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%则t1是一个维数为41的行向量
f1=sin(t1)./t1;
%定义信号表达式,求出对应采样点上的样值,
%同时生成与向量t1维数相同的行向量f1
figure
(1);
%打开图形窗口1
plot(t1,f1);
%以t1为横坐标,f1为纵坐标绘制f1的波形
t2=-10:
0.1:
-10~10,取样间隔为0.1,
%则t2是一个维数为201的行向量
f2=sin(t2)./t2;
%定义信号表达式,求出对应采样点上的样值
%同时生成与向量t2维数相同的行向量f2
figure
(2);
%打开图形窗口2
plot(t2,f2);
%以t2为横坐标,f2为纵坐标绘制f2的波形
运行结果如下:
图1-1图1-2
说明:
plot是常用的绘制连续信号波形的函数。
严格说来,MATLAB不能表示连续信号,所以,在用plot()命令绘制波形时,要对自变量t进行取值,MATLAB会分别计算对应点上的函数值,然后将各个数据点通过折线连接起来绘制图形,从而形成连续的曲线。
因此,绘制的只是近似波形,而且,其精度取决于t的取样间隔。
t的取样间隔越小,即点与点之间的距离越小,则近似程度越好,曲线越光滑。
图1-1是在取样间隔为p=0.5时绘制的波形,而图1-2是在取样间隔p=0.1时绘制的波形,两相对照,可以看出图1-2要比图1-1光滑得多。
在上面的f=sin(t)./t语句中,必须用点除符号,以表示是两个函数对应点上的值相除。
⑵符号运算表示法
如果一个信号或函数可以用符号表达式来表示,那么我们就可以用前面介绍的符号函数专用绘图命令ezplot()等函数来绘出信号的波形。
,我们也可以用符号表达式来表示它,同时用ezplot()命令绘出其波形。
其MATLAB程序如下:
symst
;
%符号变量说明
f=sin(t)/t;
%定义函数表达式
ezplot(f,[-10,10]);
%绘制波形,并且设置坐标轴显示范围
图1-3
⑶常见信号的MATLAB表示
对于普通的信号,应用以上介绍的两种方法即可完成计算函数值或绘制波形,但是对于一些比较特殊的信号,比如单位阶跃信号(t)、符号函数sgn(t)等,在MATLAB中这些信号都有专门的表示方法。
单位阶跃信号
单位阶跃信号的定义为:
,单位阶跃信号是信号分析的基本信号之一,在信号与系统分析中有着非常重要的作用,通常,我们用它来表示信号的定义域,简化信号的时域表示形式。
可以用两个不同延时的单位阶跃信号来表示一个矩形门信号,即:
在MATLAB中,可通过多种方法得到单位阶跃信号,下面分别介绍。
方法一:
调用Heaviside(t)函数
在MATLAB的SymbolicMathToolbox中,有专门用于表示单位阶跃信号的函数,即Heaviside(t)函数,用它即可方便地表示出单位阶跃信号以及延时的单位阶跃信号,并且可以方便地参加有关的各种运算过程。
首先定义函数Heaviside(t)的m函数文件,该文件名应与函数名同名即Heaviside.m。
%定义函数文件,函数名为Heaviside,输入变量为x,输出变量为y
functiony=Heaviside(t)
y=(t>
0);
%定义函数体,即函数所执行指令
%此处定义t>
0时y=1,t<
=0时y=0,注意与实际的阶跃信号定义的区别。
例①用MATLAB画出单位阶跃信号的波形,其程序如下:
ut=sym('
Heaviside(t)'
);
%定义单位阶跃信号(要用符号函数定义法)
ezplot(ut,[-2,10])
%绘制单位阶跃信号在-2~10范围之间的波形
例②用MATLAB画出信号
的波形
f=sym('
Heaviside(t+2)-3*Heaviside(t-5)'
ezplot(f,[-4,20])
%绘制函数在-4~20范围之间的波形
方法二:
数值计算法
在MATLAB中,有一个专门用于表示单位阶跃信号的函数,即stepfun()函数,它是用数值计算法表示的单位阶跃函数
。
其调用格式为:
stepfun(t,t0)
其中,t是以向量形式表示的变量,t0表示信号发生突变的时刻,在t0以前,函数值小于零,t0以后函数值大于零。
有趣的是它同时还可以表示单位阶跃序列
,这只要将自变量以及取样间隔设定为整数即可。
有关单位阶跃序列
的表示方法,我们后面有专门论述,下面通过一个例子来说明如何调用stepfun()函数来表示单位阶跃函数。
例①用stepfun()函数表示单位阶跃信号,并绘出其波形
程序如下:
t=-1:
0.01:
4;
%定义时间样本向量
t0=0;
%指定信号发生突变的时刻
ut=stepfun(t,t0);
%产生单位阶跃信号
plot(t,ut)
%绘制波形
axis([-1,4,-0.5,1.5])
%设定坐标轴范围
例②绘出门函数
t=-4:
t1=-2;
u1=stepfun(t,t1);
%产生左移位的阶跃信号(t+2)
t2=2;
u2=stepfun(t,t2);
%产生右移位的阶跃信号(t-2)
g=u1-u2;
%表示门函数
plot(t,g)
%绘制门函数的波形
axis([-4,4,-0.5,1.5])
%设定坐标轴范围-4<
x<
4,-0.5<
y<
1.5
符号函数
符号函数的定义为:
在MATLAB中有专门用于表示符号函数的函数sign(),由于单位阶跃信号(t)和符号函数两者之间存在以下关系:
,因此,利用这个函数就可以很容易地生成单位阶跃信号。
下面举个例子来说明如何利用sign()函数生成单位阶跃信号,并同时绘制其波形。
举例:
利用sign()函数生成单位阶跃信号,并分别绘出两者的波形
MATLAB程序如下:
t=-5:
5;
%定义自变量取值范围及间隔,生成行向量t
f=sign(t);
%定义符号信号表达式,生成行向量f
plot(t,f),
%绘制符号函数的波形
axis([-5,5,-1.5,1.5])
%定义坐标轴显示范围
s=1/2+1/2*f;
%生成单位阶跃信号
plot(t,s),
axis([-5,5,-0.5,1.5])
运行结果如下:
2.离散时间信号
离散时间信号又叫离散时间序列,一般用
表示,其中变量k为整数,代表离散的采样时间点(采样次数)。
在MATLAB中,离散信号的表示方法与连续信号不同,它无法用符号运算法来表示,而只能采用数值计算法表示,由于MATLAB中元素的个数是有限的,因此,MATLAB无法表示无限序列;
另外,在绘制离散信号时必须使用专门绘制离散数据的命令,即stem()函数,而不能用plot()函数。
下面通过一些常用离散信号来说明如何用MATLAB来实现离散信号的表示,以及可视化。
单位序列(k)
单位序列(k)的定义为
下面是用MATLAB绘制单位序列(k)的MATLAB程序:
k1=-5;
k2=5;
%定义自变量的取值范围
k=k1:
k2;
%定义自变量的取值范围及取样间隔(默认为1),并生成行向量
n=length(k);
%取向量的维数
f=zeros(1,n);
%生成与向量k的维数相同地零矩阵,给函数赋值
f(1,6)=1;
%在k=0时刻,信号赋值为1
stem(k,f,'
filled'
)
%'
定义点的形状,可通过help文件查询其它形状的描述
axis([k1,k2,0,1.5])
如果要绘制移位的单位序列(k+k0)的波形,只要将以上程序略加修改即可,例如要绘制信号(k+2)的图形,可将以上程序改为:
k0=3;
%定义平移量
%生成与向量k的维数相同的零矩阵,给函数赋值
f(1,-k0-k1+1)=1;
%在k=k0时刻,信号赋值为1
%定义坐标轴显示范围
单位阶跃序列(k)
单位阶跃序列(k)的定义为
下面是绘制单位阶跃序列(k+k0)的MATLAB程序:
k1=-3;
k2=10;
k0=0;
%定义起止时刻和跃变时刻
-k0-1;
kk=-k0:
%取k=k0点以前向量的维数
nn=length(kk);
%取k=k0点以后(含k=k0点)向量的维数
u=zeros(1,n);
%在k=k0以前,信号赋值为0
uu=ones(1,nn);
%在k=k0以后,信号赋值为1
stem(k,u,'
%绘制k=k0以前信号的波形
holdon
%保持图形窗口,以便在同一图形窗口绘制多个图形
stem(kk,uu,'
%绘制k=k0以后(含k=k0点)信号的波形
holdoff
%图形窗口解冻
%设置坐标轴显示范围
注意:
以上介绍了几个常用的绘图命令:
plot,ezplot,stairs,stem,其中,绘制连续信号得到光滑的曲线时用plot命令;
显示连续信号中的不连续点时用stairs命令较好;
绘制离散信号波形用stem命令;
当绘制用MATLAB符号表达式表达的信号时要用ezplot命令。
3.卷积积分
信号的卷积是数学上的一种积分运算,两个信号的卷积定义为:
信号的卷积运算在系统分析中主要用于求解系统的零状态响应。
一般情况,卷积积分的运算比较困难,但在MATLAB中则变得十分简单,MATLAB中是利用conv函数来实现卷积的。
功能:
实现两个函数
的卷积。
格式:
g=conv(f1,f2)
f1=f1(t),f2=f2(t)
表示两个函数,g=g(t)表示两个函数的卷积结果。
例题:
已知两信号
,
,求卷积
MATLAB程序如下:
t1=1:
2;
t2=2:
3;
t3=3:
%两信号卷积结果自变量t区间应为:
[两信号起始时刻之%和~两信号终止时刻之和]请自行推导该结论
f1=ones(size(t1));
%高度为一的门函数,时间从t=1到t=2
f2=ones(size(t2));
%高度为一的门函数,时间从t=2到t=3
g=conv(f1,f2);
%对f1和f2进行卷积
subplot(3,1,1),plot(t1,f1);
%画f1的波形
subplot(3,1,2),plot(t2,f2);
%画f2的波形
subplot(3,1,3),plot(t3,g);
%grid
on;
画g的波形
三、实验内容
1.分别用MATLAB的向量表示法和符号运算功能,表示并绘出下列连续时间信号的波形:
⑴
⑵
⑶
⑷
2.分别用MATLAB表示并绘出下列离散时间信号的波形:
⑴
⑵
3.已知信号f(t)的波形如下图所示,试用MATLAB绘出满足下列要求的信号波形。
⑴
⑵
⑶
(其中a的值分别为a=0.5和a=2)
⑷
4.已知两信号
,求卷积积分
,并与例题比较。
5.已知两信号
6.已知
,求两序列的卷积和。
四、预习要求
1.熟悉常见信号的意义、特性及用MATLAB软件表示的方法
2.熟悉用MATLAB软件绘制信号波形的方法
3.编写MATLAB程序
五、实验报告要求
1.简述实验目的及实验原理
2.抄写实验内容,写出程序清单
3.记录信号波形
4.实验总结(收获及体会)
实验三
连续时间信号的频域分析
一、
实验目的
1.熟悉傅里叶变换的性质
2.熟悉常见信号的傅里叶变换
3.了解傅里叶变换的MATLAB实现方法
二、
实验原理
傅里叶变换是信号分析的最重要的内容之一。
从已知信号
求出相应的频谱函数
的数学表示为:
的傅里叶变换存在的充分条件是
在无限区间内绝对可积,即
满足下式:
但上式并非傅里叶变换存在的必要条件。
在引入广义函数概念之后,使一些不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。
傅里叶反变换的定义为:
在这一部分的学习中,大家都体会到了这种数学运算的麻烦。
在MATLAB语言中有专门对信号进行正反傅里叶变换的语句,使得傅里叶变换很容易在MATLAB中实现。
在MATLAB中实现傅里叶变换的方法有两种,一种是利用MATLAB中的SymbolicMathToolbox提供的专用函数直接求解函数的傅里叶变换和傅里叶反变换,另一种是傅里叶变换的数值计算实现法。
下面分别介绍这两种实现方法的原理。
1.直接调用专用函数法
①在MATLAB中实现傅里叶变换的函数为:
F=fourier(f)
对f(t)进行傅里叶变换,其结果为F(w)
F=fourier(f,v)
对f(t)进行傅里叶变换,其结果为F(v)
F=fourier(f,u,v)
对f(u)进行傅里叶变换,其结果为F(v)
②傅里叶反变换
f=ifourier(F)
对F(w)进行傅里叶反变换,其结果为f(x)
f=ifourier(F,U)
对F(w)进行傅里叶反变换,其结果为f(u)
f=ifourier(F,v,u)
对F(v)进行傅里叶反变换,其结果为f(u)
由于MATLAB中函数类型非常丰富,要想了解函数的意义和用法,可以用mhelp命令。
如在命令窗口键入:
mhelpfourier回车,则会得到fourier的意义和用法。
(1)在调用函数fourier()及ifourier()之前,要用syms命令对所有需要用到的变量(如t,u,v,w)等进行说明,即要将这些变量说明成符号变量。
对fourier()中的f及ifourier()中的F也要用符号定义符sym将其说明为符号表达式。
(2)采用fourier()及fourier()得到的返回函数,仍然为符号表达式。
在对其作图时要用ezplot()函数,而不能用plot()函数。
(3)fourier()及fourier()函数的应用有很多局限性,如果在返回函数中含有δ(ω)等函数,则ezplot()函数也无法作出图来。
另外,在用fourier()函数对某些信号进行变换时,其返回函数如果包含一些不能直接表达的式子,则此时当然也就无法作图了。
这是fourier()函数的一个局限。
另一个局限是在很多场合,尽管原时间信号f(t)是连续的,但却不能表示成符号表达式,此时只能应用下面介绍的数值计算法来进行傅氏变换了,当然,大多数情况下,用数值计算法所求的频谱函数只是一种近似值。
例①求门函数
的傅里叶变换,并画出幅度频谱图
symstw
%定义两个符号变量t,w
Gt=sym('
Heaviside(t+1)-Heaviside(t-1)'
%产生门宽为2的门函数
Fw=fourier(Gt,t,w);
%对门函数作傅氏变换求F(jw)
FFw=maple('
convert'
Fw,'
piecewise'
%数据类型转换,转为分段函数,此处可以去掉
FFP=abs(FFw);
%求振幅频谱|F(jw)|
ezplot(FFP,[-10*pi10*pi]);
grid;
%绘制函数图形,并加网格
axis([-10*pi10*pi02.2])
%限定坐标轴范围
运行结果:
Fw=exp(i*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)-exp(-i*w)*(pi*Dirac(w)-i/w)
%Dirac(w)为δ(ω),即傅立叶变换结果中含有奇异函数,故绘图前需作函数类型转换
FFw=-i*exp(i*w)/w+i*exp(-i*w)/w%FFw为复数
FFP=abs(-i*exp(i*w)/w+i*exp(-i*w)/w)%求FFw的模值
例②求函数
的傅里叶反变换f(t)
Fw=sym('
1/(1+w^2)'
%定义频谱函数F(jw)
ft=ifourier(Fw,w,t);
%对频谱函数F(jw)进行傅氏反变换
ft=
1/2*exp(-t)*Heaviside(t)+1/2*exp(t)*Heaviside(-t)
2、傅里叶变换的数值计算实现法
严格说来,如果不使用symbolic工具箱,是不能分析连续时间信号的。
采用数值计算方法实现连续时间信号的傅里叶变换,实质上只是借助于MATLAB的强大数值计算功能,特别是其强大的矩阵运算能力而进行的一种近似计算。
傅里叶变换的数值计算实现法的原理如下:
对于连续时间信号f(t),其傅里叶变换为:
其中τ为取样间隔,如果f(t)是时限信号,或者当|t|大于某个给定值时,f(t)的值已经衰减得很厉害,可以近似地看成是时限信号,则上式中的n取值就是有限的,假定为N,有:
若对频率变量ω进行取样,得:
通常取:
,其中
是要取的频率范围,或信号的频带宽度。
采用MATLAB实现上式时,其要点是要生成f(t)的N个样本值
的向量,以及向量
,两向量的内积(即两矩阵的乘积),结果即完成上式的傅里叶变换的数值计算。
时间取样间隔τ的确定,其依据是τ必须小于奈奎斯特(Nyquist)取样间隔。
如果f(t)不是严格的带限信号,则可以根据实际计算的精度要求来确定一个适当的频率
为信号的带宽。
例③用数值计算法实现上面门函数
的傅里叶变换,并画出幅度频谱图.
分析:
该信号的频谱为
,其第一个过零点频率为π,一般将此频率认为是信号的带宽。
但考虑到
的形状(为抽样函数),假如
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- 信号 分析 处理 实验 四个