高考数学专题突破 27.docx
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高考数学专题突破27
§2 导数的概念及其几何意义
学习目标
1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数.3.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
知识点一 导数的概念
函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率是函数y=f(x)在x0点的导数.用符号f′(x0)表示,记作:
f′(x0)=
=.
知识点二 导数的几何意义
(1)切线的概念:
如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.
(2)导数的几何意义:
函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k==f′(x0).
(3)切线方程:
曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).
特别提醒:
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可能有多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
1.函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关.( √ )
2.函数f(x)在x=x0处的导数值是Δx=0时的平均变化率.( × )
3.若函数y=f(x)在x=x0处有导数,则函数y=f(x)在x=x0处有唯一的一条切线.( √ )
4.函数y=f(x)在x=x0处的切线与函数y=f(x)的公共点不一定是一个.( √ )
题型一 利用定义求导数
例1 建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元,y是x的函数,y=f(x)=++0.3,求f′(100),并解释它的实际意义.
解 ∵当x从100变为100+Δx时,函数值y关于x的平均变化率为
=,
=+,
∴f′(100)=,
==0.105,
f′(100)=0.105表示当建筑面积为100平方米时,成本增加的速度为1050元/平方米,也就是说当建筑面积为100平方米时,每增加1平方米的建筑面积,成本就要增加1050元.
反思感悟 求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).
(2)求平均变化率=.
(3)取极限,得导数f′(x0)=.
跟踪训练1 利用导数的定义求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的导数.
考点 函数在一点处的导数
题点 根据定义求函数在某点处的导数
解 由导数的定义知,函数在x=2处的导数
f′
(2)=,
而f(2+Δx)-f
(2)=-(2+Δx)2+3(2+Δx)-(-22+3×2)=-(Δx)2-Δx,
于是f′
(2)==(-Δx-1)=-1.
题型二 求切线方程
例2 已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求:
(1)点A处的切线的斜率;
(2)点A处的切线方程.
考点 切线方程的求解及应用
题点 求在某点的切线方程
解
(1)=
==(4+2Δx)=4,
∴点A处的切线的斜率为4.
(2)点A处的切线方程是y-2=4(x-1),
即4x-y-2=0.
反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤
跟踪训练2 曲线y=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________.
考点 切线方程的求解及应用
题点 求在某点处的切线方程
答案 -3
解析 =
=(4+Δx)=4,
曲线y=x2+1在点(2,5)处的切线方程为
y-5=4(x-2),
即y=4x-3.
∴切线与y轴交点的纵坐标是-3.
题型三 求切点坐标
例3 已知抛物线y=2x2+1分别满足下列条件,请求出切点的坐标.
(1)切线的倾斜角为45°;
(2)切线平行于直线4x-y-2=0;
(3)切线垂直于直线x+8y-3=0.
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
解 设切点坐标为(x0,y0),则Δy=2(x0+Δx)2+1-2x-1=4x0·Δx+2(Δx)2,∴=4x0+2Δx,
当Δx趋于0时,趋于4x0,即f′(x0)=4x0.
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°,
∴斜率为tan45°=1.
即f′(x0)=4x0=1,得x0=,
∴切点坐标为.
(2)∵抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0,
∴k=4,即f′(x0)=4x0=4,得x0=1,
∴切点坐标为(1,3).
(3)∵抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直,
则k·=-1,即k=8,
故f′(x0)=4x0=8,得x0=2,
∴切点坐标为(2,9).
反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤
(1)设切点坐标(x0,y0).
(2)求导函数f′(x).
(3)求切线的斜率f′(x0).
(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0.
(5)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将x0代入求y0,得切点坐标.
跟踪训练3 已知直线l:
y=4x+a与曲线C:
y=f(x)=x3-2x2+3相切,求a的值及切点坐标.
考点 切线方程的求解及应用
题点 求切点坐标
解 设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0).
∵f′(x)=
=
=3x2-4x,
由题意可知k=4,即3x-4x0=4,
解得x0=-或x0=2,
∴切点坐标为或(2,3).
当切点为时,有=4×+a,a=.
当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,a=-5.
∴当a=时,切点为;
当a=-5时,切点为(2,3).
题型四 导数几何意义的应用
例4
(1)函数g(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是( )
A.0 (2) (2) B.0 (2) (2) C.0 (2) (2) D.0 (2) (2) 考点 题点 答案 C 解析 由函数g(x)的图像知, 当x≥0时,g′(x)>0且曲线的切线的斜率逐渐增大, ∴g′(x)是增加的,∴g′ (2) ∵g(x)上升的越来越快,∴g′ (2) (2) ∴0 (2) (2) (2)已知曲线f(x)=2x2+a在点P处的切线方程为8x-y-15=0,则实数a的值为________. 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 -7 解析 设点P(x0,2x+a). 由导数的几何意义可得 f′(x0)== =4x0=8, ∴x0=2,∴P(2,8+a). 将x=2,y=8+a代入到8x-y-15=0中, 得a=-7. 反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来,根据图像中切线与割线的倾斜角的大小确定数据的大小. 跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在R上可导,其部分图像如图所示,设=a,则下列不等式正确的是( ) A.f′
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