专题突破一 函数与导数高频考点突破方法.docx
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专题突破一函数与导数高频考点突破方法
专题测试一 集合与函数、导数
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合A={-1,0,1},B={y|y=πx,x∈A},则A∩B=( )
A.{0}B.{1}
C.{-1}D.{0,1}
解析:
选B.由题意得B=,所以A∩B={1},故选B.
2.命题“∃x0∈R,x+x0+1<0”的否定为( )
A.“∃x0∈R,x+x0+1≥0”
B.“∃x0∈R,x+x0+1≤0”
C.“∀x∈R,x2+x+1≥0”
D.“∀x∈R,x2+x+1<0”
解析:
选C.本题考查全称量词与存在量词.根据定义可知原命题的否定为“∀x∈R,x2+x+1≥0”.
3.若命题“p且q”是假命题,“﹁p”也是假命题,则( )
A.命题“﹁p或q”是假命题
B.命题“p或q”是假命题
C.命题“﹁p且q”是真命题
D.命题“p且﹁q”是假命题
解析:
选A.由“﹁p”是假命题,可得p为真命题.因为“p且q”是假命题,所以q为假命题,所以命题“﹁p或q”是假命题,选项A正确;“p或q”是真命题,选项B错误;“﹁p且q”是假命题,选项C错误;“p且﹁q”是真命题,选项D错误,故选A.
4.函数y=的定义域为( )
A.(0,8]B.(-2,8]
C.(2,8]D.[8,+∞)
解析:
选B.根据函数有意义的条件得:
⇒⇒-2 5.已知函数f(x)=是偶函数,则g(-8)的值等于( ) A.-8B.-3 C.3D.8 解析: 选C.g(-8)=f(-8)=f(8)=log28=3. 6.设集合A={x|x>0},B={x|y=},则“A⊆B”是“a<0”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解析: 选B.由题意可知A=(0,+∞),B=[a,+∞),若A⊆B,则A∩B=A,所以a≤0,所以可知“A⊆B”是“a<0”的必要不充分条件,故选B. 7.设x>y>1,0<a<1,则下列关系正确的是( ) A.x-a>y-aB.ax<ay C.ax<ayD.logax>logay 解析: 选C.本题考查函数的单调性及不等式的性质.对于A,-a<0,幂函数f(x)=x-a在(0,+∞)上是减函数,所以x-a<y-a,故A不正确;对于B,x>y>1,又a>0,利用不等式的性质得ax>ay,故B不正确;易知C正确;对于D,因为0<a<1,所以函数f(x)=logax在(1,+∞)上是减函数,又x>y>1,所以logax<logay,故D不正确. 8.函数f(x)=+的定义域为( ) A.(-∞,2]B.(0,1)∪(1,2] C.(0,2]D.(0,2) 解析: 选B.本题主要考查函数的定义域.f(x)=+是复合函数,所以定义域要满足,解得0<x≤2且x≠1. 9.函数f(x)=的图象大致是( ) 解析: 选C.通解: 令f(x)=0得函数有1个零点,故选C. 优解: 特值验证法 当x<0时,x3<0,∴x3-3<0,∴f(x)<0,只有C正确. 10.已知函数f(x)=,若函数y=f+m为奇函数,则实数m的值为( ) A.-B.- C.-D.0 解析: 选C.因为函数y=f+m为奇函数,所以f+m=0,即m=-f=-=-=-,故选C. 11.曲线y=ex在点A处的切线与直线x+y+3=0垂直,则点A的坐标为( ) A.(-1,e-1)B.(0,1) C.(1,e)D.(0,2) 解析: 选B.与直线x+y+3=0垂直的直线的斜率为1,所以切线的斜率为1,因为y′=ex,所以由y′=ex=1,解得x=0,此时y=e0=1,即点A的坐标为(0,1),选B. 12.函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为( ) A.{x|x>0}B.{x|x<0} C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x<-1或0 解析: 选A.令g(x)=ex·f(x)-ex,则g′(x)=ex·[f(x)+f′(x)-1].∵对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1, ∴g′(x)>0恒成立. 即g(x)=ex·f(x)-ex在R上为增函数, 又∵f(0)=2,∴g(0)=1,故g(x)=ex·f(x)-ex>1=g(0)的解集为{x|x>0},即不等式ex·f(x)>ex+1的解集为{x|x>0}. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若m>1,则f(m)=dx的最小值为. 解析: f(m)=dx==m+-5≥4-5=-1,当且仅当m=2时等号成立. 答案: -1 14.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值为. 解析: 由题意得f′(x)=12x2-2ax-2b. ∵f(x)在x=1处有极值,∴f′ (1)=12-2a-2b=0, ∴a+b=6.∵a>0,b>0,∴ab≤=9,当且仅当a=b=3时取等号,易知此时f(x)在x=1处有极小值,满足题意,∴ab的最大值为9. 答案: 9 15.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+2,那么不等式2f(x)-1<0的解集是. 解析: 本题考查了分类讨论思想,函数的奇偶性及函数的解析式.由题意知,函数y=f(x)的定义域是R,当x<0时,f(x)=x+2,则当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-x+2,又函数y=f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x-2,即f(x)=,因此不等式2f(x)-1<0等价于或或, 解得x<-或x=0或0<x<,故不等式2f(x)-1<0的解集为{x|x<-或0≤x<}. 答案: {x|x<-或0≤x<} 16.已知函数f(x)的定义域为R.若存在常数c>0,对任意x∈R,有f(x+c)>f(x-c),则称函数f(x)具有性质P.给定下列三个函数: ①f(x)=2x;②f(x)=sinx;③f(x)=x3-x. 其中,具有性质P的函数的序号是. 解析: 由题意可知,当c>0时,x+c>x-c恒成立.①若f(x)=2x,则由f(x+c)>f(x-c)得2x+c>2x-c,即x+c>x-c,c>0即可,所以①具有性质P.②若f(x)=sinx,由f(x+c)>f(x-c)得sin(x+c)>sin(x-c),整理得cosxsinc>0,所以不存在常数c>0,对任意x∈R,有f(x+c)>f(x-c)成立,所以②不具有性质P.③若f(x)=x3-x,则由f(x+c)>f(x-c)得(x+c)3-(x+c)>(x-c)3-(x-c),整理得3x2+c2>1,所以只要c>1,则f(x+c)>f(x-c)恒成立,所以③具有性质P.所以具有性质P的函数的序号是①③. 答案: ①③ 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若f(x)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2. (1)求a,b的值; (2)若b<1,g(x)=f(x)-mx在[2,4]上单调,求m的取值范围. 解: (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. 当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数, 故⇒⇒ 当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数, 故⇒⇒ (2)∵b<1,∴a=1,b=0, 即f(x)=x2-2x+2. g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2, ∵g(x)在[2,4]上单调, ∴≤2或≥4. ∴m≤2或m≥6. 故m的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞). 18.(12分)如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上. (1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形BNPM面积的最大值. 解: (1)如图,作PQ⊥AF于Q,所以PQ=(8-y)米, EQ=(x-4)米. 又△EPQ∽△EDF, 所以=, 即=. 所以y=-x+10, 定义域为{x|4≤x≤8}. (2)设矩形BNPM的面积为S平方米, 则S(x)=xy=x=-(x-10)2+50, S(x)是关于x的二次函数,且其图象开口向下,对称轴为x=10,所以当x∈[4,8]时,S(x)单调递增. 所以当x=8米时,矩形BNPM的面积取得最大值,为48平方米. 19.(12分)已知函数f(x)=xlnx. (1)试求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程; (2)若x>1,试判断方程f(x)=(x-1)(ax-a+1)的解的个数. 解: (1)f′(x)=lnx+x·=1+lnx, ∴f′(e)=2,又f(e)=e, ∴切线方程为2x-y-e=0. (2)方程f(x)=(x-1)(ax-a+1)的解即为x>1时,方程lnx-=0的解. 设h(x)=lnx-,x>1. 则h′(x)=-=-, x>1. 当a=0时,h′(x)>0,h(x)为增函数,∴h(x)>h (1)=0,方程无解. 当a≠0时,令h′(x)=0得x1=1,x2=. 当a<0,即x2=<1时,∵x>1, ∴h′(x)>0,则h(x)为(1,+∞)上的增函数, ∴h(x)>h (1)=0,方程无解. x∈时,h′(x)<0,h(x)为减函数. 又x→+∞时,h(x)=lnx-ax++2a-1<0,h (1)=0, ∴方程有一个解. 当a≥,即≤1时,
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