高考数学常考题型的总结(必修五)Word下载.doc
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思路:
(方法不唯一)利用正弦定理先求出,然后利用同角三角函数的关系可求出。
考点二余弦定理的应用
在ABC中,已知,,,求的值
余弦定理
直接利用余弦定理,即可求出的值。
考点三正、余弦定理的混合应用
设的内角所对边的长分别为。
若,则则角_____.
正余弦定理
(方法不唯一)先通过正弦定理求出三边的关系,然后再用余弦定理求角。
考点四三角形的面积问题
在中,角所对应的边分别为,若,且求的值
三角形的面积
先求出,然后由三角形面积公式即可。
考点五最值问题
在中,,则的最大值为
正弦定理和三角恒等变换
(方法不唯一)先利用正弦定理,然后利用恒等变换,转化为正弦函数,求正弦函数的值域问题。
考点六三角形形状的判断
已知中,,判断三角形的形状
等腰三角形或直角三角形
正弦定理和二倍角公式
先由正弦定理化解,然后利用二倍角公式讨论即可。
考点七三角形个数的判断
1或2
分类讨论或两种情况。
考点八基本不等式在解三角形上的应用
在中,角所对应的边分别为,若,求的面积的最大值。
三角形面积公式、余弦定理和基本不等式
先利用三角形面积公式,然后用余弦定理,最后基本不等式求最值。
设的内角所对的边长分别为,且,求的最大值。
正弦定理、正切差公式和基本不等式
先通过正弦定理,得到,然后正切差公式,最后应用基本不等式。
考点九平面向量在解三角形上的应用
在中,的面积,求
三角形面积公式和平面向量中的余弦公式
先利用三角形面积公式,然后平面向量中的余弦公式即可。
在中,边所对的角为,向量,且向量与的夹角是。
求角的大小
向量中的坐标运算和余弦公式
先利用向量的坐标运算和余弦公式转化,然后求解。
考点十数列在解三角形上的应用
设的内角所对的边长分别为,若依次成等比数列,角的取值范围.
余弦定理、等比数列和基本不等式
先用等比数列,然后余弦定理,最后用基本不等式求最值。
考点十一解三角形的实际应用
如图,都在同一个与水平面垂直的平面内,为两岛上的两座灯塔的塔顶。
测量船于水面处测得点和点的仰角分别为,,于水面处测得点和点的仰角均为,。
试探究图中间距离与另外哪两点间距离相等,然后求的距离(计算结果精确到,,)
0.33km
正弦定理和三角形的相关知识
先通过三角形的相关知识进行转化,然后利用正弦定理就可以求出长度。
考点十二解三角形的综合题型
已知分别为三个内角的对边,
(1)求
(2)若,的面积为;
求。
(1)
(2)
正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和诱导公式
(1)先通过正弦定理和诱导公式转化,转化完之后,利用三角恒等变换求出。
(2)利用角,再通过余弦定理,就可以求出的值。
数列
数列是高考的必考知识点,每年都有考题,一般考查分数为10-17分。
考查的时候,可能是选择题、填空题,或解答题,有时单独考查,有时会与不等式,函数等知识点进行综合考查。
以前考题比较难一些,现在多数比较简单,但是常用的方法还是比较经典的。
数列的递推公式,数列的求通项公式,数列的求和,等差数列和等比数列
(1)递推公式:
建立前项和和的关系。
(2)等差数列的通项公式、公式、性质、等差中项以及前项和等问题。
(3)等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及前项和等问题。
(4)数列求通项公式的几种方法。
(5)数列求和的几种方法。
(6)数列的综合问题
函数、导数、不等式,平面向量、三角函数等相关知识。
数列的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与不等式的综合。
数列的常见题型:
考点一和的关系
数列的前项和为已知,求的值,以及数列的表达式。
,
递推公式
已知项数,求具体值;
未知项数,求表达式。
考点二等差数列
1等差数列的公差和通项公式
,(等差数列的通项公式,知三求一;
如果已知,那么求的是数列的通项公式)
(等差数列通项公式的变形公式)
已知等差数列中,,求数列的公差以及数列的通项公式;
等差的公差和通项公式
利用数列的通项公式先求出公差,然后求数列的通项公式。
2等差数列的性质
(都是正整数),,(都是正整数),,是和的等差中项。
已知等差数列中,,求以及的值
等差数列的性质
等差数列的性质和等差中项可得到。
3等差数列的求和
(知三求一,如果已知,那么求的是的表达式),
(为奇数)或。
设等差数列的前项和为,若,则的值
63
等差数列的求和
(方法不唯一)通过等差数列前项和为,先求出和,然后再利用等差数列前项和,求。
4等差数列求和中的最值问题
类似于二次函数,当时,有最小值;
当时,有最大值。
设等差数列{}的前n项和为,已知,求中的最大值
49.
等差数列的和或二次函数的知识
先利用等差数列的前项和表达式,然后利用二次函数的知识求最大值。
设等差数列{}的前n项和为,已知,求中的最小值
-36
先利用等差数列的前项和表达式,然后利用二次函数的知识求最小值
5等差数列的证明
(等差数列的定义表达式)
设数列的前n项和为,,求证:
是等差数列。
首项为1,公差也为1的等差数列
对数函数的知识和等差数列
先求出,然后利用等差数列的定义表达式,证明等差数列。
6已知等差数列{}中,求数列{}前n项和。
或
解方程和等差数列的和
先利用等差数列的知识求出首项和公差,然后再求前n项和
考点三等比数列
1等比数列的公比和通项公式
(等比数列的通项公式,知三求一;
(等比数列通项公式的变形公式)
已知等比数列中,,求等比数列的公比和数列的通项公式;
等比数列的公比和通项公式
利用等比数列的通项公式即可求出。
2等比数列的性质
(都是正整数),,(都是正整数),,是和的等比中项。
设等比数列{},已知,求值
等比中项
利用等比中项即可。
216
等比数列的性质
利用等比的性质即可。
3等比数列求和
(用错位相减法推导)
设等比数列的公比,前项和为,则
15
等比数列的求和
利用等比数列的求和和通项公式即可。
4等比数列的证明
(等比数列的定义表达式)
在数列中,,,设,证明:
数列是等比数列。
数列是公比2,首项-2的等比数列
等比数列的定义
先化解,再利用等比数列的定义来证明。
5等比数列的综合
设为数列的前项和,,,其中是常数,若对于任意的,,,成等比数列,求的值。
等比数列的等比中项和递推公式
先通过递推公式化解,然后再利用等比数列的等比中项,即可求出。
考点四等差和等比数列的综合问题
已知实数列是等比数列,其中成等差数列,求数列的通项公式。
等比数列的通项公式和等差中项
先利用等比数列的知识,然后再利用等差数列的等差中项,即可求出。
等比数列中,已知,若分别为等差数列的第3项和第5项,求数列的通项公式及前项和。
等比数列的通项公式和等差的通项公式
通过等比数列的知识来转化为等差数列,即可。
考点五求数列的通项公式
1观察法、等差数列和等比数列的通项公式(上述已有)
2累加法形式为:
,利用累加法求通项,
已知数列满足,求数列的通项公式。
累加法求数列的通项公式
由得则,即可。
3累乘法形式为:
,利用累乘法求数列通项,。
由条件知,,即可。
4待定系数法
(1)(其中p,q均为常数,),把原递推公式转化为:
,其中,再转化为等比数列求通项公式。
(2)(其中均为常数,)。
(或,其中均为常数)等式两边同除以得,,若,再利用上述的方法,转化为等比数列的形式,利用等比数列通项公式;
若,将转化为等差数列的形式,再利用等差数列求通项公式。
已知数列中,,,求.
待定系数法求数列的通项公式
设递推公式可以转化为,然后利用等比数列求通项公式。
已知数列中,,,求。
(方法不唯一)根据,两边除以得:
,令,转化成上面例题的形式,然后再利用上面例题的方法求解。
5配凑法(构造法):
建立等差数列或等比数列的形式
已知数列满足求数列的通项公式;
构造成等比数列
(方法不唯一,还可以利用特征根的方法求解)构造等比数列,或利用特征根的方法,求出两根,,然后利用等比数列的知识求解。
6递推法
,解决既有又有的问题。
设数列的前项和为已知,求数列的通项公式。
利用递推公式,再利用等比数列的通项公式
先利用递推公式化解,然后等比数列求通项公式。
7不动点法、换元法,数学归纳法等求通项公式(内蒙古高考现在已经不是重要的方法了)
考点六数列求和
1公式法、等差数列和等比数列求和(略)
2裂项相消法裂项相消的常见形式:
已知数列满足求数列的求和。
利用裂项相消求数列的和
利用求和即可。
已知数列满足:
,求数列的求和
分母有理化,利用裂项相消求数列的和
进行分母有理化得,,然后裂项相消求和。
3错位相减法:
(课本上推导等比数列求和公式的方法)由等差数列和等比数列构成的新数列,用错位相减。
错位相减法求和
错位相减法求和。
设数列满足,,设,求数列的前项和。
4分组求和法(将新数列分成已学过的数列,然后求和)
设数列的前n项和为,且,求的表达式
利用等差数列和等比数列求和
根据数列的特点,等差数列和等比数列的求和公式可以得到。
5相加求和法、数学归纳法求和(内蒙古高考现在已经不是重要的方法了)
考点七数列中的不等式问题
设数列的前项和为.已知,,,若,,求的取值范围。
递推公式,构造法求的通项公式,数列的单调性。
通过递推公式,构造法求的通项公式,再利用数列的单调性求的取值范围。
考点八数列中的放缩法
已知数列,满足,证明
如下
发缩放证明数列中的不等式
由构造法求的通项公式,然后利用放缩法,转化为等比数列求和,最后证明不等式。
考点九数列中的不等式问题(最值问题,是正整数)
已知等差数列的前项和为,若,则的最小值为
-49
等差数列的求和,导数
通过等差数列的知识求出,然后再通过导数求出。
不等式
不等式是高考的重要知识点,但是它会和其他知识融合在一起考查,有时是一道小题,有时会和其他知识综合在一起以大题的形式出现,分数范围为(5-10分)。
现在线性规划,几乎每年必考,虽然不是很难,但是大家一定要掌握好,不等式小题一般不会很难,综合题重点主要是汇入其他知识点进行,对数是取值范围或值域问题。
不等关系、解不等式、不等数组的线性规划和基本不等式。
不等关系:
1.不等关系与不等式
比差法:
问题的关键是判定差的符号(正,负,零),方法通常是配方或因式分解。
2.不等式的性质
基本性质有:
(1)(对称性)
(2)(传递性)(3)
(4)时,;
时,。
运算性质有:
(1)
(2)(3)
(4)(5)(6).
3基本不等式
(同号,当且仅当时成立等号);
(同号,等号成立);
(当且仅当时成立等号)。
函数、导数、三角函数、数列等相关知识。
不等式的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与数列的综合。
不等式的常见题型:
考点一解一元二次不等式
解一元二次不等式一般与二次函数和一元二次方程结合起来研究
(讨论的情况)
两不等实根
两相等实根
无实根
(讨论的情况,只需将不等式两边同乘以-1,改变不等式方向加以研究)
1最基本的一元二次不等式(略)
2含参数的一元二次不等式(需要分类讨论)
解不等式()
当或时,解集为;
当时,解集为;
解含参数的一元二次不等式
用分类讨论法解一元二次不等式。
3高次不等式(数轴标根法,已不再是高考的重点)
4分式不等式
(1)().
(2)(剩下的同上)注意,如果已经确定,即有。
5单绝对值不等式
(1);
(2)
6双绝对值不等式
可分解为:
当时,;
当时,;
当时,。
具体解根据实际情况即可。
注意:
;
含参数的双绝对值需要先确定参数的范围再分类讨论,或根据实际情况看是哪一类问题具体确定;
含参数的双绝对值不等式恒成立问题,会涉及到最值问题,需要根据函数的单调性求取值。
已知函数,求不等式的解集。
双绝对值不等式
分类讨论解双绝对值不等式。
函数,若的解集包含,求的取值范围。
双绝对值不等式中含参数的问题
由给出的解集,可去双绝对值,然后确定的取值范围。
关于的不等式在上恒成立,则实数的最大值是
(方法不唯一)分类讨论可以解出不等式的取值范围,然后求出的最大值。
考点二不等式的证明
常用的方法:
做差法,分析法,综合法,放缩法,数学归纳法。
柯西不等式:
已知,求证
柯西不等式
由,然后构造柯西不等式。
已知,求证。
绝对值不等式,作差法
作差,讨论的正负。
若,求证
绝对值不等式,不等式的性质
通过解绝对值不等式,和不等式的性质即可。
考点三不等式组的线性规划
不等式组的线性规划的解题思路是:
所取的点是否在约束的范围内。
1最大值和最小值
设变量满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为
3,-11
不等式组的线性规划(最大值和最小值)
三条直线的交点(构成三角形区域)代入目标函数中,即一个最大值和一个最小值。
2最值范围
设满足约束条件:
则的取值范围为
不等式组的线性规划
画图,找出区域,求出的交点代入目标函数中,即一个最大值和一个最小值。
3面积问题
不等式组表示的平面区域的面积为
1
找出三角形区域,然后用三角形面积公式求面积。
4目标函数中含参数
已知满足以下约束条件,使取得最小值的最优解有无数个,则的值为
找出可行域,做目标函数的平行线,即可。
5求非线性目标函数的最值
已知x、y满足以下约束条件 ,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是
13,
找出可行域,求出三个交点的坐标代入目标函数中,即可。
6约束条件中含函数的最值范围
已知>0,满足约束条件,若的最小值是1,则=
7比值问题
已知变量满足约束条件,则的取值范围是()。
8双边约束条件
若变量满足约束条件,则的最小值是。
-6
找出可行域,是平行四边形区域,求出四个交点的坐标代入目标函数中,即可。
考点四基本不等式
1直接法
求函数的最小值
2
基本不等式
直接用基本不等式。
2构造法
已知,求函数的最大值
上述表达式可转化为,,应用基本不等式。
求的最小值
5
上式转化为:
,然后用基本不等式。
3换元法
求函数的值域。
令,则,应用基本不等式(函数的单调性)。
4“1”的活用
已知则的最小值是
可根据进行转化,然后利用基本不等式。
5的应用
若实数满足,则的最大值是
上式可转化为:
,即可。
6基本不等式的证明
设均为正数,且,证明:
利用即可。
考点五不等式的综合问题
函数的值域是
函数的值域,基本不等式
需要先对函数两边平方,然后构造基本不等式,最后用基本不等式。
不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围为
恒成立问题,解不等式
先求双绝对值的最大值,然后解实数的取值范围。
设满足约束条件若目标函数的最大值为12,则的最小值为
线性规划,基本不等式
先画可行域,然后确定最大值,最后用基本不等式求最小值。
已知函数的图像在点处的切线方程为。
(1)用表示出,;
(2)若在上恒成立,求的取值范围;
(3)证明:
导数,函数,不等式
(2)分类讨论,恒成立问题。
(3)在第二问的基础上,令,然后化解就行。
上述将必修五的知识点和常考题型简单的做了总结,题型不是很全,但重要的方法或常考的方法基本上都有了,同学们不仅要理解它,更重要的是灵活应用它。
希望同学们在学习过程中,要多总结,多练习,多思考,将常考的知识点和方法掌握相当熟练的程度,只有这样才能取得理解的成绩。
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