《点、直线、平面之间的位置关系》综合测评试题文档格式.doc
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4.(2012·
湖南高三月考)设X、Y、Z是空间不同的直线或平面,对下面四种情形,使“X⊥Z且Y⊥Z,X∥Y”为真命题的是( )
①X、Y、Z是直线 ②X、Y是直线,Z是平面 ③Z是直线,X、Y是平面 ④X、Y、Z是平面
A.①② B.①③
C.②③ D.③④
C
本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图所示知,原图下面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A、B、C都可能是该几何体的俯视图,D不可能是该几何体的俯视图,因为它的正视图上面应为如图的矩形.
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.AC B.BD
C.A1D D.A1D1
连接AC、BD.
∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴BD⊥AC,BD⊥AA1,又AA1∩AC=A,∴BD⊥面AA1CC1,而CE⊂面AA1CC1,∴BD⊥CE.
7.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AA1、AB的中点,则EF与对角面A1C1CA所成的角的度数是( )
B.45°
D.150°
过F做FM⊥AC,
∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,
∴AA1⊥面AC,∴AA1⊥FM,又AA1∩AC=A,∴FM⊥面A1ACC1,
∴∠FEM为EF与面A1C1CA所成的角,
又sin∠MEF==,∴∠FEM=30°
.
A
8.(2012·
荆州模拟)如图,PA⊥面ABCD,ABCD为正方形,下列结论不正确的是( )
A.PB⊥BC
B.PD⊥CD
C.PD⊥BD
D.PA⊥BD
∵BC⊥BA,PA⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥面PAB,∴BC⊥PB,∴A正确;
同理B正确;
∵PA⊥面ABCD,∴PA⊥BD,故D正确.
9.(2012·
浙江)已知某三棱锥的三视图(单位:
cm)如图所示,则该三棱锥的体积是( )
A.1cm3 B.2cm3
C.3cm3 D.6cm3
设三棱锥的底面是两直角边为1,2的直角三角形,高为3,∴V=×
×
1×
2×
3=1.
10.从空间一点P向二面角α-l-β的两个平面作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°
,则二面角的平面角的大小为( )
A.60°
B.120°
或120°
D.不确定
若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°
,若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°
11.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为2cm的球面上,如果正四棱柱的底面边长为2cm,那么该棱柱的表面积为( )
A.(2+4)cm2 B.(4+8)cm2
C.(8+16)cm2 D.(16+32)cm2
设正四棱柱的高为h,则2R=4=,得h=2.
∴S表=4×
(2×
2)+2×
22=8+16.
12.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
选项A正确,因为SD垂直于平面ABCD,而AC在平面ABCD中,所以AC垂直于SD;
再由ABCD为正方形,所以AC垂直于BD;
而BD与SD相交,所以AC垂直于平面SBD,进而垂直于SB.
选项B正确,因为AB∥CD,而CD在平面SCD内,AB不在平面SCD内,所以AB∥面SCD.
选项C正确,设AC与BD的交点为O,连接SO,则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO,SC与平面SBD所成的角就是∠CSO,易知这两个角相等.
选项D错误,AB与SC所成的角等于∠SCD,而DC与SA所成的角是∠SAB,这两个角不相等.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系是________.
把AC中点O与E连接,可知EO为△D1DB的中位线,EO∥BD1,EO⊂平面AEC.
BD1⊄平面AEC.
∴BD1∥平面AEC.
平行
14.已知△ABC中,∠BAC=90°
,P为平面ABC外一点,且PA=PB=PC,则平面PBC与平面ABC的位置关系是________.
∵PA=PB=PC,
∴P在△ABC所在平面上的射影必落在△ABC的外心上,
又Rt△ABC的外心为BC的中点,设为O,则PO⊥平面ABC,
又PO⊂平面PBC,
∴平面PBC⊥平面ABC.
垂直
又ABCD为正方形,∴AO⊥BD,
∴AO⊥面BDD1B,
∴VA-BDD1B1=×
3×
=6.
6
16.(2012·
淄博模拟)如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M、N分别是AD、BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,下列说法正确的是__________(填上所有正确的序号).
①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥面DEC;
②不论D折至何位置都有MN⊥AE;
③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.
折叠后的图形如图所示,取DE中点P,EC的中点Q,连接PM,PQ,QN,则PM綊AE,
NQ綊BC.
∵ABCE为矩形,
∴EA綊BC,
∴PM綊NQ,∴四边形PMNQ为平行四边形,∴MN∥PQ,∴MN∥面DEC,故①正确;
又AE⊥ED,AE⊥EC,DE∩CE=E,∴AE⊥面DEC,
∴AE⊥PQ,∴AE⊥MN,故②正确;
③显然不正确.
①②
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点,求证:
P,Q,R三点共线.
证明:
∵A,B,C是不在同一直线上的三点,∴由A,B,C可确定一个平面β,又∵AB∩α=P,且AB⊂β,
∴点P既在β内又在α内,设α∩β=l,则P∈l.
同理:
AC的延长线交α于R,CB的延长线交α于Q,可证得R∈l,Q∈l,∴P、Q、R三点共线.
18.(12分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S为B1D1的中点,E、F、G分别为BC,DC和SC的中点,
(1)求证:
EG∥面BDD1B1;
(2)求证:
面EFG∥面BDD1B1.
(1)连接BS,∵E、G分别为BC,SC的中点,∴EG∥BS,又EG⊄面BDD1B1,BS⊂面BDD1B1,∴EG∥面BDD1B1.
(2)由
(1)知EG∥面BDD1B1,又E、F分别为BC、DC的中点,∴EF∥BD.
又EF⊄面BDD1B1,BD⊂面BDD1B1,∴EF∥面BDD1B1,
又EF∩EG=E,∴面EFG∥面BDD1B1.
19.(12分)如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=AD,E是AD的中点,沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置,使A′C=A′D,求证:
平面A′BE⊥平面BCDE.
如图所示,取CD的中点M,BE的中点N,
连接A′M,A′N,MN,则MN∥BC.
∵AB=AD,E是AD的中点,
∴AB=AE,即A′B=A′E.∴A′N⊥BE.
∵A′C=A′D,∴A′M⊥CD.
在四边形BCDE中,CD⊥MN.
又MN∩A′M=M,∴CD⊥平面A′MN,∴CD⊥A′N.
∵DE∥BC且DE=BC,∴BE必与CD相交.
又A′N⊥BE,A′N⊥CD,∴A′N⊥平面BCDE.
又A′N⊂平面A′BE,∴平面A′BE⊥平面BCDE.
20.(12分)(2012·
陕西模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°
,N是PB的中点,截面DAN交PC于M.
(1)求PB与平面ABCD所成角的大小;
PB⊥平面ADMN.
解:
(1)取AD中点O,连接PO、BO、BD.
∵△PAD是正三角形,∴PO⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD,
∴PO⊥平面ABCD,
∴BO为PB在平面ABCD上的射影,
∴∠PBO为PB与平面ABCD所成的角.
由已知△ABD为等边三角形,∴PO=BO=,
∴PB与平面ABCD所成的角为45°
(2)证明:
∵△ABD是正三角形,∴AD⊥BO,∴AD⊥PB,
又PA=AB=2,N为PB中点,
∴AN⊥PB,∴BP⊥平面ADMN.
21.(12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°
,E,F分别是AP,AD的中点.
求证:
(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
如图所示:
(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,
AD的中点,所以EF∥PD.
又因为EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°
,所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.
又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
22.(12分)(2012·
河北保定十二校联考)如图,四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,AB∥CD,AB⊥AD,△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形,DC=4,O为BD的中点,E为PA的中点.
PO⊥平面ABCD;
OE∥平面PDC;
(3)求二面角P-AB-D的平面角余弦值.
(1)证明:
设F为DC的中点,连接BF,则DF=AB.
∵AB⊥AD,AB=AD,AB∥DC,∴四边形ABFD为正方形.
∵O为BD的中点,∴O为AF、BD的交点,
∵PD=PB=2,∴PO⊥BD,
∵BD==2,
∴PO==,AO=BD=,
在三角形PAO中,PO2+AO2=PA2=4,∴PO⊥AO,
∵AO∩BD=O,∴PO⊥平面ABCD.
连接PF.
∵O为AF中点,E为PA中点,∴OE∥PF.
∵OE⊄平面PDC,PF⊂平面PDC,∴OE∥平面PDC.
(3)取AB的中点M,连PM,又O为BD的中点,∴OM∥AD,
又AB⊥AD,∴OM⊥AB,且OM=AD=1,
又△PAB为等边三角形,∴PM=2sin60°
=,
PM⊥AB,
∴∠PMO为二面角P-AB-D的平面角.
在Rt△POM中,cos∠POM===.
∴二面角P-AB-D的平面角的余弦值为.
附件1:
律师事务所反盗版维权声明
附件2:
独家资源交换签约学校名录(放大查看)
学校名录参见:
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X&
K]
、
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- 点、直线、平面之间的位置关系 直线 平面 之间 位置 关系 综合 测评 试题