范文桥总结圆锥曲线的解题全面方法Word格式文档下载.doc
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有时候题目的条件比较隐蔽,要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题,比如:
弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形(即D在AB的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。
例题分析1:
已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于
设直线的方程为,由,进而可求出的中点,又由在直线上可求出,∴,由弦长公式可求出.
例题2、已知椭圆C:
的离心率为,且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
(I)求椭圆的方程;
(II)若直线与x轴交于点T,点P为直线上异于点T的任一点,直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点?
并证明你的结论
(I)由已知椭圆C的离心率,,则得。
从而椭圆的方程为
(II)设,,直线的斜率为,则直线的方程为,由消y整理得是方程的两个根,则,,即点M的坐标为,
同理,设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为
,直线MN的方程为:
,
令y=0,得,将点M、N的坐标代入,化简后得:
又,椭圆的焦点为,即
故当时,MN过椭圆的焦点。
例题4、已知点A、B、C是椭圆E:
上的三点,其中点A是椭圆的右顶点,直线BC过椭圆的中心O,且,,如图。
(I)求点C的坐标及椭圆E的方程;
(II)若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线PC与直线QC关于直线对称,求直线PQ的斜率。
(I),且BC过椭圆的中心O
又点C的坐标为。
A是椭圆的右顶点,,则椭圆方程为:
将点C代入方程,得,椭圆E的方程为
(II)直线PC与直线QC关于直线对称,
设直线PC的斜率为,则直线QC的斜率为,从而直线PC的方程为:
,即,由消y,整理得:
是方程的一个根,
即同理可得:
==
=
则直线PQ的斜率为定值。
共线向量问题
1:
如图所示,已知圆为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足的轨迹为曲线E.I)求曲线E的方程;
II)若过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间),且满足,求的取值范围.
(1)∴NP为AM的垂直平分线,∴|NA|=|NM|
又∴动点N的轨迹是以点
C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为
焦距2c=2.∴曲线E的方程为
(2)当直线GH斜率存在时,设直线GH方程为
得设
又当直线GH斜率不存在,方程为
2:
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过椭圆C的右焦点作直线交椭圆C于、两点,交轴于点,若,,求证:
.
设椭圆C的方程为(>>)抛物线方程化为,其焦点为,
则椭圆C的一个顶点为,即由,∴,椭圆C的方程为
(2)证明:
右焦点,设,显然直线的斜率存在,设直线的方程为,代入方程并整理,得∴,又,,,,
而,,即,
∴,,所以
3、已知△OFQ的面积S=2,且。
设以O为中心,F为焦点的双曲线经过Q,,当取得最小值时,求此双曲线方程。
设双曲线方程为,Q(x0,y0)。
,S△OFQ=,∴。
=c(x0-c)=。
当且仅当,
所以。
类型1——求待定字母的值
例1设双曲线C:
与直线L:
x+y=1相交于两个不同的点A、B,直线L与y轴交于点P,且PA=,求的值
思路:
设A、B两点的坐标,将向量表达式转化为坐标表达式,再利用韦达定理,通过解方程组求a的值。
解:
设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1)
∵PA=∴x1=.
联立消去y并整理得,(1-a2)x2+2a2x-2a2=0 (*)
∵A、B是不同的两点,∴
∴0<
a<
且a1.于是x1+x2=且x1x2=,
即,消去x2得,=,
∴a=,∵0<
且a1,∴a=。
类型2——求动点的轨迹
例2如图2,动直线与y轴交于点A,与抛物交于不同的两点B和C,且满足BP=λPC,AB=λAC,其中。
求ΔPOA的重心Q的轨迹。
将向量表达式转化为坐标表达式,消去参数λ获得重心Q的轨迹方程,再运用判别式确定实数k的取值范围,从而确定轨迹的形状。
A
B
C
O
P
x
y
由得,k2x2+(2k-1)x+4=0.
由
设P(x’,y’),B(x1,y1),C(x2,y2),(图2)
则x1+x2=,x1.x2=.
由=
=
由=。
消去k得,x’-2y’-6=0(*)
设重心Q(x,y),则,代入(*)式得,3x-6y-4=0。
因为
故点Q的轨迹方程是3x-6y-4=0(),其轨迹是直线3x-6y-4=0上且不包括点的线段AB。
类型3——证明定值问题
例3已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线。
设M为椭圆上任意一点,且,其中证明:
为定值。
设A、B、M三点的坐标,将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系,再利用方程组、韦达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。
设椭圆方程为则直线AB的方程为
代入椭圆方程中,化简得,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
由与共线,得,
又
而于是。
因此椭圆方程为
设M(x,y),由得,,
因M为椭圆上一点,所以
即①
又,
则
而
代入①得,=1,为定值。
类型4——探索点、线的存在性
例4在△ABC中,已知B(-2,0),C(2,0),AD⊥BC于D,△ABC的垂心H分有向线段AD设P(-1,0),Q(1,0),那么是否存在点H,使成等差数列,为什么?
先将AC⊥BH转化为代数关系,由此获得动点H的轨迹方程;
再将向量的长度关系转化为代数(坐标)关系,通过解代数方程组获解。
设H(x,y),由分点坐标公式知
∵H为垂心∴AC⊥BH,∴,
整理得,动点H的轨迹方程为。
,,。
假设成等差数列,则
即①
∵H在椭圆上a=2,b=,c=1,P、Q是焦点,
∴,即∴②
由①得,③
联立②、③可得,,
∴显然满足H点的轨迹方程,
故存在点H(0,±
),使成等差数列。
类型5——求相关量的取值范围
例5给定抛物线C:
,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点,且,求l在轴上截距的变化范围。
设A、B两点的坐标,将向量间的共线关系转化为坐标关系,再求出l在轴上的截距,利用函数的单调性求其变化范围。
设A(x1,y1),B(x2,y2),由得,,即
由②得,
③。
联立①、③得,。
而当直线l垂直于轴时,不符合题意。
因此直线l的方程为或
直线l在轴上的截距为或由知,在上递减的,所以
于是直线l在轴上截距的变化范围是
存在、向量例6、双曲线,若上存在一点。
方程为,
即。
由,消去y得
定值问题例7:
是抛物线上的两点,满足(为坐标原点),求证:
(1)两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值;
(2)直线经过一定点。
分析:
(1)设,则
又由
(2)
直线的方程为
,故直线过定点。
例题1、已知椭圆C:
(a>b>0)的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值。
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为。
(Ⅱ)设,。
(1)当轴时,。
(2)当与轴不垂直时,
设直线的方程为。
由已知,得。
把代入椭圆方程,整理得,
,。
当且仅当,即时等号成立。
当时,,
综上所述。
当最大时,面积取最大值。
2、已知椭圆C:
=1(a>b>0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求△AOB面积的最大值.
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为.
(Ⅱ)设,.
(1)当轴时,.
(2)当与轴不垂直时,
设直线的方程为.由已知,得.
,.
.
当且仅当,即时等号成立.当时,,综上所述.
当最大时,面积取最大值.
3、已知椭圆的左、右焦点分别为,.过的直线交椭圆于两点,过的直线交椭圆于两点,且,垂足为.(Ⅰ)设点的坐标为,证明:
;
(Ⅱ)求四边形的面积的最小值.
(Ⅰ)椭圆的半焦距,由知点在以线段为直径的圆上,故,
所以,.(Ⅱ)(ⅰ)当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得.设,,则
,;
因为与相交于点,且的斜率为,所以,.
四边形的面积.
当时,上式取等号.(ⅱ)当的斜率或斜率不存在时,四边形的面积.
综上,四边形的面积的最小值为.
1、已知△的面积为,
(1)设,求正切值的取值范围;
(2)设以O为中心,F为焦点的双曲线经过点Q(如图),当取得最小值时,求此双曲线的方程。
解析:
(1)设
(2)设所求的双曲线方程为
∴,∴
又∵,∴
当且仅当时,最小,此时的坐标是或
,所求方程为
2、已知椭圆两焦点分别为F1、F2,P是椭圆在第一象限弧上一点,并满足,过P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.(Ⅰ)求P点坐标;
(Ⅱ)求证直线AB的斜率为定值;
(Ⅲ)求△PAB面积的最大值.
(Ⅰ)由题可得,,设则,,∴,∵点在曲线上,则,∴,从而,得.则点P的坐标为.
(Ⅱ)由题意知,两直线PA、PB的斜率必存在,设PB的斜率为,则BP的直线方程为:
.由得,设,则,同理可得,则,.所以:
AB的斜率为定值.
(Ⅲ)设AB的直线方程:
.由,得,
由,得P到AB的距离为,
则。
当且仅当取等号∴三角形PAB面积的最大值为。
3、已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点。
(I)求过点O、F,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;
(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与轴交于点G,求点G横坐标的取值范围。
(I) 圆过点O、F, 圆心M在直线上。
设则圆半径 由得解得所求圆的方程为
(II)设直线AB的方程为代入整理得
直线AB过椭圆的左焦点F,方程有两个不等实根。
记中点 则
的垂直平分线NG的方程为
令得点G横坐标的取值范围为
4、已知点的坐标分别是,,直线相交于点M,且它们的斜率之积为.
(1)求点M轨迹的方程;
(2)若过点的直线与
(1)中的轨迹交于不同的两点、(在、之间),试求与面积之比的取值范围(为坐标原点).
(1)设点的坐标为,∵,∴.整理,得(),
(2)如图,由题意知直线的斜率存在,设的方程为将①代入,
整理,得,由,解得.
设,,则令,且.
.∵且,,
解得且.,且.
故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是.
5、已知椭圆:
的右顶点为,过的焦点且垂直长轴的弦长为.
(I)求椭圆的方程;
(II)设点在抛物线:
上,在点处的切线与交于点.当线段的中点与的中点的横坐标相等时,求的最小值.
(I)由题意得所求的椭圆方程为,
(II)不妨设则抛物线在点P处的切线斜率为,直线MN的方程为,将上式代入椭圆的方程中,得,即,因为直线MN与椭圆有两个不同的交点,所以有,
设线段MN的中点的横坐标是,则,设线段PA的中点的横坐标是,则,由题意得,即有,其中的或;
当时有,因此不等式不成立;
因此,当时代入方程得,将代入不等式成立,因此的最小值为1.
题型八:
例题1、设椭圆过点,且着焦点为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:
点总在某定直线上
解
(1)由题意:
,解得,所求椭圆方程为
(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为。
由题设知均不为零,记,则且
又A,P,B,Q四点共线,从而
于是,
,
从而
,
(1),
(2)
又点A、B在椭圆C上,即
(1)+
(2)×
2并结合(3),(4)得
即点总在定直线上
方法二
设点,由题设,均不为零。
且
又四点共线,可设,于是
(1)
(2)
由于在椭圆C上,将
(1),
(2)分别代入C的方程整理得
(3)
(4)
(4)-(3) 得
2、已知曲线上任意一点到两个定点和的距离之和为4.
(1)求曲线的方程;
(2)设过的直线与曲线交于、两点,且(为坐标原点),求直线的方程.
(1)根据椭圆的定义,可知动点的轨迹为椭圆,其中,,则.
所以动点M的轨迹方程为.
(2)当直线的斜率不存在时,不满足题意.当直线的斜率存在时,设直线的方程为,设,,∵,∴.∵,,∴①∴.由方程组得.则,,代入①,得.即,解得,或.
所以,直线的方程是或.
3、设、分别是椭圆的左、右焦点。
(Ⅰ)若是该椭圆上的一个动点,求·
的最大值和最小值;
(Ⅱ)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且∠为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围。
(Ⅰ)解法一:
易知所以,设,则
因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值
当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值
解法二:
易知,所以,设,则
(以下同解法一)
(Ⅱ)显然直线不满足题设条件,可设直线,
联立,消去,整理得:
∴
由得:
或
又∴
∵,即∴
故由①、②得或
题型九:
轨迹问题
轨迹法:
1.直接法:
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,不需要特殊的技巧,易于表述成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法;
例1、已知直角坐标系中,点Q(2,0),圆C的方程为,动点M到圆C的切线长与的比等于常数,求动点M的轨迹。
【解析】设MN切圆C于N,则。
设,则
化简得
(1)当时,方程为,表示一条直线。
(2)当时,方程化为表示一个圆。
◎◎如图,圆与圆的半径都是1,.过动点分别作圆、圆的切线(分别为切点),使得.试建立适当的坐标系,并求动点的轨迹方程.
【解析】以的中点为原点,所在直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则
,.
由已知,得.
因为两圆半径均为1,所以
设,则
即.(或)
评析:
1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。
2、求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
2.定义法:
运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。
例2、已知动圆过定点,且与直线相切,其中.
求动圆圆心的轨迹的方程;
【解析】如图,设为动圆圆心,为记为,过点作直线的垂线,垂足为,由题意知:
即动点到定点与定直线的距离相等,由抛物线的定义知,点的轨迹为抛物线,其中为焦点,为准线,所以轨迹方程为;
◎◎已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上任一点,AM的垂直平分线交OM于点P,求点P的方程。
【解析】由中垂线知,故,即P点的轨迹为以A、O为焦点的椭圆,中心为(-3,0),
故P点的方程为
◎◎已知A、B、C是直线l上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线l于点A,又过B、C作⊙O′异于l的两切线,设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程.
【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点,两切线交于点P.由切线的性质知:
|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18>6=|BC|,故由椭圆定义知,
点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆,
以l所在的直线为x轴,以BC的中点为原点,建立坐标系,
可求得动点P的轨迹方程为:
l
'
E
D
定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。
三、相关点法:
动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x’,y’)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x’,y’表示为x,y的式子,再代入Q的轨迹方程,然而整理得P的轨迹方程,代入法也称相关点法。
几何法:
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满足的条件,然而得出动点的轨迹方程。
例3、如图,从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线,垂足为N。
求线段QN的中点P的轨迹方程。
【解析】设动点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x1,y1)
则N(2x-x1,2y-y1)代入x+y=2,得2x-x1+2y-y1=2①
又PQ垂直于直线x+y=2,故,即x-y+y1-x1=0②
由①②解方程组得,代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0
◎◎已知椭圆的左、右焦点分别是F1(-c,0)、F2(c,0),Q是椭圆外的动点,满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点,点T在线段F2Q上,并且满足
求点T的轨迹C的方程;
【解析】
解法一:
(相关点法)
设点T的坐标为当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.
当|时,由,得.
又,所以T为线段F2Q的中点.
设点Q的坐标为(),则
因此①
由得②
将①代入②,可得
综上所述,点T的轨迹C的方程是
(几何法)
设点T的坐标为
当时,点(,0)和点(-,0)在轨迹上.
又,所以T为线段F2Q的中点.
在△QF1F2中,,所以有
一般地:
定比分点问题,对称问题或能转化为这两类的轨迹问题,都可用相关点法。
四、参数法:
求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x,y之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程。
例4、在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图4所示).求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;
以OA的斜率k为参数由解得A(k,k2)
∵OA⊥OB,∴OB:
由解得B
设△AOB的重心G(x,y),则
消去参数k得重心G的轨迹方程为
设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则…
(1)
∵OA⊥OB∴,即,……
(2)
又点A,B在抛物线上,有,代入
(2)化简得
所以重心为G的轨迹方程为。
◎◎如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.
【解析】设切点A、B坐标分别为,
∴切线AP的方程为:
切线BP的方程为:
解得P点的坐标为:
所以△APB的重心G的坐标为,
所以,由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:
五、交轨法:
求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法,也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程。
可以说是参数法的一种变种。
例5、抛物线的顶点作互相垂直的两弦OA、OB,求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。
解1(交轨法):
点A、B在抛物线上,设A(,B(所以kOA=kOB=,由OA垂直OB得kOAkOB=-1,得yAyB=-16p2,又AB方程可求得,即(yA+yB)y--4px--yAyB=0,把yAyB=-16p2代入得AB方程(yA+yB)y--4px+16p2=0①又OM的方程为②
由①②消去得yA+yB即得,即得。
所以点M的轨迹方程为,其轨迹是以为圆心,半径为的圆,除去点(0,0)。
用交轨法求交点的轨迹方程时,不一定非要求出交点坐标,只要能消去参数,得到交点的两个坐标间的关系即可。
交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。
解2(几何法):
由解1中AB方程(yA+yB)y--4px+16p2=0可得AB过定点(4p,0)而OM垂直AB,所以由圆的几法性质可知:
M点的轨迹是以为圆心,半径为的圆。
所以方程为,除去点(0,0)。
1、已知定点F(1,0),动点P在y轴上运动,过点P作PM交x轴于点
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