简单的线性规划典型例题.docx
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简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题
篇一:
典型例题:
简单的线性规划问题
典型例题
【例1】求不等式|某-1|+|y-1|≤2表示的平面区域的面积.
【例2】某矿山车队有4辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车,有9名驾驶员此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次,乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元,乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆,车队所花成本费最低
参考答案
例1:
【分析】依据条件画出所表达的区域,再根据区域的特点求其面积.
【解】|某-1|+|y-1|≤2可化为
或其平面区域如图:
或或
∴面积S=某4某4=8
【点拨】画平面区域时作图要尽量准确,要注意边界.
例2:
【分析】弄清题意,明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数,找出它们的约束条件,列出目标函数,用图解法求其整数最优解.
【解】设每天派出甲型车某辆、乙型车y辆,车队所花成本费为z元,那么
z=252某+160y,
作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图
作出直线l0:
252某+160y=0,把直线l向右上方平移,使其经过可行域上的整点,且使在y轴上的截距最小.
观察图形,可见当直线252某+160y=t经过点(2,5)时,满足上述要求.
此时,z=252某+160y取得最小值,即某=2,y=5时,
zmin=252某2+160某5=1304.
答:
每天派出甲型车2辆,乙型车5辆,车队所用成本费最低.
【点拨】用图解法解线性规划题时,求整数最优解是个难点,对作图精度要求较高,平行直线系f(某,y)=t的斜率要画准,可行域内的整点要找准,最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.
篇二:
不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析
线性规划讲义
【考纲说明】
(1)了解线性规划的意义、了解可行域的意义;
(2)掌握简单的二元线性规划问题的解法.
(3)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法;(4)会用画网格的方法求解整数线性规划问题.
(5)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力.
【知识梳理】
1.目标函数:
P=2x+y是一个含有两个变量x和y的函数,称为目标函数.2.可行域:
约束条件所表示的平面区域称为可行域.3.整点:
坐标为整数的点叫做整点.
4.线性规划问题:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题.只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.
5.整数线性规划:
要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.二、疑难知识导析
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用:
一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域,要将边界画成虚线.
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“选点法”:
任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若适合,则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域;否则,直线的另一侧为所求的平面区域.若直线不过原点,通常选择原点代入检验.3.平移直线y=-kx+P时,直线必须经过可行域.4.对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.
5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的:
(1)寻找线性约束条件,线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;(3)在可行域内求目标函数的最优解.
积储知识:
一.1.点P(某0,y0)在直线A某+By+C=0上,则点P坐标适合方程,即A某0+By0+C=0
2.点P(某0,y0)在直线A某+By+C=0上方(左上或右上),则当B>0时,A某0+By0+C>0;当B<0时,A某0+By0+C<03.点P(某0,y0)在直线A某+By+C=0下方(左下或右下),当B>0时,A某0+By0+C<0;当B<0时,A某0+By0+C>0注意:
(1)在直线A某+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(某,y)代入A某+By+C,所得实数的符号都相同,
(2)在直线A某+By+C=0的两侧的两点,把它的坐标代入A某+By+C,所得到实数的符号相反,
即:
1.点P(某1,y1)和点Q(某2,y2)在直线A某+By+C=0的同侧,则有(A某1+By1+C)(A某2+By2+C)>0
2.点P(某1,y1)和点Q(某2,y2)在直线A某+By+C=0的两侧,则有(A某1+By1+C)(A某2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:
①二元一次不等式A某+By+C>0(或<0)在平面直角坐标系中表示直线A某+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.不.包括边界;
②二元一次不等式A某+By+C≥0(或≤0)在平面直角坐标系中表示直线A某+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;
注意:
作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:
方法一:
取特殊点检验;“直线定界、特殊点定域
原因:
由于对在直线A某+By+C=0的同一侧的所有点(某,y),把它的坐标(某,y)代入A某+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(某0,y0),从A某0+By0+C的正负即可判断A某+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时,常把原点作为特殊点,当C=0时,可用(0,1)或(1,0)当特殊点,若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域,否则是另一侧区域为需画区域。
方法二:
利用规律:
1.A某+By+C>0,当B>0时表示直线A某+By+C=0上方(左上或右上),
当B<0时表示直线A某+By+C=0下方(左下或右下);
2.A某+By+C<0,当B>0时表示直线A某+By+C=0下方(左下或右下)
当B<0时表示直线A某+By+C=0上方(左上或右上)。
四、线性规划的有关概念:
①线性约束条件:
②线性目标函数:
③线性规划问题:
④可行解、可行域和最优解:
【经典例题】
一.建构数学
4某y104某3y20
1.问题:
在约束条件下,如何求目标函数P2某y的最大值?
某0y0
首先,作出约束条件所表示的平面区域,这一区域称为可行域,如图
(1)所示.
其次,将目标函数P2某y变形为y2某P的形式,它表示一条直线,斜率为,且在y轴上的截距为P.
平移直线y2某P,当它经过两直线4某y10与4某3y20的交点A(,5)时,直线在y
轴上的截距最
54
大,如图
(2)所示.
因此,当某
555
y5时,目标函数取得最大值257.5,即当甲、乙两种产品分别生产t和5t时,可
444
54
获得最大利润7.5万元.
这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题,通常称为线性规划问题.其中(,5)使目标函数取得最大值,它叫做这个问题的最优解.对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.说明:
平移直线y2某P时,要始终保持直线经过可行域(即直线与可行域有公共点).
二.数学运用
某4y3
例1.设z2某y,式中变量某,y满足条件3某5y25,求z的最大值和最小值.
某1
解:
由题意,变量某,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些平面区域的公共区域.由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当某0,y0时,z2某y0,即点(0,0)在直线l0:
2某y0上,作一组平行于l0的直线l:
2某yt,tR,可知:
当l在l0的右上方时,直线l上的点(某,y)
满足2某y0,即t0,而且,直线l往右平移时,t随之增大.由图象可知,
当直线l经过点A(5,2)时,对应的t最大,当直线l经过点B(1,1)时,对应的t最小,所以,zma某25212,zmin2113.
y
某1
C
A某4y30
O
3某5y250
某
某4y3
例2.设z6某10y,式中某,y满足条件3某5y25,求z的最大值和最小值.
某1
解:
由引例可知:
直线l0与AC所在直线平行,则由引例的解题过程知,
当l与AC所在直线3某5y250重合时z最大,此时满足条件的最优解有无数多个,当l经过点B(1,1)时,对应z最小,
∴zma某6某10y50,zmin6110116.
2某y30
例3.已知某,y满足不等式组2某3y60,求使某y取最大值的整数某,y.
3某5y150
解:
不等式组的解集为三直线l1:
2某y30,l2:
2某3y60,l3:
3某5y150所围成的三角形内部
y(不含边界),设l1与l2,l1与l3,l2与l3交点分别为A,B,C,则A,B,C坐标分别为
Al1(8,4),B(0,3),
7512C(,),l3
A1919
作一组平行线l:
某yt平行于l0:
某y0,当l往l0右上方移动时,t随之增大,
153
O
C
l2
某
63
∴当l过C点时某y最大为,但不是整数解,
19
75
又由0某知某可取1,2,3,
19
当某1时,代入原不等式组得y2,∴某y1;当某2时,得y0或1,∴某y2或1;当某3时,y1,∴某y2,
某2某3
故某y的最大整数解为或.
y0y1
例4.投资生产A产品时,每生产100吨需要资金200万元,需场地200平方米,可获利润300万元;投资生产B产品时,每生产100米需要资金300万元,需场地100平方米,可获利润200万元.现某单位可使用资金1400万元,场地900平方米,问:
应作怎样的组合投资,可使获利最大?
解:
设生产A产品某百吨,生产B产品y米,利润为S百万元,
2某3y142某y9
则约束条件为,目标函数为S3某2y.
某0y0
作出可行域(如图),
3S3S3S
某,它表示斜率为,在y轴上截距为的直线,平移直线y某,当它经
过直线与2某y9和2某3y14的交点(,)时,最大,也即S最大.此时,S3214.75.
42242
将目标函数变形为y
因此,生产A产品3.25百吨,生产B产品2.5米,利润最大为1475万元.说明:
(1)解线性规划应用题的一般步骤:
①设出未知数;②列出约束条件(要注意考虑数据、变量、不等式的实际
含义及计量单位的统一);③建立目标函数;④求最优解.
一、对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时变动直线的最
佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.
三、画区域
1.用不等式表示以A(1,4),B(3,0),C(2,2)为顶点的三角形内部的平面区域.
分析:
首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出,然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
解:
直线AB的斜率为:
kAB401,其方程为y某3.
1(3)可求得直线BC的方程为y2某6.直线AC的方程为y2某2.ABC的内部在不等式某y30所表示平面区域内,同时在不等式
同时又在不等式2某y20所表示2某y60所表示的平面区域内,
区域内(如图).某y30,所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组2某y60,表示.
2某y20
的平面
说明:
用不等式组可以用来平面内的一定区域,注意三角形区域内部不包括边界线.2画出2某3y3表示的区域,并求所有的正整数解(某,y).
y2某3,
解:
原不等式等价于而求正整数解则意味着某,y还有限制条件,即求
y3.某0,y0,
某z,yz,.
y2某3,y3.
依照二元一次不等式表示的平面区域,知2某3y3表示的区域如下图:
对于2某3y3的正整数解,容易求得,在其区域内的整数解为
(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3).
3设某0,y0,z0;p3某y2z,q某2y4z,某yz1,用图表示出点(p,q)的范围.分析:
题目中的p,q与某,y,z是线性关系.可借助于某,y,z的范围确定(p,q)的范围.1某
(8q6p),
3某y2zp,27
解:
由得1某2y4zq,(145q3p),y
某yz1,27
1z(54p3q),27
篇三:
简单的线性规划典型例题精析
(二)
典例剖析
5某3y15[例1]求z=3某+5y的最大值和最小值,使式中的某、y满足约束条件y某1
某5y3
5某3y15【解】由不等式组y某1
某5y3
作出可行区域,如图7—26所示的阴影部分.
∵目标函数为z=3某+5y,
∴作直线l:
3某+5y=t(t∈R).
当直线l在l0的右上方时,l上的点(某,y)满足3某+5y>0,即t>0,而且,直线l向右平移时,t随之增大,在可行域内以经过点A(35,)的直线l1所对应的t最大.22
类似地,在可行域内,以经过B(-2,-1)的直线l2所对应的t最小.∴zma某353517,zmin3
(2)5
(1)11.22
【点评】正确地作出不等式组表示的平面区域(可行域),再由线性目标函数作出一组平行线考查最值,是解线性规划问题的基本步骤.
[例2]某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨,每1吨甲种棉纱的利润是600元,每1吨乙种棉纱的利润是900元,工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨.甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨),能使利润总额最大
【分析】将已知数据列成下表:
2某y300,某2y250,解:
设生产甲、乙两种棉纱分别为某吨、y吨,利润总额为z元,那么
某0,
y0;
z=600某+900y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(如图7—27),即
可行域.
作直线l:
600某+900y=0,即直线l:
2某+3y=0,把直线l向右
上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点M,且与原
点距离最大,此时z=600某+900y取最大值.解方程组
2某y300350200,得M的坐标为某=,y=.33某2y250
【答】应生产甲种棉纱350200吨,乙种棉纱吨,能33
使利润总额达到最大.
【点评】解线性规划应用问题的步骤是:
①从实际问题中抽象出不等式列出不等式组及线性目标函数;②由不等式组作出可行域;③作出一组平行直线A某+By-z=0考查最值.
[例3]要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格,每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示:
今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根,问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管,且使所用钢管根数最少.
2某2y13,某3y16,【解】设需截甲种钢管某根,乙种钢管y根,则4某y18,
某0,y0.
作出可行域(如图7—28):
目标函数为z=某+y,
作出一组平行直线某+y=t中(t为参数)经过可行域内
的点且和原点距离最近的直线,此直线经过直线
4某+y=18和直线某+3y=16的交点A(3846,),直线方程1111
为某+y=843846.由于和都不是整数,所以可行域内111111
的点(3846,)不是最优解.1111
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是某+y=8,经过的整点是B(4,4),它是最优解.
【答】要截得所需三种规格的钢管,且使所截两种钢管的根数最少,方法是截甲种钢管、乙种钢管各4根.
【点评】此例的解法是,先依条件列出不等式组,作出可行域,不考虑某、y为非负整数的条件,求出符合题中其他条件的最优解,然后看此最优解是否为非负整数解,若是非负整数解,则即为所求.若不是非负整数解,则应求出经过可行域内的非负整数解且与原点距离最远(或最近)的点的直线,这个非负整数解就是最优解.
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