超几何分布与二项分布的区别.docx
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超几何分布与二项分布的区别
超几何分布与二项分布的区别
[知识点]关键是判断超几何分布与二项分布
判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是要看随机变量是否满足超几何分布
的特征:
一个总体(共有N个)内含有两种不同的事物A(M个)、B(NM个),任取n个,其
中恰有X个A.符合该条件的即可断定是超几何分布,按照超几何分布的分布列
P(Xk)
knk
CC
MNM
n
C
N
(k0,1,2,,m)进行处理就可以了.
二项分布必须同时满足以下两个条件:
①在一次试验中试验结果只有A与A这两个,且事件A发生的概率为p,事件A发生的概率为1p;②试验可以独立重复地进行,即每次重复做一次试验,事件A发生的概率都是同一常数p,事件A发生的概率为1p.
1、某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二
等品通过检测的概率为
2
3
.现有10件产品,其中6件是一等品,4件是二等品.
(Ⅰ)随机选取1件产品,求能够通过检测的概率;
(Ⅱ)随机选取3件产品,其中一等品的件数记为X,求X的分布列;
(Ⅲ)随机选取3件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.
2、第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好
接待工作,组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。
将这30名志愿者
的身高编成如右所示的茎叶图(单位:
cm):
若身高在175cm以上(包括175cm)定义为
“高个子”,身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”,
且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.
(Ⅰ)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人,
再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少?
(Ⅱ)若从所有“高个子”中选3名志愿者,用表示所选志愿者中能担
任“礼仪小姐”的人数,试写出的分布列,并求的数学期望.
1
3、某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记
忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记
忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为3人.
视觉视觉记忆能力
听觉
偏低中等偏高超常
听
偏低0751
觉
中等183b
偏高2a01记
忆超常0211
能
力
由于部分数据丢失,只知道从这40位学生中随机抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听
觉记忆能力为中等或中等以上的概率为
2
5
.(Ⅰ)试确定a、b的值;(Ⅱ)从40人中任
意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为,求随机变
量的分布列.
4、在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:
每场投6个球,至少投进4个球且最后2
个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是
2
3
.
(Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X的分布列及数学期望;
(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率;(Ⅲ)已知教师乙在某场比赛中,6个球中恰
好投进了4个球,求教师乙在这场比赛中获奖的概率;教师乙在这场比赛中获奖的概率
与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗?
2
5、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须
进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮
检测不合格的概率为
影响.
1
6
,第二轮检测不合格的概率为
1
10
,两轮检测是否合格相互没有
(Ⅰ)求该产品不能销售的概率;
(Ⅱ)如果产品可以销售,则每件产品可获利40元;如果产品不能销售,则每件产品
亏损80元(即获利-80元).已知一箱中有产品4件,记一箱产品获利X元,求X的分
布列,并求出均值E(X).
6、张先生家住H小区,他在C科技园区工作,从家开车到公司上班有L1,L2两条路
线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为
1
2
;L2
路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为
(Ⅰ)若走L1路线,求最多遇到1次红灯的概率;
(Ⅱ)若走L2路线,求遇到红灯次数X的数学期望;
3
4
,
3
5
.
(Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生
从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由.
A1A2
A3
L1
HCL2
B1B2
7、某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘
客,假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.
(Ⅰ)求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率;
(Ⅱ)用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数,求X的分布列和数学期望.
3
2
p,乙的命中率为p2,在射击比8、某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为1
3
武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中次数相等且
都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”;
1
p,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率;(Ⅰ)若2
2
(Ⅱ)计划在2011年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的
次数,如果E5,求
p的取值范围.
2
9、A、B是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。
每个试验组由4
只小白鼠组成,其中2只服用A,另2只服用B,然后观察疗效。
若在一个试验组中,
服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多,就称该试验组为甲类组。
设每只小白鼠
服用A有效的概率为
2
3
服用B有效的概率为
1
2
.
(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率;(Ⅱ)观察3个试验组,用表示这3个试验组
中甲类组的个数,求的分布列和数学期望。
10、盒子中装有大小相同的10只小球,其中2只红球,4只黑球,4只白球.规定:
一次摸出3只球,如果这3只球是同色的,就奖励10元,否则罚款2元.
(Ⅰ)若某人摸一次球,求他获奖励的概率;
(Ⅱ)若有10人参加摸球游戏,每人摸一次,摸后放回,记随机变量为获奖励的人
数,
(i)求P
(1)
(ii)求这10人所得钱数的期望.
(结果用分数表示,参考数据:
10
141
152
)
4
课后练习巩固
1、空气质量指数PM2.5(单位:
μg/m3)表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这
个值越高,代表空气污染越严重.PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示:
PM2.5日均浓度0~3535~7575~115115~150150~250>250
空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如
图5所示.
(1)试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数;
(2)在甲城市这15个监测数据中任取2个,设X为空气质量类别为优或良
的天数,求X的分布列及数学期望.
3204
55
64
7697
8807
91809
图5
2、根据空气质量指数AQI(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:
AQI(数值)05051100101150151200201300300
空气质量级别一级二级三级四级五级六级
空气质量类别优良轻度污染中度污染重度污染严重污染
空气质量类别颜
色
绿色黄色橙色红色紫色褐红色
某市2013年10月1日—10月30日,对空气质量指
天数
数AQI进行监测,获得数据后得到如图(4)的条形图:
10
8
(1)估计该城市本月(按30天计)空气质量类别为中
6
度污染的概率;
4
2
空气质量级别
(2)在上述30个监测数据中任取2个,设为空气
0
一级二级三级四级五级六级
图(4)
质量类别颜色为紫色的天数,求的分布列.
5
3、某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)
的频率分布直方图如图所示.
(I)估计这次测试数学成绩的平均分;
(II)假设在[90,100]段的学生的数学成绩都不相同,且都超过94分.若将频率视为
概率,现用简单随机抽样的方法,从95,96,97,98,99,100这6个数中任意抽取2
个数,有放回地抽取了3次,记这3次抽取中,恰好是两个学生的数学成绩的次数为,
求的分布列及数学期望E.
4.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为
样本,称出它们的重量(单位:
克),重量分组区间为5,15,15,25,25,35,35,45,
由此得到样本的重量频率分布直方图,如图3.
(1)求a的值;
(2)根据样本数据,试估计盒子中小球重量的平均值;
(注:
设样本数据第i组的频率为pi,第i组区间的中点值为xii1,2,3,,n,
则样本数据的平均值为
Xxpxpxpxp.)
112233nn
频率
组距
(3)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在5,15内
的小球个数为,求的分布列和数学期望.
0.32
a
0.20.018
O51535
2545重量/克
图3
6
5、甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对为本队赢得一
分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为
2
3
,乙队中3人答对的概率分别为
221
,
332
,且各人回答正确与否相互之间没有影响.用表示甲队的总得分.
(1)求随机变量的分布列和数学期望;
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于
乙队总得分”这一事件,求P(AB).
6.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可吸入肺颗粒物。
我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标。
某试点城市环保局从该市市区2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本,监测值如右下图茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)。
(1)在这15天的PM2.5日均监测数据中,求其中位数;
(2)从这15天的数据中任取2天数据,记表示抽到
PM2.5监测数据超标的天数,求的分布列及数学期望;
(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量
情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气
质量达到一级或二级.
7
参考答案
0.33【解析】(Ⅰ)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为A分
事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”⋯⋯⋯2分
64213
p(A)⋯⋯
1010315
(Ⅱ)由题可知X可能取值为0,1,2,3.
P(X0)
30
CC
46
3
C
10
1
30
P(X1)
21
CC
46
3
C
10
3
10
P(X2)
12
CC
46
3
C
10
1
2
P(X3)
03
CC
46
3
C
10
1
6
.⋯⋯8分
故X的分布列为
X0123
⋯⋯⋯⋯9分
P
1
30
3
10
1
2
1
6
(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B⋯⋯⋯⋯⋯10分
事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”
所以,
111
3
P(B)().⋯⋯⋯⋯⋯13分
303810
0.34【解析】(Ⅰ)根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人,,,,,1分
用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是
5
30
1
6
,,,,,,,2分
11所以选中的“高个子”有122人,“非高个子”有183人.,,,,3分66
用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件A表示“没有一名“高
个子”被选中”,
则P(A)1
2
3
2
5
C
C
37
1.,,5分因此,至少有一人是“高个子”的
1010
概率是
7
10
.,6分
(Ⅱ)依题意,的取值为0,1,2,3.,,,,,,7分
3
C14
8
P(0),
3
C55
12
12
CC28
48
P
(1),
3
C55
12
21
CC12
48
P
(2),
3
C55
12
3
C1
4
P(3).,,,,,,,9分
3
C55
12
8
因此,的分布列如下:
0123
1428121p
55555555
,10分
1428121
E01231.,,,,12分
55555555
0.35【解析】(Ⅰ)由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中
等以上的学生共有(10a)人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中
等以上”为事件A,
则
10a2
PA,解得a6,从而b40(32a)40382.
()
405
(Ⅱ)由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为
3
C,其中具有听觉记忆能力或视觉
40
记忆能力偏高或超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k位具有听
觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为
k3k
CC,所以从40位学生中任意抽
2416
取3位,其中恰有k位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为
P(k)
k3k
CC
2416
3
C
40
(k0,1,2,3).的可能取值为0、1、2、3.
因为
P(0)
03
CC
2416
3
C
40
14
247
P
(1)
12
CC
2416
3
C
40
72
247
P
(2)
21
CC
2416
3
C
40
552
1235
P(3)
30
CC
2416
3
C
40
253
1235
,
所以的分布列为
0123
P
14
247
72
247
552
1235
253
1235
0.36【解析】(Ⅰ)X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知X~B(6,
2
3
).
k6k
21k
PXkC(k0,1,2,3,4,5,6)
()
6
33
所以X的分布列为:
X0123456
9
P
1
729
12
729
60
729
160
729
240
729
192
729
64
729
所以
1
EX(01112260316042405192664)=
729
2916
729
4
.
或因为X~B(6,
2
3
),所以
2
EX64.即X的数学期望为4.
3
(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A,则
224156
1212232
P(A)C()()C()().
44
3333381
答:
教师甲在一场比赛中获奖的概率为
32
81
.
(Ⅲ)设教师乙在这场比赛中获奖为事件B,则
P(B)
24
AA
44
6
A
6
2
5
.(此处为
2
C
C
4
4
6
2
5
会更
好!
因为样本空间基于:
已知6个球中恰好投进了4个球)即教师乙在这场比赛中获奖的概
率为
2
5
.
显然
23232
58081
,所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的
概率不相等.
0.37【解析】(Ⅰ)记“该产品不能销售”为事件A,则
111
P(A)1
(1)
(1).
6104
所以,该产品不能销售的概率为
1
4
.,,,,,,,,,,,,,,4分
(Ⅱ)由已知,可知X的取值为320,200,80,40,160.,,,,,,,,,5分
11
4
P(X320)(),
4256
13
133
P(X200)C(),
4
4464
1327
222
P(X80)C()(),
4
44128
1327
33
P(X40)C(),
4
4464
381
4
P(X160)().,,,,,,,,,,,,,,10分
4256
所以X的分布列为
X-320-200-8040160
P
1
256
3
64
27
128
27
64
81
256
,,,,,,,,,,,,,11分
E(X)
11272781
3202008040160
2566412864256
40,故均值E(X)
为40.,,12分
10
0.38【解析】(Ⅰ)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件,则
11110312
P(A)=C()C().,4分
33
2222
所以走L1路线,最多遇到1次红灯的概率为1
2
.
(Ⅱ)依题意,X的可能取值为0,1,2.,,,,5分
331
P(X=0)=
(1)
(1),
4510
339
P(X=2)=.,8分
4520
33339
P(X=1)=
(1)
(1),
454520
故随机变量X的分布列为:
X012
P
1
10
9
20
9
20
19927
EX012.,,,,
10202020
,10分
(Ⅲ)设选择L1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y服从二项分布,
1
YB(3,),
2
所以
13
EY3.,,12分因为EXEY,所以选择L2路线上班最好.,,
22
14分
0.39【解析】(Ⅰ)设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A,⋯⋯⋯分
1
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是
3
,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
4
265
则P(A)1P(A)1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
381
(Ⅱ)X的可能取值为0,1
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