矩阵练习带答案分析.docx
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矩阵练习带答案分析
、填空题:
1.若A,B为同阶方阵,则(AB)(A-B)=A2-B2的充分必要条件是
AB二BA
1
2.若n阶方阵A,B,C满足ABC=I,I为n阶单位矩阵,则C=AB
(0B、
IB,0
3.设A,B都是n阶可逆矩阵,若C=,则C
S0丿
4•设A=2_1,则A"
厂11丿
1
0
0'
6.设A=
0
2
0
,则A
e
0
3>
10
01
2
00
0
0
1
3」
卩
-1
1、
(123、
(337)
5.设A=
B=
•则A+2B=
<1
1
-1丿
1-1-24丿
1-1-37
3、f2
At为A的转置,则AtB=
22、
-20
.6b
1-1
7.设矩阵A=
<20
*120"
8.A=312,B为秩等于2的三阶方阵,则AB的秩等于2
<01b
二、判断题(每小题2分,共12分)
1.设A、B均为n阶方阵,则(AB)"二AkBk(k为正整数)。
(x)
2.设A,B,C为n阶方阵,若ABC=1,则C’二B%'。
(x)
3.设A、B为n阶方阵,若AB不可逆,贝UA,B都不可逆。
(x)
4.设A、B为n阶方阵,且AB=0,其中A=0,则B=0。
(x)
5.设A、B、C都是n阶矩阵,且AB=1,CA=I,则B=C。
(V)
6.若A是n阶对角矩阵,B为n阶矩阵,且AB二AC,则B也是n阶对角矩阵。
…(x)
7.两个矩阵A与B,如果秩(A)等于秩(B),那么A与B等价。
(x)
8.矩阵A的秩与它的转置矩阵AT的秩相等。
(V三、选择题(每小题3分,共12分)
1.设A为3X4矩阵,若矩阵A的秩为2,则矩阵3AT的秩等于(B)
(A)1(B)2(C)3(D)4
2.假定A、B、C为n阶方阵,关于矩阵乘法,下述哪一个是错误的
3.
4.
(A)
(C)
已知
(A)
(C)
ABC=A(BC)
AB二BA
(B)kAB二A(kB)
(D)C(AB)=CACB
A、B为n阶方阵,
AB=BA
(AB)C二ACBC(D)
则下列性质不正确的是(A)
(B)(AB)C=A(BC)
C(A+B)=CA+CB
设PAQ=I,其中P、Q、
A都是n阶方阵,则(D
(A)A」=P
(C)A」二PQ
(D)A’QP
5.
设n阶方阵A,如果与所有的(B)
n阶方阵
B都可以交换,
AB二BA,那么A必定是
6.
(A)可逆矩阵
(B)
数量矩阵
(C)单位矩阵
两个n阶初等矩阵的乘积为(
(A)初等矩阵
(C)可逆矩阵
(D)
C)
(B)
(D)
反对称矩阵
单位矩阵不可逆矩阵
7.
有矩阵A32,B23,C33,下列哪一个运算不可行(
=CB,
A与B分别是什么矩阵(D)
(A)AC
(C)ABC
设A与B为矩阵且AC
(B)BC
(D)AB-C
C为mn的矩阵,则
(A)nmmn
(B)
(C)nnmm
(D)
(A)A,可逆(B)IA可逆
2
(C)-2A可逆(D)A可逆
10.A,B均n阶为方阵,下面等式成立的是(B)
(A)AB=BA
(B)(AB)t=AtBt
(C)(AB)」二A」BJ
11.设A,B都是n阶矩阵,且AB=0,
(A)A=0或B=0
(C)代B中至少有一个不可逆
则下列一定成立的是(C)
(B)代B都不可逆
(D)AB=0
12.设A,B是两个n阶可逆方阵,则'-ABT亍等于(A
(A)ATJBTJ(B)BT"AT」
(C)(bJaT
T1
(D)(B°)(AT)
13.若A,B都是n阶方阵,且
A,B都可逆,则下述错误的是(
(A)AB也可逆
(C)B4也可逆
(B)AB也可逆
(D)A」B」也可逆
14.A,B为可逆矩阵,则下述不一定可逆的是(B)
(A)AB(B)AB
(C)BA(D)BAB
15•设A,B均为n阶方阵,下列情况下能推出A是单位矩阵的是(D)
(A)AB=B(B)AB=BA
(C)AA=\(D)A,l
16.设A,B都是n阶方阵,则下列结论正确的是(D)
(A)若A和B都是对称矩阵,则AB也是对称矩阵
(B)若A=0且B=0,则AB=0
(C)若AB是奇异矩阵,则A和B都是奇异矩阵
(D)若AB是可逆矩阵,则A和B都是可逆矩阵
17.若A与B均为n阶非零矩阵,且AB=0,则(A)
(C)R(A)=O
(D)R(B)=O
■1
-1
-11
2
-1
_3
厂3
4
4_
j
23[
_1
2
24
2
13一
厂3
1
1
2
1
2丿
,求BtA及AJ
95
128
86
卩
0
1'
卩
1
3、
2.求解矩阵方程
1
1
0
X=
4
3
2
1°
1
1丿
2
5丿
2
四、解答题:
1.给定矩阵A二
解:
bta二
0
1
2
2
123
B=221
】343一
-1-1-4
-1-3
44
,Z1
0
1
j
1
-11
1
1
0
=
-1
1
1
2.
1
1>
•
1
-1
1一
210
X=|222
■-103一
11
3.求解矩阵方程XA=B,其中A=02
'1-1
-11
「1
-1
1
1
11
0
1
.(2分)
解:
因为A--6所以A可逆
A"
(4分)
..(4分)
1
X=BA
4.求解下面矩阵方程中的矩阵
z0
(1
-4
0
0
-2
-1
解:
所以X
11
=ACB
-4
'0
1
0
1
0
0、
1
-4
3、
1
0
0
B=
0
0
1
C=
2
0
-1
1°
0
b
1°
1
°」
J
-2
°」
令A-
则代B均可逆,且
1
0、
『1
0
0、
1
0
0
0
0
1
<°
0
b
<°
1
°.>
A」
一2丿
<-1
2
3丿
AB=A+2B即(A
-2I)B=
A…
2分
23X
斗
(1
-4
-3X
而(A-21)
-4
:
1
-10
=
1
-5
-3
..3分
1-1
21」
1-1
6
4丿
5.设矩阵A二
1
1
0
B,使其满足矩阵方程A^A2B.
,求矩阵
解:
r1
-4
-3)
1
2
3〕
B=(A—21)二
A=
1
-5
-31
1
1
0
I-1
6
4丿
I-1
2
3丿
广3
—8
-6^
=
2
_9
_6
\_2
12
9‘
所以
五、证明题
1.若A是反对称阵,证明A是对称阵。
证明:
因为A是反对称阵,所以A(3分)
(a2)t=(aa)t=atat=(_a)(-aha2,所以A为对称阵。
(5分)
2.设矩阵RB及AB都可逆,证明AAB」也可逆。
证明:
因为a,B,A+B可逆,故A」,B」,(A+B),存在,3分
所以有
1.-1.-1
(AB)BABA=(ABI)BAA
1i-4
=(AB+AA)(B+A)A4
=A」(BA)BAA
=A」A=1
故AJB‘可逆,其逆为BAB‘A
3.已知代B为n阶方阵,且A2二A,B2二B,(A-B)2二AB,
证明:
ABBA=0
证明:
(A_B)2=A2B2_AB_BA=AB4分
所以ABBA=04分
BA。
4.设A,B为两个n阶方阵,试证明:
(A-B)(A•B)=A2-B2的充要条件是AB二
证明:
充分性:
因为AB=BA
所以(A-B)(AB)二A2AB-BA-B2二A2-B24分
必要性:
因为(A—B)(AB)=A2—B2,即A2AB—BA—B2=A2—B2
所以AB二BA8分
5.A是反对称矩阵,B是对称矩阵,
证明:
AB是反对称矩阵的充要条件是AB=BA。
证明:
充分性:
因为人丁=—A,bT=B,AB=BA
所以(AB)^=Bt=-BA=-AB,即AB是反对称矩阵4分
必要性:
因为AB是反对称矩阵,即(AB)T--AB
又(AB)T二BTAT二-BA
所以AB二BA8分
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- 矩阵 练习 答案 分析