北师大版数学选修2-1教案Word格式文档下载.doc
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原命题:
若P,则q.则:
逆命题:
若q,则P.
否命题:
若¬P,则¬q.(说明符号“¬”的含义:
符号“¬”叫做否定符号.“¬p”表示p的否定;
即不是p;
非p)
逆否命题:
若¬q,则¬P.
6.巩固练习
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假:
(1)若一个三角形的两条边相等,则这个三角形的两个角相等;
(2)若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除;
(3)若x2=1,则x=1;
(4)若整数a是素数,则是a奇数。
7.思考、分析
结合以上练习思考:
原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关系?
通过此问,学生将发现:
①原命题为真,它的逆命题不一定为真。
②原命题为真,它的否命题不一定为真。
③原命题为真,它的逆否命题一定为真。
原命题为假时类似。
结合以上练习完成下列表格:
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
假
由表格学生可以发现:
原命题与逆否命题总是具有相同的真假性,逆命题与否命题也总是具有相同的真假性.
由此会引起我们的思考:
一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢?
让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系.
学生通过分析,将发现四种命题间的关系如下图所示:
8.总结归纳
若P,则q.
原命题
互逆
逆命题
互
否
互
为
否
逆
为
否
否命题
逆否命题
互逆
若¬P,则¬q.
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题,因此四种命题的真假性之间的关系如下:
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性,所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题.
9.例题分析
例4:
证明:
若p2+q2=2,则p+q≤2.
分析:
如果直接证明这个命题比较困难,可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将“若p2+q2=2,则p+q≤2”视为原命题,要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆否命题“若p+q>2,则p2+q2≠2”为真命题,从而达到证明原命题为真命题的目的.
证明:
若p+q>2,则
p2+q2 =[(p-q)2+(p+q)2]≥(p+q)2>×
22=2
所以p2+q2≠2.
这表明,原命题的逆否命题为真命题,从而原命题为真命题。
练习巩固:
若a2-b2+2a-4b-3≠0,则a-b≠1.
10:
教学反思
(1)逆命题、否命题与逆否命题的概念;
(2)两个命题互为逆否命题,他们有相同的真假性;
(3)两个命题为互逆命题或互否命题,他们的真假性没有关系;
(4)原命题与它的逆否命题等价;
否命题与逆命题等价.
充分条件与必要条件
1.知识与技能:
正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念;
会判断命题的充分条件、必要条件.
2.过程与方法:
通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用,培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力.
3.情感、态度与价值观:
通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育.
充分条件、必要条件的概念.
(解决办法:
对这三个概念分别先从实际问题引起概念,再详细讲述概念,最后再应用概念进行论证.)
判断命题的充分条件、必要条件
关键:
分清命题的条件和结论,看是条件能推出结论还是结论能推出条件
1.练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论,并判断是真命题还是假命题?
(1)若x>a2+b2,则x>2ab,
(2)若ab=0,则a=0.
学生容易得出结论;
命题
(1)为真命题,命题(2)为假命题.
置疑:
对于命题“若p,则q”,有时是真命题,有时是假命题.如何判断其真假的?
答:
看p能不能推出q,如果p能推出q,则原命题是真命题,否则就是假命题.
2.给出定义
命题“若p,则q”为真命题,是指由p经过推理能推出q,也就是说,如果p成立,那么q一定成立.换句话说,只要有条件p就能充分地保证结论q的成立,这时我们称条件p是q成立的充分条件.
一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作:
pÞ
q.
定义:
如果命题“若p,则q”为真命题,即pÞ
q,那么我们就说p是q的充分条件;
q是p必要条件.
上面的命题
(1)为真命题,即x>a2+b2 Þ
x>2ab,
所以“x>a2+b2 ”是“x>2ab”的充分条件,“x>2ab”是“x>a2+b2” "的必要条件.
3.例题分析:
例1:
下列“若p,则q”形式的命题中,那些命题中的p是q的充分条件?
(1)若x=1,则x2-4x+3=0;
(2)若f(x)=x,则f(x)为增函数;
(3)若x为无理数,则x2为无理数.
分析:
要判断p是否是q的充分条件,就要看p能否推出q.解略.
例2:
下列“若p,则q”形式的命题中,那些命题中的q是p的必要条件?
(1)若x=y,则x2=y2;
(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;
(3)若a>b,则ac>bc.
要判断q是否是p的必要条件,就要看p能否推出q.解略.
4.练习巩固:
5.课堂总结
充分、必要的定义.
在“若p,则q”中,若pÞ
q,则p为q的充分条件,q为p的必要条件.
注:
(1)条件是相互的;
(2)p是q的什么条件,有四种回答方式:
①p是q的充分而不必要条件;
②p是q的必要而不充分条件;
③p是q的充要条件;
④p是q的既不充分也不必要条件.
充要条件
(一)教学目标
1.知识与技能目标:
(1)正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件,必要而不充分条件,既不充分也不必要条件的定义.
(2)正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.
(3)通过学习,使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,.
2.过程与方法目标:
在观察和思考中,在解题和证明题中,培养学生思维能力的严密性品质.
3.情感、态度与价值观:
激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神.
重点:
1、正确区分充要条件2、正确运用“条件”的定义解题
正确区分充要条件.
1.思考、分析
已知p:
整数a是2的倍数;
q:
整数a是偶数.
请判断:
p是q的充分条件吗?
p是q的必要条件吗?
要判断p是否是q的充分条件,就要看p能否推出q,要判断p是否是q的必要条件,就要看q能否推出p.
易知:
q,故p是q的充分条件;
又qÞ
p,故p是q的必要条件.
此时,我们说,p是q的充分必要条件
2.类比归纳
一般地,如果既有pÞ
q,又有qÞ
p就记作
pÛ
q.
此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
概括地说,如果pÛ
q,那么p与q互为充要条件.
3.例题分析
例1:
下列各题中,哪些p是q的充要条件?
(1)p:
b=0,q:
函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数;
(2)p:
x>0,y>0,q:
xy>0;
(3)p:
a>b,q:
a+c>b+c;
(4)p:
x>5,,q:
x>10
(5)p:
a2>b2
要判断p是q的充要条件,就要看p能否推出q,并且看q能否推出p.
解:
命题(1)和(3)中,pÞ
q,且qÞ
p,即pÛ
q,故p是q的充要条件;
命题(2)中,pÞ
q,但q ¹
>
p,故p不是q的充要条件;
命题(4)中,p¹
q,但qÞ
p,故p不是q的充要条件;
命题(5)中,p¹
q,且q¹
4.类比定义
一般地,
若pÞ
p,则称p是q的充分但不必要条件;
若p¹
q,但q Þ
p,则称p是q的必要但不充分条件;
q,且q ¹
p,则称p是q的既不充分也不必要条件.
在讨论p是q的什么条件时,就是指以下四种之一:
①若pÞ
p,则p是q的充分但不必要条件;
②若qÞ
p,但p ¹
q,则p是q的必要但不充分条件;
③若pÞ
q,且qÞ
p,则p是q的充要条件;
④若p ¹
q,且q ¹
p,则p是q的既不充分也不必要条件.
5.练习巩固:
说明:
要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或p是q的必要但不充分条件、或p是q的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件.
6.例题分析
例2:
已知:
⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.求证:
d=r是直线l与⊙O相切的充要条件.
设p:
d=r,q:
直线l与⊙O相切.要证p是q的充要条件,只需要分别证明充分性(pÞ
q)和必要性(qÞ
p)即可.
证明过程略.
例3、设p是r的充分而不必要条件,q是r的充分条件,r成立,则s成立.s是q的充分条件,问
(1)s是r的什么条件?
(2)p是q的什么条件?
7.课堂总结:
充要条件的判定方法
如果“若p,则q”与“若p则q”都是真命题,那么p就是q的充要条件,否则不是.
全称量词与存在量词
(一)教学目标
1.知识与技能目标
(1)通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义,熟悉常见的全称量词和存在量词.
(2)了解含有量词的全称命题和特称命题的含义,并能用数学符号表示含有量词的命题及
判断其命题的真假性.
2.过程与方法目标使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力.
3.情感态度价值观
重点:
理解全称量词与存在量词的意义难点:
全称命题和特称命题真假的判定.
1.思考、分析
下列语句是命题吗?
假如是命题你能判断它的真假吗?
(1)2x+1是整数;
(2)x>3;
(3)如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等;
(4)平行于同一条直线的两条直线互相平行;
(5)海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书;
(6)所有有中国国籍的人都是黄种人;
(7)对所有的x∈R,x>3;
(8)对任意一个x∈Z,2x+1是整数。
1.推理、判断
(让学生自己表述)
(1)、
(2)不能判断真假,不是命题。
(3)、(4)是命题且是真命题。
(5)-(8)如果是假,我们只要举出一个反例就行。
对于(5)-(8)最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。
因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。
(5)的真假就看命题:
海师附中今年存在个别(部分)高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书;
这个命题的真假,该命题为真,所以命题(5)为假;
命题(6)是假命题.事实上,存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人.
命题(7)是假命题.事实上,存在一个(个别、某些)实数(如x=2),x<3.
(至少有一个x∈R,x≤3)
命题(8)是真命题。
事实上不存在某个x∈Z,使2x+1不是整数。
也可以说命题:
存在某个x∈Z使2x+1不是整数,是假命题.
3.发现、归纳
命题(5)-(8)跟命题(3)、(4)有些不同,它们用到“所有的”“任意一个”这样的词语,这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词,用符号“"
”表示,含有全称量词的命题,叫做全称命题。
命题(5)-(8)都是全称命题。
通常将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),……表示,变量x的取值范围用M表示。
那么全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为:
"
xÎ
M,p(x),读做“对任意x属于M,有p(x)成立”。
刚才在判断命题(5)-(8)的真假的时候,我们还得出这样一些命题:
(5),存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书;
(6),存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人.
(7),存在一个(个别、某些)实数x(如x=2),使x≤3.(至少有一个x∈R,x≤3)
(8),不存在某个x∈Z使2x+1不是整数.
这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语,这些词语都是表示整体的一部分的词叫做存在量词。
并用符号“”表示。
含有存在量词的命题叫做特称命题(或存在命题)命题(5),-(8),都是特称命题(存在命题).
特称命题:
“存在M中一个x,使p(x)成立”可以用符号简记为:
。
读做“存在一个x属于M,使p(x)成立”.
全称量词相当于日常语言中“凡”,“所有”,“一切”,“任意一个”等;
存在量词相当于日常语言中“存在一个”,“有一个”,“有些”,“至少有一个”,“至多有一个”等.
4.巩固练习
(1)下列全称命题中,真命题是:
A.所有的素数是奇数;
B.;
C.D.
(2)下列特称命题中,假命题是:
A.B.至少有一个能被2和3整除
C.存在两个相交平面垂直于同一直线D.x2是有理数.
(3)已知:
对恒成立,则a的取值范围是;
变式:
(4)求函数的值域;
对方程有解,求a的取值范围.
5.教学反思:
(1)判断下列全称命题的真假:
①末位是o的整数,可以被5整除;
②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
③负数的平方是正数;
④梯形的对角线相等。
(2)判断下列特称命题的真假:
①有些实数是无限不循环小数;
②有些三角形不是等腰三角形;
③有些菱形是正方形。
(3)探究:
①请课后探究命题(5),-(8),跟命题(5)-(8)分别有什么关系?
②请你自己写出几个全称命题,并试着写出它们的否命题.写出几个特称命题,并试着写出它们的否命题。
简单的逻辑联结词
(一)或且非
教学目标:
了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,理解复合命题的结构.
教学重点:
逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义及复合命题的构成。
教学难点:
对“或”的含义的理解;
教学手段:
多媒体
一、创设情境
前面我们学习了命题的概念、命题的构成和命题的形式等简单命题的基本框架。
本节内容,我们将学习一些简单命题的组合,并学会判断这些命题的真假。
如果不是,请你将它改为命题的形式
①11>
5②3是15的约数吗?
③0.7是整数④x>
8
二、活动尝试
①是命题,且为真;
②不是陈述句,不是命题,改为③是3是15的约数,则为真;
③是假命题
④是陈述句的形式,但不能判断正确与否。
改为x2≥0,则为真;
例如,x<
2,x-5=3,(x+y)(x-y)=0.这些语句中含有变量x或y,在没有给定这些变量的值之前,是无法确定语句真假的.这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题)。
我们不要在判断一个语句是不是命题上下功夫,因为这个工作过于复杂,只要能从正面的例子了解命题的概念就可以了。
三、师生探究
问题2:
(1)6可以被2或3整除;
(2)6是2的倍数且6是3的倍数;
(3)不是有理数;
上述三个命题前面的命题在结构上有什么区别?
比前面的命题复杂了,且
(1)和
(2)明显是由两个简单的命题组合成的新的比较复杂的命题。
命题
(1)中的“或”与集合中并集的定义:
A∪B={x|x∈A或x∈B}的“或”意义相同.
命题
(2)中的“且”与集合中交集的定义:
A∩B={x|x∈A且x∈B}的“且”意义相同.
命题(3)中的“非”显然是否定的意思,即“不是有理数”是对命题是有理数”进行否定而得出的新命题.
四、数学理论
1.逻辑连接词
命题中的“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词
2.复合命题的构成
简单命题:
不含有逻辑联结词的命题叫做简单命题
复合命题:
由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题
3.复合命题构成形式的表示
常用小写拉丁字母p、q、r、s……表示简单命题.
复合命题的构成形式是:
p或q;
p且q;
非p.
即:
p或q记作pÚ
qp且q记作pÙ
q非p(命题的否定)记作Ø
p
释义:
“p或q”是指p,q中的任何一个或两者.例如,“xA或xB”,是指x可能属于A但不属于B(这里的“但”等价于“且”),x也可能不属于A但属于B,x还可能既属于A又属于B(即xA∪B);
又如在“p真或q真”中,可能只有p真,也可能只有q真,还可能p,q都为真.
“p且q”是指p,q中的两者.例如,“xA且xB”,是指x属于A,同时x也属于B(即xAB).
“非p”是指p的否定,即不是p.例如,p是“xA”,则“非p”表示x不是集合A的元素(即x).
五、巩固运用
例1:
指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题:
(1)24既是8的倍数,也是6的倍数;
(2)李强是篮球运动员或跳高运动员;
(3)平行线不相交
(1)中的命题是p且q的形式,其中p:
24是8的倍数;
24是6的倍数.
(2)的命题是p或q的形式,其中p:
李强是篮球运动员;
李强是跳高运动员.
(3)命题是非p的形式,其中p:
平行线相交。
例2:
分别指出下列复合命题的形式
(1)8≥7
(2)2是偶数且2是质数;
(3)不是整数;
(1)是“”形式,:
,:
8=7;
(2)是“”形式,:
2是偶数,:
2是质数;
(3)是“”形式,:
是整数;
例3:
写出下列命题的非命题:
(1)p:
对任意实数x,均有x2-2x+1≥0;
(2)q:
存在一个实数x,使得x2-9=0
(3)“AB∥CD”且“AB=CD”;
(4)“△ABC是直角三角形或等腰三角形”.
(1)存在一个实数x,使得x2-2x+1<0;
(2)不存在一个实数x,使得x2-9=0;
(3)AB不平行于CD或AB≠CD;
(4)原命题是“p或q”形式的复合命题,它的否定形式是:
△ABC既不是直角三角形又不是等腰三角形.
复合命题的构成要注意:
(1)“p或q”、“p且q”的两种复合命题中的p和q可以是毫无关系的两个简单命题
(2)“非p”这种复合命题又叫命题的否定;
是对原命题的关键词进行否定;
下面给出一些关键词的否定:
正面
语词
或
等于
大于
小于
是
都是
至少一个
至多
一个
否定
且
不等于
不大于
(小于等于)
不小于
(大于等于)
不是
不都是
一个也
没有
至少
两个
六、回顾反思
本节课讨论了简单命题与复合命题的构成,以及逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。
需要注意的是否命题的关键词的否定是问题的核心。
七、课后练习
1.命题“方程x2=2的解是x=±
是()
A.简单命题 B.含“或”的复合命题
C.含“且”的复合命题 D.含
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