9)在平行四边形ABCD中,给出,等于已知ABCD是菱形;
(10)在平行四边形ABCD中,给出,等于已知ABCD是矩形;
(11)在△ABC中,给出,等于已知O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);
(12)在△ABC中,给出,等于已知O是△ABC的重心(三角形的重心是三角形三条中线的交点);
(13)在△ABC中,给出,等于已知O是△ABC的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点);
(14)在△ABC中,给出等于已知通过△ABC的内心;
(15)在△ABC中,给出等于已知O是△ABC的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);
(16)在△ABC中,给出,等于已知AD是△ABC中BC边的中线
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