新课程理念下的数学学业考试.docx
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新课程理念下的数学学业考试
新课程理念下的数学学业考试
数学学业考试重心的变化——基于《标准》的评价理念,更为关注学生通过新课程理念下的数学学习活动所获得的全面发展。
数学学业考试所突出的评价内容:
知识与技能;数学思考;解决问题。
相应变化如下:
知识与技能——核心内容;数学活动过程;
数学思考——基本的数学观念;数学思维能力;
解决问题——提出问题;解决数学问题;应用数学解决其他问题;
反思意识和初步的反思能力;
个性特征——给具有不同思维特征的学生以充分表达自我的机会。
一、知识与技能————核心内容,数学活动过程;
1.核心内容是指基础而重要的内容。
例下列各图中,每个正方形网格都是由四个边长为1的小正方形组成,其中阴影部分面积为
的是
该题考查学生对正方形基本特征的把握,对图形进行分解、组合的基本技能,学生在解决问题过程中既可以利用计算求解,还可以利用图形的特征求解。
例用尺规作图的方式画一个正好有两条对称轴的六边形。
写出作图过程、解释答案的正确性。
本题的着眼点落实在对具体作图过程的数学分析,所讨论的对象又是较为重要的数学关系,且对说理方式与程度的要求恰当;学生在解题过程中也需要在对相应数学关系(对称等)做必要的考察基础之上,做适当的“数学化”活动。
但该题的难度较大。
例已知方程x3+2x-15=0恰有一个正根,请利用计算器估计该根的大小(要求误差小于0.05),并写出你的估算过程。
例观察生活中某些现象,编制一个需要二元一次方程组解决的问题。
例在NBA常规赛中,我国著名篮球运动员姚明在一次比赛中22投14中得22分.若他投中了2个三分球,则他还投中了几个两分球和几个罚球(罚球投中一次记1分)?
在解决实际问题的过程中考查学生解方程的基本技能。
例有这样一道题:
“计算:
的值,其中,x=2004.”甲同学把“x=2004.”错抄成“x=2040.”,但他的计算结果也是正确的.你说这是怎么回事?
考查相关运算技能和运算意义的理解。
辨析、说理等基本能力。
例如图是某抛物线
的部分图象,由图象可知一元二次方程
的两个解分别是___和_____。
考查理解抛物线图象的轴对称性、建立函数与方程的实质性联系能力的达成情况。
例某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形一定为正多边形”这个命题是否成立时,进行了一些讨论。
甲同学在讨论中提到了圆内接矩形;乙同学找来了这样一个几何事实:
(图一),△ABC是正三角形,
=
=
,可以证明六边形ADBECF的各内角相等。
丙同学认为当边数是5时这个命题是成立的,于是他猜想边数是7时这个命题仍然成立。
(1)你认为各内角都相等的圆内接多边形一定是正多边形吗?
简要叙述你的理由。
(2)请你证明,各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG(图二)是正七边形。
(3)根据以上探索过程,提出你的猜想(不必证明).
图一图二
考查内容:
理解反例的作用,能否借助恰当的反例证明一个命
题是错误的;能否用简单的逻辑推理证明一个命题是正确的,初步的合情推理能力。
例在一个正三角形的每个顶点上各有一只蚂蚁,每只蚂蚁开始沿三角形各边朝其它顶点做直线运动,假设目标顶点是随机选择的且每只蚂蚁行进速度相同,为了研究蚂蚁在一次运动过程中互不相撞的概率,请你设计一种便于动手操作的等效实验进行模拟。
考查内容:
理解随机事件发生的条件,理解不同的概率事件背景中所存在的相同概率模型,并能够自主设计满足条件的概率模型。
例不通过计算,比较下图中甲、乙两组数据的标准差。
2.数学活动过程
考查什么——数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平,对活动对象、相关知识与方法的理解深度;从事探究、证明等活动的意识、能力和信心等。
能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想,并寻求证明猜想的合理性;能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程。
怎么考——设计一个“做数学”的活动:
或者是猜测与证明一
个数学规律,或者是设计一个解释现象(问题)特征的数学模型,或者是寻找一个解决问题的途径、方案;设计一些多层次的问题,在问题的解答过程中暴露学生的思维活动过程,从而进行有关过程性目标的考查。
例如图,正方形表示一张纸片,根据要求,需通过多次分割,把它分割成若干个直角三角形,操作过程如下:
第一次分割,将正方形纸片分成4个全等的直角三角形;第二次分割将上次得到的直角三角形中的一个再分成4个全等的直角三角形;以后按第二次分割的做法进行下去。
(1)请你设计出两种符合题意的分割方案。
(要求在图
(1)、
(2)中分别画出每种方案的第一次和第二次的分割线,只要有一条分割线段不同,就视为一种不同方案,图(3)供操作、实验用);
(2)设正方形的边长为a,请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小直角三角形的面积(S)填入下表:
分割次数(n)
1
2
3
……
最小直角三角形的面积(S)
……
(3)在条件
(2)下,请你猜想分割所得的最小直角三角形面积S与分割次数n有什么关系?
并用数学表达式表示出来。
本题以“循环分割”的操作活动为背景,在问题的设置上由直观画图开始,层层深入,每一步都为下面的思维活动打下基础,学生完成题目解答经历了动手操作、观察、思考、归纳、猜想的过程,在一定程度上体现了对过程性目标的考查。
二、数学思考——基本的数学观念,数学思维能力;
1.统计观念
例据国家统计局数据分析表明:
2004年底我国大陆人口达到129988万,平均每天净增人口约2.08万。
(1)你能据此预测我国大陆哪一天达到13亿人口吗?
说说你是如何估计的。
(2)据报道,1月6日0时02分,北京妇产医院出生了一名男婴,有关部门向其颁发我国大陆第13亿个公民证书。
你如何看待这件事情,你能从统计的角度提出几个问题吗?
2.对称观念数学理解能力
例
(1)用一条直线可以将一个正方形分成两个全等的部分,如下图。
将正方形分成两个全等的图形的直线还有很多,试在图上另做出两条以上这样的直线。
(2)将圆分成两个全等的图形的直线有多少条,试在图上做出几条这样的直线。
(3)将长方形分成两个全等图形的直线又有多少条呢?
在这些直线有什么共同的特征呢?
对于平行四边形是否有类似的特征呢,对于等腰三角形、等腰梯形呢?
(4)在上面的图形中,有一些图形具有无数条直线可以将其分成两个全等的部分,请在方格纸上再设计出一个具有这样性质的图形。
三、解决问题——提出问题;解决数学问题;应用数学解决其他
问题;反思意识和初步的反思能力
例在某旅游景区上山的一条小路上,有一些断断续续的台阶.图11是其中的甲、乙段台阶路的示意图.请你用所学过的有关统计知识(平均数、中位数、方差和极差)回答下列问题:
(1)两段台阶路有哪些相同点和不同点?
(2)哪段台阶路走起来更舒服?
为什么?
(3)为方便游客行走,需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路,在台阶数不变的情况下,请你提出合理的整修建议.
试题的背景具有很强的现实性;设问自然,有层次感。
例如图,已知⊿ABC、⊿DCE、⊿FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC、CE、EG在同一直线上,且AB=√3,BC=1,连接BF,分别交AC、DC、DE于点P、Q、R。
观察图形,请你提出一个与点P相关的问题,并进行解答(根据提出问题的层次和解答过程评分)。
考查内容:
在并不复杂的数学背景中尝试提出新的问题。
例过正方形ABCD中某点O作直线m交AD和BC于H、F,过点O作HF的垂线n交AB、CD于E、G
(1)观察、猜想EG与FH之间的大小关系,并证明你的结论。
(2)当点O沿HF向F移动时,由题意确定的相应直线n也在变化,当直线n与线段AB没有交点时,你能得到与
(1)类似的结论吗?
证明这个结论并说说类似的理由。
考查内容:
通过反思为什么能得到这样的结论来把握导致该结论成立的核心条件,从而形成有效迁移,解决其它相关问题。
四、个性化评价
“承认差异、尊重个性、给每一位学生以充分的发展空间”是“课程标准”提倡的一个基本理念,评价过程中应当给学生以更多的自主性,让不同类型、不同水平的学生尽可能地展现自己的数学才能。
具体的操作方式主要有以下三种:
●设置自主选择试题——在试卷上设立可以选做的试题,让学生根据自己的数学学习状况、认知特征,选择恰当的试题做答,以充分表现自己数学学习才能;
●提供开放性试题——在试卷上设立开放性试题,力图使得每一个学生都能够根据自己的思考角度、对试题背景的理解程度,提出一个问题、给出一个结论(猜想)、或提供一种结论之所以成立的解释(证明),等等;
●制订个性化评分标准——对于某些具有个性化的试题求解过程,例如提出问题、给出开放性试题的答案等,制订一个开放的、不同类型、不同层次的评分标准,使得所有对试题提供了实质性解答的学生都能够获得相应的分数,而不是简单地将学生的解答套入事先预定的“标准解答”体系之中。
例(本题有3小题,第
(1)小题为必答题,满分5分;第
(2)、(3)小题为选答题,其中第
(2)小题满分3分,第(3)小题满分6分,请从中任选1小题作答,如两题都答,以第
(2)小题评分.)
在△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系,并加以证明.
注意:
第
(2)、(3)小题你选答的是第小题.
本题通过直线的MN的旋转构造问题,蕴含了对观察、动手操作、猜测、合理推断、合理推理论证等数学活动的考查。
而试题的3个小题表现出对试题的求解要求层次分明——其区别的实质在于对问题情境中“明确待证命题”和“确定证明思路”的要求不同。
同时,将第①题作为必答题,第②、③题作为选答题,既明确了基本要求,又使得学习水平层次不同的学生在考试中都有发挥的机会和余地,从而通过对不同层次的学生采用不同的试题,体现尊重学生的数学学习水平差异,表现出评价的公平性。
在操作层面体现了“让不同的人学不同的数学”这一基本教学理念。
例从下面两题中任选一题进行解答,其中第
(2)题赋分高于第
(1)题。
(1)先在左面的一块方格纸上画一个轴对称图形作为基础图形,再将基础图形去掉或添上一部分,使新图形仍为轴对称图形,画在右面的方格纸上;
(2)先在左面的一块方格纸上画一个轴对称图形作为基础图形,再将基础图形的一部分平移或旋转到剩余图形的某一位置组成新的图形,使新图形仍为轴对称图形,画在右面的方格纸上。
基础图形变换图形
本题有较大的开放性与趣味性,同时给不同层次的解答赋予不同的分数,这种设计既有效考查了学生对轴对称概念的理解水平、平移与旋转的有关知识,又达到了发展几何直觉的目的,体现了“动手实践,自主探索”的学习理念与让不同学生得到不同发展表现的评价理念。
同时,在命题形式上突破了判断某一图形是否为对称图形的常规设计思路,活泼而又新鲜。
五、对评价重心的认识
1.评价应当与教学保持一致
实验区与非实验区考生答题情况对比分析
题号
1
4
5
6
10
11
13
14
平均分(实验区)
1.586
1.525
1.484
1.831
0.599
2.532
0.449
1.939
平均分(非实验区)
1.607
1.613
1.553
1.852
0.816
2.585
0.274
1.849
-
-
-
-
+
-
+
+
题号
17
18
19
20
21(难度)
22
23
26
平均分(实验区)
2.580
1.844
6.627
5.618
0.694
6.994
5.105
5.261
平均分(非实验区)
2.283
1.708
6.733
5.670
0.726
6.538
6.308
4.833
+
+
-
-
-
+
-
+
从上表统计结果看,非实验区学生答得较好的题为:
1.计算:
=。
4.南宁国际会展中心是即将举办的中国——东盟博览会的会址,其总建筑面积为112100平方米,用科学记数法表示为
平方米。
(保留三个有效数字)
5.当x时,分式
有意义。
6.如图2,D、E分别是⊙O的半径OA、OB上的点,CD⊥OA、
CE⊥OB、CD=CE,则AC与CB弧长的大小关系是:
11.当a=-1时,代数式
的值等于()。
(A)-4(B)4(C)-2(D)2
19.计算:
20.化简:
21.如图6,下面四个条件中,请你以其中两个为已知条件,第三个为结论,推出一个正确的命题(只需写出一种情况)。
①AE=AD,②AB=AC,③OB=OC,④∠B=∠C
已知:
求证:
证明:
23.如图8,已知⊙O半径为8cm,点A为半径OB
延长线上一点,射线AC切⊙O于点C,BC的长为
cm,求线段AB的长。
(精确到0.01cm)
实验区学生答得较好的题:
10.如图4,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到
达A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向
走9米到达A3点,再向正南方向走12米到达A4点,再
向正东方向走15米到达A5点,按如此规律走下去,当
机器人走到A6点时,离O点的距离是米。
13.中央电视台“开心词典”拦目曾有这么一道题:
圆的半径增加了一倍,那么圆的面积增加了()。
(A)1倍(B)2倍(C)3倍(D)4倍
14.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm,把它们叠放在一起组成一个新的长方体,在这些新长方体中,表面积最大是()。
(A)188cm(B)176cm(C)164cm(D)158cm
17.如图5,L1反映了某公司的销售收入与销售量的关系,L2反映了该公司的销售成本和销售量的关系,当该公司赢利(收入大于成本)时,销售量()。
(A)小于3吨(B)大于3吨
(C)小于4吨(D)大于4吨
18.期中考试后,学习小组长算出全组5位同学数学成绩的平均分为M,如果把M当成另一个同学的分数,与原来的5个分数一起,算出这6个分数的平均值为N,那么M∶N为()。
(A)
(B)1(C)
(D)2
22.(本题满分10分)以下资料来源于2003年《南宁统计年鉴》
表示南宁市农民人均纯收入(元),
表示南宁市城市居民人均可支配收入(元)
(1)分别指出南宁市农民人均纯收入和城市居民人均可支配收入,相对于上一年哪年增长最快?
(2)据统计,2000~2002年南宁市农民人均纯收入的平均增长率为7.5%,城市居民人均可支配收入的平均增长率为8.7%,假设年平均增长率不变,请你分别预计2004年南宁市农民人均纯收入和城市居民人均可支配收入各是多少?
(精确到1元)
(3)从城乡年人均收入增长率看,你有哪些积极的建议?
(写出一条建议)
26.某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块
上、下底分别为10m、20m的梯形空地上种植花木。
(1)他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花,
单价为8元/m2,当△AMD地带种满花后
(图中阴影部分),共花了160元,
(2)请计算种满△BMC若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/m2和10元/m2,应选择种哪种花木,刚好用完所筹集的资金?
(3)若梯形ABCD为等腰梯形,面积不变(如图),请设计一种花坛图案,即在梯形内找到一点P,使得△APB≌△DPC且S△APD=S△BPC,并说出你的理由。
2.编制试题
教材中问题的延伸
例教材在引入无理数时有这样一个问题:
有两个边长为1的小正方形,剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形。
可以进行如下延伸:
问题①下面是一个长9cm,宽4cm的长方形,请你剪一剪,拼一拼,拼成一个正方形。
问题②是否所有的长方形都能拼成一个正方形?
如果能,说明理由;如果不能,那么满足什么条件的才可以呢?
例象棋中,“马”是跳“日”字形的两个对立的顶点的。
“马”跳两次可以回原地,那么跳三次能不能回原地呢?
跳四次、五次…呢?
如图所示,棋子“马“在下面棋盘左边的马位上,当它在棋盘上兜了一圈后落到了自己一方右边的马位上时,它所跳的总步数是奇数还是偶数?
例关于正方体的展开图
问题①任意指定正方体的一个面,你能在11种展开图中,确定它的相邻面与相对面吗?
相对的面在展开图中有什么规律?
被断开的棱在展开图中对应的线段如何确定?
问题②一间长宽高都是a米的房间如图,要在A处安装一个脚踏开关,在C1处安一盏电灯,问怎样在墙面上布线,使所用的电线最短?
这样的最短线路可设计出多少条?
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