八年等边三角形经典Word格式.docx
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八年等边三角形经典Word格式.docx
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等腰三角形的基本概念
等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫等腰三角形
知识点二:
等腰三角形的性质
1、对称性:
等腰三角形是轴对称图形,对称轴是顶角平分线所在的直线
2、性质:
(1)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,即“三线合一”。
(2)等腰三角形的两个底角相等。
(简写成:
“等边对等角”)
用符号表示:
在△ABC中,若AB=AC,则∠A=∠B
知识点三:
等腰三角形的判定
1、判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
(简写成:
“等角对等边:
)(如图1)
用符号表示:
在△ABC中,若∠A=∠B,则AB=AC
教学过程:
一、创设情境,引入新课。
问题一:
现在有一根十二厘米的铁丝,将它折成一个三角形,有几种作法?
(将三角形按边分类,)
问题二:
用直尺和圆规画一个边长是3厘米的等边三角形。
讨论:
等边三角形是特殊的等腰三角形,那么等边三角形又具有怎样的性质呢?
(等腰三角形的性质等边三角形都具有)他还有那些特殊的性质呢?
知识点四:
等边三角形的定义和性质
1、定义:
三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形。
(∵AB=AC=BC∴△ABC是等边三角形)
2、三角形按边分类:
三角形
(1)等腰三角形:
①腰与底不相等的等腰三角形,
②腰与底相等的等腰三角形(等边三角形)
(2)不等边三角形:
①三条边均不相等的三角形
3、性质:
(1)等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴,每条边上的高所在的直线都是它的对称轴
(2)三条边都相等,三个角都相等,且每个角都是60°
。
误区警示:
(1)等边三角形的性质是由等腰三角形的性质“等边对等角”,推出来的,应用时要注意三个角都是60°
,而不是某一个角是60°
(2)等边三角形具有等腰三角形的一切性质,如“三线合一”,解题时要注意挖掘。
请看下列问题:
1、等边三角形的三个内角都相等并且都等于60°
∵△ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°
证明:
∵BC是等边三角形
∴AB=AC=BC
∴∠A=∠B=∠C
又∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=∠B=∠C=60°
2、“三线合一”:
等腰三角形任意一边的高线、中线和这边所对的角的角平分线相互重合。
(1∵AB=AC=BC,AD⊥BC
∴BD=BC,∠BAD=∠CAD
(2)∵AB=AC=BC,∠BAD=∠CAD
∴BD=BC,AD⊥BC
(3)∵AB=AC=BC,∴BD=BC
∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC
△ABC中,AB=AC=BC
(证明过程略,同等腰三角形,重点说明任意边上的高线中线与对角角平分线)
3、轴对称图形(3条对称轴,画出其对称轴)
问题三:
我们学了等边三角形,那怎样来判断一个三角形是等边三角形呢?
判定:
(1)用定义判定
(2)有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形。
∵AB=AC,∠A=60°
∴AB=AC=BC
已知:
AB=AC,∠A=60°
求证:
∴AB=AC=BC
∴∠B=∠C
∴∠B=∠C=∠A=60°
(3)三个角都相等的三角形是等边三角形。
∵△ABC中,∠A=∠B=∠C
∠A=∠B=∠C求证:
AB=AC=BC
∵∠A=∠B
∴BC=AC
∵∠B=∠C
∴AC=AB
综上,AB=AC=BC
知识点五:
等边三角形的判定方法:
可归纳为三种:
三条边都相等的三角形叫做等边三角形;
2、有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形,其中60°
的角可以是顶角,也可以是底角;
3、三个角都相等的三角形是等边三角形。
说明:
我们在实际应用这三种判定方法时,要具体问题具体分析,选择较为简单的判定方法。
规律总结:
若已知三边关系,则选用方法1;
若已知三个内角的关系,则选用方法3;
若已知等腰三角形,则选用方法2较为简单
二、巩固训练,强化新知
1、例、如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AC,AB于点D,E.求证:
△ADE是等边三角形?
证明:
∵△ABC是等边三角形
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴∠A=∠ADE=∠AED
∴△ADE是等边三角形。
(思考:
本题还有什么方法可以证明)
2、随堂练习:
在等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,∠BDE=∠CDF=60°
图中有哪些线段是与BD相等
D
三、拓展训练,发散思维
1、例△ABC是等边三角形,点D,E是AB,BC,CA上的点,
(1)若AD=BE=CF,问三角形DEF是等边三角形吗?
并证明。
(2)若三角形DEF是等边三角形,问AD=BE=CF吗,并证明。
E
C
B
∵三角形ABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C,AB=BC=CA
∵AD=BE=CF
∴BD=CE=AF
∴△ADF≌△BED≌CFE
∴DF=EF=DE
∴△DEF是等边三角形
(2)答:
成立
∵△DEF是等边三角形
∴DF=EF=DE∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°
∴∠ADF+∠BDE=120°
∴∠BDE+∠DEB=120°
∴∠ADF=∠DEB
同理可证∠DEB=∠EFC
∴△ADF≌△BDE≌△CFE
∴AD=BE=CA
2、课后思考△ABC是等边三角形,请画出它的中线,你能得到什么结论?
四、随堂练习
1、下列四个说法中,不正确的有()(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个
Ø
三个角都相等的三角形是等边三角形。
有两个角等于60°
的三角形是等边三角形。
有一个是60°
有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。
2、等边三角形的对称轴有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条
3、等边三角形中,高、中线、角平分线共有()
(A)3条(B)6条(C)9条(D)7条
4、等边三角形ABC的周长等于21㎝,
求:
(1)各边的长;
(2)各角的度数。
5、、议一议、写一写:
已知P是OM上一点
(1)
过点P画ON的平行线,与∠MON的平分线相交于点Q,
△POQ是等腰三角形吗?
为什么?
6、思考题:
已知△ABC中,AB=BC=CA,如果P是△ABC
所在平面上的一点,且△PAB、△PBC、△PCA
都是等腰三角形,那么这样的点P的位置共有几个?
试一一画出。
典型例题
例:
如图,△ABC是边长为1的
等边三角形,BD=CD,∠BDC=120°
,E、F分别在AB、AC上,且∠EDF=60°
,求△AEF的周长.
练习题
一、选择题
1.正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I,则∠BIC等于()
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
2.下列三角形:
①有两个角等于60°
;
②有一个角等于60°
的等腰三角形;
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有()
A.①②③B.①②④C.①③D.①②③④
3.如图,D、E、F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是()
A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形
C.直角三角形D.不等边三角形
4.Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠B=30°
,AD=2cm,则AB的长度是()
A.2cmB.4cmC.8cmD.16cm
5.如图,E是等边△ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则对△ADE的形状最准备的判断是()
A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.不能确定形状
二、填空题
6.△ABC中,AB=AC,∠A=∠C,则∠B=_______.
7.已知AD是等边△ABC的高,BE是AC边的中线,AD与BE交于点F,则∠AFE=______.
8.等边三角形是轴对称图形,它有______条对称轴,分别是_____________.
9.△ABC中,∠B=∠C=15°
,AB=2cm,CD⊥AB交BA的延长线于点D,则CD的长度是_______.
三、解答题
10.已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点,且AE=BD,求BE与CD的夹角是多少度?
11.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°
,AD⊥AC交BC于点D,求证:
BC=3AD.
12.如图,已知点B、C、D在同一条直线上,△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F,AD交CE于H,①求证:
△BCE≌△ACD;
②求证:
CF=CH;
③判断△CFH的形状并说明理由.
四、探究题
13.如图,点E是等边△ABC内一点,且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠DBC,求∠BDE的度数.(提示:
连接CE)
课堂检测
听课及知识掌握情况反馈_________________________________________________________。
测试题(累计不超过20分钟)_______道;
成绩_______;
教学需:
加快□;
保持□;
放慢□;
增加内容□
课后巩固
作业_____题;
巩固复习____________________;
预习布置_____________________
签字
教学组长签字:
学习管理师:
老师
课后
赏识
评价
老师最欣赏的地方:
老师想知道的事情:
老师的建议:
典例答案:
分析:
由∠BDC=120°
和
∠EDF=60°
得到∠BDE+∠CDF=60°
,从而想到把这两个角拼在一起构造全等三角形,即延长AC至点P,使CP=BE,证明△BDE≌CDP,然后证明△DEF≌△DPF,得到EF=PF,从而把△AEF的周长转化为用△ABC的边长表示.
解:
延长AC至点P,使CP=BE,连接PD.
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD=CD,∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠EBD=∠DCF=90°
∴∠DCP=∠DBE=90°
在△BDE和△CDP中
∴△BDE≌△CDP(SAS)
∴DE=DP,∠BDE=∠CDP
∵∠BDC=120°
,∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=60°
∴∠CDP+∠CDF=60°
∴∠EDF=∠PDF=60°
在△DEF≌△DPF中
∴△DEF≌△DPF(SAS)∴EF=FP∴EF=FC+BE
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AB+AC=2
答案:
1.C2.D3.A4.C5.B6.60°
7.60°
8.三;
三边的垂直平分线9.1cm10.60°
或120°
11.∵AB=AC,∠BAC=120°
,∴∠B=∠C=30°
,
∴在Rt△ADC中CD=2AD,
∵∠BAC=120°
,∴∠BAD=120°
-90°
=30°
∴∠B=∠BAD,∴AD=BD,∴BC=3AD
12.①∵∠ACB=∠DCE=60°
,∴∠BCE=∠ACD.
又∵BC=AC,CE=CD,∴△BCE≌△ACD;
②证明△BCF≌△ACH;
③△CFH是等边三角形.
13.连接CE,先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°
再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°
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