绝对值与动点问题七年级培优.docx
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绝对值与动点问题七年级培优
绝对值与动点问题
1.如图,点A、B和线段CD都在数轴上,点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为-2、0、3、12;线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动,移动时间为t秒.
(1)当t=0秒时,AC的长为______,当t=2秒时,AC的长为______;
(2)用含有t的代数式表示AC的长为______;
(3)当t=______秒时AC-BD=5,当t=______秒时AC+BD=15;
(4)若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动,点A的速度为每秒2个单位,在移动过程中,是否存在某一时刻使得AC=2BD,若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
2.阅读下列材料并解决有关问题:
我们知道|x|=
,现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式|x+1|+|x-2|时,可令x+1=0和x-2=0,分别求得x=-1,x=2(称-1,2分别叫做|x+1|与|x-2|的零点值.)在有理数范围内,零点值x=-1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:
(1)当x<-1时,原式=-(x+1)-(x-2)=-2x+1;
(2)当-1≤x≤2时,原式=x+1-(x-2)=3;
(3)当x>2时,原式=x+1+x-2=2x-1.
综上所述,原式=
.通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1)分别求出|x+2|和|x-4|的零点值;
(2)化简代数式|x+2|+|x-4|;
(3)求方程:
|x+2|+|x-4|=6的整数解;
(4)|x+2|+|x-4|是否有最小值?
如果有,请直接写出最小值;如果没有,请说明理由.
3.
(1)阅读下面材料:
点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为|AB|.
当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,|AB|=|OB|=|b|=|a-b|;
当A、B两都不在原点时,
①如图2,点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;
②如图3,点A、B都在原点的左边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;
③如图4,点A、B在原点的两边,|AB|=|OB|+|OA|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|;
(2)回答下列问题:
①数轴上表示2和5两点之间的距离是______,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是______;
②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是______,如果|AB|=2,那么x为______;
③当代数式取|x+1|+|x-2|最小值时,相应的x的取值范围是______;
④求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2015|的最小值.(提示:
1+2+3+…+n=
)
4.已知点A在数轴上对应的数为a,点B对应的数为b,且|a+5|+(b-1)2=0,规定A、B两点之间的距离记作|AB|=|a-b|.
(1)求A、B两点之间的距离|AB|;
(2)设点P在线段AB之间且在数轴上对应的数为x,当|PA|-|PB|=2时,求x的值;
(3)若点P在线段AB之外,N、M分别是PA、PB的中点.对于①|PN|+|PM|的值,②||PN|-|PM||的值.探究①②中值的结果,判断哪个结果的值一定是一个常数,说明理由并求出这个常数.
5.我们知道在数轴上表示两个数x,y的点之间的距离可以表示为|x-y|,比如表示3的点与-2的点之间的距离表示为|3-(-2)|=|3+2|=5;|x+2|+|x-1|可以表示数x的点与表示数1的点之间的距离与表示数x的点与表示数-2的点之间的距离的和,根据图示易知:
当表示数x的点在点A和点B之间(包含点A和点B)时,表示数x的点与点A的距离与表示数x的点和点B的距离之和最小,且最小值为3,即|x+2|+|x-1|的最小值是3,且此时x的取值范围为-2≤x≤1,
请根据以上材料,解答下列问题:
(1)|x+2|+|x-2|的最小值是______;|x+1|+|x-2|=7,x的值为______.
(2)|x+2|+|x|+|x-1|的最小值是______;此时x的值为______.
(3)当|x+1|+|x|+|x-2|+|x-a|的最小值是4.5时,求出a的值及x的值或取值范围.
6.若a、b互为相反数,b、c互为倒数,并且m的立方等于它本身.
(1)试求
+ac值;
(2)若a>1,且m<0,S=|2a一3b|-2|b-m|-|b+
|,试求4(2a一S)+2(2a-S)-(2a-S)的值.
(3)若m≠0,试讨论:
x为有理数时,|x+m|-|x-m|是否存在最大值,若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
7.在数轴上表示a,0,1,b四个数的点如图所示,已知OA=OB,求|a+b|+|
|+|a+1|的值.
8.在学习绝对值后,我们知道,|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离.如:
|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离.而|5|=|5-0|,即|5-0|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离.类似的,有:
|5-3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离;|5+3|=|5-(-3)|,所以|5+3|表示5、-3在数轴上对应的两点之间的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a-b|.
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题:
(1)数轴上表示2和3的两点之间的距离是______;数轴上P、Q两点的距离为3,点P表示的数是2,则点Q表示的数是______.
(2)点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、-3、1,那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______(用含绝对值的式子表示);满足|x-3|+|x+2|=7的x的值为______.
(3)试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|的最小值.
9.阅读下列材料:
我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离;即|x|=|x-0|,也就是说,|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离;
这个结论可以推广为|x1-x2|表示在数轴上数x1,x2对应点之间的距离;
在解题中,我们会常常运用绝对值的几何意义:
例1:
解方程|x|=2.容易得出,在数轴上与原点距离为2的点对应的数为±2,即该方程的x=±2;
例2:
解不等式|x-1|>2.如图,在数轴上找出|x-1|=2的解,即到1的距离为2的点对应的数为-1,3,则|x-1|>2的解为x<-1或x>3;
例3:
解方程|x-1|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知,该方程表示求在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上,1和-2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或-2的左边.若x对应点在1的右边,如图可以看出x=2;同理,若x对应点在-2的左边,可得x=-3.故原方程的解是x=2或x=-3.
参考阅读材料,解答下列问题:
(1)方程|x+3|=4的解为______;
(2)解不等式|x-3|+|x+4|≥9;
(3)若|x-3|-|x+4|≤a对任意的x都成立,求a的取值范围.
10.
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|.
利用数形结合思想回答下列问题:
(1)数轴上表示1和3两点之间的距离______.
(2)数轴上表示-12和-6的两点之间的距离是______.
(3)数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为______.
(4)若x表示一个有理数,且-4<x<2,则|x-2|+|x+4|=______.
11.在解决数学问题的过程中,我们常用到“分类讨论”的数学思想,下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程,请仔细阅读,并解答问题.
【提出问题】三个有理数a,b,c满足abc>0,求
的值.
【解决问题】解:
由题意,得a,b,c三个有理数都为正数或其中一个为正数,另两个为负数.①a,b,c都是正数,即a>0,b>0,c>0时,则
;②当a,b,c中有一个为正数,另两个为负数时,不妨设a>0,b<0,c<0,则
.
综上所述,
值为3或﹣1.
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题:
(1)三个有理数a,b,c满足abc<0,求
的值;
(2)若a,b,c为三个不为0的有理数,且
,求
的值.
12.同学们都知道,|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值,实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离.试探索:
(1)求|5-(-2)|=______.
(2)找出所有符合条件的整数x,使得|x+3|+|x-1|=4这样的整数是______.
(3)由以上探索猜想对于任何有理数x,|x-3|+|x-5|是否有最小值?
如果有写出最小值如果没有说明理由.
13.阅读材料:
我们知道,若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,A、B两点间的距离表示为AB.则AB=|a-b|.所以式子|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离.根据上述材料,解答下列问题:
(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是_____,数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是_____.
(2)数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为_________.
(3)若|x-3|=|x+1|,则x=______;
(4)若|x+4|+|x﹣2|=6,写出满足条件的所有整数x,并求这些整数的和.
答案和解析
1.【答案】解:
(1)2;4;
(2)t+2;
(3)6;11;
(4)假设存在,则点A表示的数为2t-2,C表示的数为t,D表示的数为t+3,B表示的数为12,
∴AC=|2t-2-t|=|t-2|,BD=|t+3-12|=|t-9|,
∵AC=2BD,
∴|t-2|=2|t-9|,
解得t1=16,t2=
.
故在运动的过程中使得AC=2BD,此时运动的时间为16秒和
秒.
【解析】【分析】
本题考查了绝对值、数轴以及一元一次方程的应用,根据数量关系列出一元一次方程是解题的关键.
(1)依据A、C两点间的距离求解即可;
(2)t秒后点C运动的距离为t个单位长度,从而得到点C表示的数;根据A、C两点间的距离求解即可;
(3)t秒后点C运动的距离为t个单位长度,点D运动的距离为t个单位长度,从而可得到点C、点D表示的数;根据两点间的距离表示出AC、BD,根据AC-BD=5和AC+BD=15得到关于t的含绝对值符号的一元一次方程,分别解方程即可得出结论;
(4)假设存在,找出AC、BD,根据AC=2BD即可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程,解方程即可得出结论.
【解答】
解:
(1)当t=0秒时,AC=|-2-0|=|-2|=2;
当t=2秒时,移动后C表示的数为2,
∴AC=|-2-2|=4.
故答案为2;4;
(2)点A表示的数为-2,点C表示的数为t;
∴AC=|-2-t|=t+2.
故答案为t+2;
(3)∵t秒后点C运动的距离为t个单位长度,点D运动的距离为t个单位长度,
∴C表示的数是t,D表示的数是3+t,
∴AC=t+2,BD=|12-(3+t)|,
∵AC-BD=5,
∴t+2-|12-(t+3)|=5.
解得:
t=6.
∴当t=6秒时AC-BD=5;
∵AC+BD=15,
∴t+2+|12-(t+3)|=15,
t=11;
当t=11秒时AC+BD=15,
故答案为6,11;
(4)见答案.
2.【答案】解:
(1)∵|x+2|和|x-4|的零点值,可令x+2=0和x-4=0,解得x=-2和x=4,
∴-2,4分别为|x+2|和|x-4|的零点值.
(2)当x<-2时,|x+2|+|x-4|=-2x+2;
当-2≤x<4时,|x+2|+|x-4|=6;
当x≥4时,|x+2|+|x-4|=2x-2;
(3)∵|x+2|+|x-4|=6,
∴-2≤x≤4,
∴整数解为:
-2,-1,0,1,2,3,4.
(4)|x+2|+|x-4|有最小值,
∵当x=-2时,|x+2|+|x-4|=6,
当x=4时,|x+2|+|x-4|=6,
∴|x+2|+|x-4|的最小值是6.
【解析】本题主要考查了绝对值,解题的关键是能根据材料所给信息,找到合适的方法解答.
(1)根据题中所给材料,求出零点值;
(2)将全体实数分成不重复且不遗漏的三种情况解答;
(3)由|x+2|+|x-4|=6,得到-2≤x≤4,于是得到结果;
(4)|x+2|+|x-4|有最小值,通过x的取值范围即可得到结果.
3.【答案】
(1)3;3;4;
(2)|x+1|;-3或1;(3)-1≤x≤2; (4)1015056
【解析】解:
①数轴上表示2和5两点之间的距离是:
|2-5|=3,
数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是:
|-2+5|=3,
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是:
|1+3|=4,
②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是:
|x+1|,
当|AB|=2,即|x+1|=2,
解得x=-3或1.
③若|x+1|+|x-2|取最小值,那么表示x的点在-1和2之间的线段上,
所以-1≤x≤2.
④解:
当
时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2015|最小,
最小值为1+2+3+…+1007+0+1+2+3+…+1007
=(1+2+3+…+1007)×2
=
=1015056.
故答案为:
3,3,4;|x+1|,-3或1;-1≤x≤2; 1015056
①根据两点间的距离公式即可求解;
②根据两点间的距离公式可求数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离,再根据两点间的距离公式列出方程可求x;
③求|x+1|+|x-2|的最小值,意思是x到-1的距离之和与到2的距离之和最小,那么x应在-1和2之间的线段上;
④根据提示列出算式计算即可求解.
本题考查了数轴,涉及的知识点为:
数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值.绝对值是正数的数有2个.
4.【答案】解:
(1)∵|a+5|+(b-1)2=0,
∴a=-5,b=1,
|AB|=|a-b|=|-5-1|=6;
(2)因为P在A、B之间|PA|=|x-(-5)|=x+5,|PB|=|x-1|=1-x
∵||PN|-|PM||,
∴x+5-(1-x)=2,
∴x=-1;
(3)②||PN|-|PM||的值是一个常数
当点P在线段AB的左侧时
有|PN|-|PM|=
|PB|-
|PA|=
(|PB|-|PA|)=
|AB|=3;
当点P在线段AB的右侧时
有|PN|-|PM|=
|PB|-
|PA|=
(|PB|-|PA|)=-
|AB|=-3;
∴点P在线段AB之外时总有||PN|-|PM||=3,
而|PN|+|PM|的结果与点P位置有关,不为常数,
∴||PN|-|PM||的值为常数,这个常数为3.
【解析】
(1)根据绝对值与平方的和0,可得绝对值、平方同时为0,根据两点间的距离公式,可得答案;
(2)根据两点间的距离公式,可得答案;
(3)根据分类讨论,可得,||PN|-|PM||的值,可得答案.
题考查了绝对值,两点间的距离公式是解题关键,(3)要分类讨论,要不重不漏.
5.【答案】解:
(1)4;-3或4;
(2)3;0
(3)由图可得,只有当a=1.5且0≤x≤1.5或a=-1.5且-1≤x≤0时,|x+1|+|x|+|x-2|+|x-a|的最小值是4.5,
∴当|x+1|+|x|+|x-2|+|x-a|的最小值是4.5时,a=1.5且0≤x≤1.5或a=-1.5且-1≤x≤0.
【解析】解:
(1)根据绝对值的几何意义可得,当-2≤x≤2时,|x+2|+|x-2|的最小值是4;
当x<-1时,-x-1-x+2=7,解得x=-3,
当-1≤x<2时,x+1+2-x=7,方程无解,
当x≥2时,x+1+x-2=7,解得x=4,
∴x的值为-3或4,
故答案为:
4;-3或4;
(2)根据绝对值的几何意义可得,当x=0时,|x+2|+|x|+|x-1|的最小值是3,
故答案为:
3;0;
(3)见答案.
(1)根据绝对值的几何意义,得出|x+2|+|x-2|的最小值;
(2)根据绝对值的几何意义,得出|x+2|+|x|+|x-1|的最小值;
(3)画出数轴,分两种情况进行讨论:
当a=1.5且0≤x≤1.5或a=-1.5且-1≤x≤0时,|x+1|+|x|+|x-2|+|x-a|的最小值是4.5.
本题主要考查了数轴以及绝对值的几何意义的运用,一个数x的绝对值的几何意义是:
在数轴上表示这个数x的点离远点(表示数0)的距离,x的绝对值表示为|x|.解题时注意分类思想的运用.
6.【答案】解:
(1)∵a+b=0,bc=1,
∴ac=-1
∴
+ac=0-1=-1
(2)∵a>1,
∴b<-1,2a-3b>0,b+
<0
∵m的立方等于它本身,且m<0
∴m=-1,b-m=b+1<0
∴s=2a-3b+2b+2+b+
=2a+
∴2a-s=-
4(2a-S)+2(2a-S)-(2a-S)
=5(2a-S)
=-
;
(3)若m≠0,此时m=±1
①若m=1,则|x+m|-|x-m|=|x+1|-|x-1|
当x≤-1时
|x+1|-|x-1|=-x-1+x-1=-2
当-1<x≤1时
|x+1|-|x-1|=x+1+x-1=2x
当x>1时
|x+1|-|x-1|=x+1-x+1=2
∴当x为有理数时,存在最大值为2;
②若m=-1
同理可得:
当x为有理数时,存在最大值为2.
综上所述,当m=±1,x为有理数时,|x+m|-|x-m|存在最大值为2.
【解析】
(1)先根据a、b互为相反数,b、c互为倒数,得出a+b=0,bc=1,再代入所求代数式进行计算;
(2)根据a>1及m的立方等于它本身把S进行化简,再代入所求代数式进行计算;
(3)根据若m≠0,可知m=±1,①当m=1时,代入|x+m|-|x-m|,再根据绝对值的性质去掉绝对值符号,求出代数式的值,
②同理,当m=-1时代入所求代数式,再根据绝对值的性质去掉绝对值符号,求出代数式的值,即可.
本题考查的是绝对值的性质,相反数及倒数的定义,代数式求值,熟知以上知识是解答此题的关键.
7.【答案】解:
由已知条件和数轴可知:
b>1>0>-1>a,
∵OA=OB,
∴|a+b|+|
|+|a+1|=0+1-a-1=-a.
故|a+b|+|
|+|a+1|的值为:
-a.
【解析】由已知条件和数轴可知:
b>1>0>-1>a,再由这个确定所求绝对值中的正负值就可求出此题.
此题主要考查了学生数轴和绝对值的定义,即正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值还是0.数轴左边的为负数,右边的为正数.
8.【答案】
(1)1 -1或5 |x+3|+|x-1|
(2)-3或4
(3)|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|=(|x-1|+|x-100|)+(|x-2|+|x-99|)+…+(|x-50|+|x-51|)|x-1|+|x-100|表示数轴上数x的对应点到表示1、100两点的距离之和,
当1≤x≤100时,|x-1|+|x-100|有最小值为|100-1|=99;|x-2|+|x-99|表示数轴上数x的对应点到表示2、99两点的距离之和,
当2≤x≤99时,|x-2|+|x-99|有最小值为|99-2|=97;
…|x-50|+|x-51|表示数轴上数x的对应点到表示50、51两点的距离之和,
当50≤x≤51时,|x-50|+|x-51|有最小值为|51-50|=1.
所以,当50≤x≤51时,|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|有最小值为:
99+97+95+…+3+1=(99+1)+(97+3)+…+(51+49)=100×25=2500.
【解析】解:
(1)数轴上表示2和3的两点之间的距离是3-2=1;
数轴上P、Q两点的距离为3,点P表示的数是2,则点Q表示的数是2-3=-1或2+3=5;
(2)A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+3|+|x-1|,
∵|x-3|+|x+2|=7,
当x<-2时,3-x-x-2=7,x=-3,
当-2≤x≤3时,x不存在.
当x>3时,x-3+x+2=7,x=4.
故满足|x-3|+|x+2|=7的x的值为-3或4.
(3)当绝对值的个数为奇数时,取得最小值x是其中间项,而当绝对值的个数为偶数时,则x取中间两项结果一样.从而得出对于|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-100|,当50≤x≤51时取得最小值.
此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容,用几何方法借助数轴来求解,非常直观,且不容易遗漏,体现了数形结合的优点.
9.【答案】1或-7
【解析】解:
(1)根据绝对值得意义,方程|x+3|=4表示求在数轴上与-3的距离为4的点对应的x的值为1或-7.
(2)∵3和-4的距离为7,
因此,满足不等式的解对应的点3与-4的两侧.
当x在3的右边时,如图,
易知x≥4.
当x在-4的左边时,如图,
易知x≤-5.
∴原不等式的解为x≥4或x≤-5
(3)原问题转化为:
a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值.
∵当x≥3时,|x-3|-|x+4|应该恒等于-7,
当-4<x<3,|x-3|-|x+4|=-2x-1随x的增大而减小,
∴-7<|x-3|-|x+4|<7,
∵当x≤-4时,|x-3|-|x+4|=7,
∴|x-3|-|x+4|的最大值为7.
故a≥7.
仔细阅读材料,根据绝对值的意义,画出图形,来解答.
本题是一道材料分析题,通过阅读材料,同学们应当深刻理解绝对值得几何意义,结合数轴,通过数形结合对材料进行分析来解答题目.由于信息量较大,同学们不要产生畏惧心理.
10.【答案】
(1)2
(2) 6
(3)|x-1|
(4)6
【解析】解:
(1)数轴上表示1和3两点之间的距离为|3-1|=2;
(2)数轴上表示-12和-6的两点之间的距离是|-6-(-12)|=6;
(3)数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为|x-1|;
(4)∵-4<x<2,
∴|x-2|+|x+4|=|-4-2|=6,
故答案为:
2,6,|x-1|,6.
(1)依据在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|,即可得到结果.
(2)依据在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|,即可得到结果.
(3)依据在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|,即可得到结果.
(4)依据-4<x<2,可得表示x的点在表示-4和2的两点之间,即可得到|x-2|+|x+4|的值即为|-4-2|的值.
本题考查的是绝对值的几何意义,两点间的距离,理解绝对值的几何意义是解决问题的关键.
11.【答案】解:
(1)∵abc<0,
∴a,b,c都是负数或其中一个为负数,另两个为正数,
①当a,b,c都是负数,即a<0,b<0,c<0时,
则:
=
+
+
=-1-1-1=-3;
②a,b,c有一个为负数,另两个为正数时,设a<0,b>0,c>0,
则
=
+
+
=-1+1+1=1.
(2)∵a,b,c为三个不为0的有理数,且
,
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