第一讲平面直角坐标系与函数的认识.docx
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第一讲平面直角坐标系与函数的认识
第一讲:
平面直角坐标系与函数的认识
一、知识思维导
二、考点
三、重要知识点
1.平面内点的坐标特征。
2.点或图像在坐标系中的平移。
3.平面直角坐标系中简单图形面积的求法
4.函数的概念,能够判断是否是函数。
5.自变量的取值范围。
6.读取函数图象中的信息。
四、课前热身练习、讲解与知识串联
1、已知点p的坐标为(2-a,3a+6),且点p到两坐标轴的距离相等,求点p的坐标。
(ws1-7)
【1解】∵点P的坐标为(2-a,3a+6),且点P到两坐标轴的距离相等,∴|2-a|=|3a+6|即2-a=±(3a+6);当2-a=3a+6,a=-1;当2-a=-(3a+6),a=-4∴P点坐标为(3,3)或(6,-6).
【考点】点的坐标.
【分析】根据到两坐标轴的距离相等的点的特点解答即可.
【解答】解:
∵点P的坐标为(2-a,3a+6),且点P到两坐标轴的距离相等,∴2-a=3a+6或(2-a)+(3a+6)=0;解得:
a=-1或a=-4,∴P点坐标为(3,3)或(6,-6).
【点评】解答此题的关键是熟知到两坐标轴的距离相等的点的特点是:
横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数.
2、如图1,A,B的坐标分别为(2,0),(0,1)若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为_____.(ws7-9)
【2解】可以设A1(2+x,0+y),B1(0+x,1+y),可得2+x=3,1+y=2,解得x=1,y=1.a=0+x=1,b=0+y=1,a+b=1+1=2.
【知识链接:
用坐标表示平移】
(1)平移:
把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离,图形的这种移动,叫做平移。
平移后图形的位置改变,形状、大小不变。
(2)在平面直角坐标系内:
如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。
(3)图形平移与点的坐标变化之间的关系:
①左、右平移:
原图形上的点(x、y),向右平移a个单位(x+a,y);原图形上的点(x、y),向左平移a个单位(x-a,y);
②上、下平移:
原图形上的点(x、y),向上平移a个单位(x,y+b);原图形上的点(x、y),向下平移a个单位(x,y-b)。
【用坐标表示平移】
1.平移:
把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离, 图形的这种移动,叫做平移。
平移后图形的位置改变,形状、大小不变。
2.在平面直角坐标系内:
如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。
3.图形平移与点的坐标变化之间的关系:
(1)左、右平移:
原图形上的点(x、y),向右平移a个单位(x+a,y);
原图形上的点(x、y),向左平移a个单位(x-a,y);
(2)上、下平移:
原图形上的点(x、y),向上平移a个单位(x,y+b);
原图形上的点(x、y),向下平移a个单位(x,y-b)。
【用坐标表示平移】
1.平移:
把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离, 图形的这种移动,叫做平移。
平移后图形的位置改变,形状、大小不变。
2.在平面直角坐标系内:
如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。
3.图形平移与点的坐标变化之间的关系:
(1)左、右平移:
原图形上的点(x、y),向右平移a个单位(x+a,y);
原图形上的点(x、y),向左平移a个单位(x-a,y);
(2)上、下平移:
原图形上的点(x、y),向上平移a个单位(x,y+b);
原图形上的点(x、y),向下平移a个单位(x,y-b)。
3、如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1),将线段AB平移,使其一个端点到C(3,2),则平移后另一端点的坐标为______.(qp7-14)
【考点】坐标与图形变化-平移.
【分析】分两种情况①当A平移到点C时,②当B平移到点C时,分别利用平移中点的变化规律求解即可.
【解答】解:
①如图1,当A平移到点C时,
∵C(3,2),A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1),
∴点A的横坐标增大了1,纵坐标增大了2,
平移后的B坐标为(1,3),
②如图2,当B平移到点C时,
∵C(3,2),A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1),
∴点B的横坐标增大了3,纵坐标增大2,
∴平移后的A坐标为(5,1),
故答案为:
(1,3)或(5,1).
【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律,关键要理解在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同,从而通过某点的变化情况来解决问题.平移中点的变化规律是:
横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减
4、如图,四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(-2,3)、B(-3,1)、C(1,-2)、D(2,2).求四边形ABCD的面积.(qp8-7类似)
【解答】
(1)如图所示:
(2)四边形ABCD的面积=
=25-1-2-2-6=14.
5、下列四个图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是( )
A
B
C
D
【问题解析】利用函数的定义,对于给定的x的值,y都有唯一的值与其对应,进而判断得出.
【解答】在图象A,B,C中,每给x一个值,y都有2个值与它对应,所以A,B,C中y不是x的函数,
在D中,给x一个正值,y有一个值与之对应,所以y是x的函数.
故选:
D.
【本题考点】函数的概念.
【考点点评】本题考查函数的定义.利用函数定义结合图象得出是解题关键.
【易错分析】函数概念不清晰。
6、(2016•黄石)如图所示,向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水,则能够反映容器内水的体积y与容器内水深x间的函数关系的图象可能是( )。
A.
B.
C.
D.
【考点】函数的图象.
【分析】水深h越大,水的体积v就越大,故容器内水的体积y与容器内水深x间的函数是增函数,根据球的特征进行判断分析即可.
【解答】解:
根据球形容器形状可知,函数y的变化趋势呈现出,当0<x<R时,y增量越来越大,当R<x<2R时,y增量越来越小,
曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大,后又逐渐变小,故y关于x的函数图象是先凹后凸.
故选A.
【点评】本题主要考查了函数图象的变化特征,解题的关键是利用数形结合的数学思想方法.解得此类试题时注意,如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象。
(2016•青海)如图,在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG,动点P从点A出发,沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B),则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
【考点】动点问题的函数图象.
【专题】压轴题.
【分析】根据点P在AD、DE、EF、FG、GB上时,△ABP的面积S与时间t的关系确定函数图象.
【解答】解:
当点P在AD上时,△ABP的底AB不变,高增大,所以△ABP的面积S随着时间t的增大而增大;
当点P在DE上时,△ABP的底AB不变,高不变,所以△ABP的面积S不变;
当点P在EF上时,△ABP的底AB不变,高减小,所以△ABP的面积S随着时间t的减小;
当点P在FG上时,△ABP的底AB不变,高不变,所以△ABP的面积S不变;
当点P在GB上时,△ABP的底AB不变,高减小,所以△ABP的面积S随着时间t的减小;
故选:
B.
【点评】本题考查的是动点问题的函数图象,正确分析点P在不同的线段上△ABP的面积S与时间t的关系是解题的关键
7、小李和小陆从A地出发,骑自行车沿同一条路行驶到B地,他们离出发地的距离S(单位:
km)和行驶时间t(单位:
h)之间的函数关系的图象如图所示,根据图中的信息,有下列说法:
(1)他们都行驶了20km;
(2)小陆全程共用了1.5h;
(3)小李和小陆相遇后,小李的速度小于小陆的速度
(4)小李在途中停留了0.5h。
其中正确的有()
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【解答】:
注意横纵坐标的表示意义,根据图示信息分别对4种说法进行判断:
(1)根据图形的纵坐标可得:
他们都骑行了20km,故说法正确;
(2)根据图形的横坐标可得:
小陆全程共用了2-0.5=1.5h,故说法正确;
(3)从图形的横坐标看,小李和小陆相遇后,相同的路程,小陆用了1h,小李用了1.5h,所以小李的速度小于小陆的速度,故说法正确;
(4)从图形的横坐标看,小李在途中停留了1-0.5=0.5h,故说法正确。
综上所述,4个说法都正确。
故选A。
【点评】此题主要考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.同学们要注意分析其中的“关键点”,还要善于分析各图象的变化趋势.
8、(2016•恩施州)函数y=
的自变量x的取值范围是( )
A.x≥-1
B.x≥-1且x≠2
C.x≥-1且x≠±2
D.x>-1且x≠2
【考点】函数自变量的取值范围.
【分析】根据二次根式有意义的条件是:
被开方数是非负数,以及分母不等于0,据此即可求解.
【解答】解:
根据题意得:
x+1≥0且x2−4≠0,解得x≥-1且x≠2.故选:
B.
【点评】本题考查了二次根式的意义和性质.概念:
式子
(a≥0)叫二次根式.性质:
二次根式中的被开方数必须是非负数,否则二次根式无意义.
五、解题思路(方法)归纳总结(***)
(一)平面内点的坐标特征相关题型的解答思路:
①限内点的坐标特征是:
第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-)。
②x轴上的点的坐标特征是:
“纵0横任意”;y轴上的点的坐标特征是:
“横0纵任意”。
③在一、三象限的两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征是:
横坐标=纵坐标。
在二、四象限的两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标特征是:
横坐标+纵坐标=0。
④点P(a,b)关于X轴对称的点的坐标是:
(a,-b);关于Y轴对称的点的坐标是:
(-a,b);关于原点对称的点的坐标是:
(-a,-b)。
(二)点或图像在坐标系中的平移:
这类题型主要考察图形在坐标系中的平移,图形在平面直角坐标系上的平移实质是点坐标的对应变换,点的平移的变化规律是“左减右加”、“上加下减”。
让学生在理解的基础上加以消化掌握,不能死记硬背,只要正确作出图形即可知道变化情况。
(三)平面直角坐标系中简单图形面积的求法:
常用“割补法”。
割:
分割,把图形分割成几部分容易求解的图形,分别求解,然后相加即可。
补:
补齐,把图形补成一个容易求解的图形,然后再减去补上的那些部分。
①当三角形的一边在坐标轴上时,往往可以把这一边看做底边,把另一顶点到坐标轴的垂线段作为高,然后再求面积(“直接求法”).当图形平移到坐标轴上其他位置时一样可以用这种方法求解.
②对于三条边都不在坐标轴上的三角形来说,求面积时一般通过构造特殊图形来解决问题(“补法”),如在这道题中我们将△AOB的面积转化为一个矩形的面积与三个小三角形的面积之差.如果将三角形平移到平面直角坐标系内其他位置,解题方法类似.
③四边形的面积往往可以转化成一个矩形的面积与一些小三角形面积的差(或和)的形式,(“差”为“补”法,“和”为“割”法)这已成为解决平面直角坐标系中图形面积问题的基本方法.
(四)函数的辨别。
①利用函数图像辨别函数思想与方法:
熟悉函数定义.利用函数定义结合图象得出是解题关键.因变量“唯一”是“关键点”。
本类题目易错原因是函数概念不清晰。
②函数图像分析类题型:
本类题型主要考查了函数图象的变化特征,解题的关键是利用数形结合的数学思想方法.学生应学会从图象中读取信息的数形结合能力.学会“文字变图像,图像变文字”的互相转化过程。
同学们要注意分析其中的“关键点”,还要善于分析各图象的变化趋势,还应特别注意函数自变量的取值范围.解得此类试题时注意,如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象。
(五)函数自变量的取值范围解题思路
在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况:
⑴函数关系式为整式形式:
自变量取值范围为任意实数;⑵函数关系式为分式形式:
分母≠0;⑶函数关系式含算术平方根:
被开方数≥0;⑷函数关系式含0指数:
底数≠0.式子中含有多类型算式的,各方面都要考虑到,易错点是考虑不周全。
在实际问题中确定自变量的取值范围,主要考虑两个因素:
⑴自变量自身表示的意义.如时间、用油量等不能为负数.⑵问题中的限制条件.此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围.
几何问题中的函数关系式,除使函数式有意义外,还需考虑几何图形的构成条件及运动范围.特别要注意的是在三角形中“两边之和大于第三边”.
(六)函数图象信息题解题方法
图象信息题是由图象给出数据信息,探求变量之间关系,再综合运用有关函数知识加以分析,从而解决实际问题的题型.这类问题来源广泛,蕴含信息丰富,能培养学会收集、整理和加工信息的能力,是近年来中考的热点.
解决这类问题的步骤可分为以下四步:
①认真观察图象(表),捕捉有关信息.
②对已获信息进行加工,分清变量之间的关系.
③选择适当的数学知识,通过建模加以解决.
(1)
④不忘检验,去伪存真,写出答案.
六、课堂练习
1、已知点A(a+2,5),B(-4,1-2a),若AB平行于x轴,则a的值为( )
A.-63、B.24、C.35、D.-2
2、P(x-1,x+1)不可能在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.请你观察图中正方形A1B1C1D1,A2B2C2D2,A3B3C3D3……每个正方形四条边上的整点的个数.按此规律推算出正方形A10B10C10D10四条边上的整点共有_______个.
4、如图,已知A、B两村庄的坐标分别为(2,2)、(7,4),一辆汽车在x轴上行驶,从原点O出发.
(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?
写出此点的坐标;
(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?
写出此点的坐标;
(3)请在图中画出汽车行驶到什么位置时,距离两村的和最短?
5、在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位.其行走路线如图所示.
(1)填写下列各点的坐标:
A1______,A3______,A12______;
(2)设n是4的倍数,写出连续四点An-1,An,An+1,An+2的坐标(n是正整数);
(3)指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向.
6、如图,A、B的坐标分别为(2,1)、(a,3),若将线段AB平移到至A1B1,A1、B1的坐标分别为(1,0)、(0,b),则a+b=______.
7、如图,四边形ABCO在平面直角坐标系中,且A(1,4),B(5,2),C(6,0),O(0,0),求四边形ABCO的面积。
8、如图,四边形ABCD各个顶点的坐标分别为(-2,8),(-11,6),(-14,0),(0,0)。
(1)确定这个四边形的面积,你是怎么做的?
(2)如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变,横坐标增加2,所得的四边形面积又是多少?
9、如图,O为原点,A、B、C、D点的坐标分别为A(3,6)、B(-2,0)、C(6,0)、D(4.5,3).求四边形ABOD的面积.
10、下图分别给出了变量x与y之间的对应关系,其中y是x的函数是( )
A.
B.
C.
D.
11、(2015•盘锦)如图,边长为1的正方形ABCD,点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动,点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动,当一个点到达点B时,另一个点也随之停止运动,设△AMN的面积为s,运动时间为t秒,则能大致反映s与t的函数关系的图象是( )
A.
B.
C.
D.
八、课后作业(错题重做与课堂知识点相关习题)
1.在平面直角坐标系中,若点A(a,-b)在第一象限内,则点B(a,b)所在的象限是( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.如图为A、B、C三点在坐标平面上的位置图.若A、B、C的x坐标的数字总和为a,y坐标的数字总和为b,则a-b之值为何?
( )
A.5
B.3
C.-3
D.-5
3.已知点P(0,m)在y轴的负半轴上,则点M(-m,-m+1)在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.将点A(3,2)向左平移4个单位长度得点A′,则点A′关于y轴对称的点的坐标是( )
A.(-3,2)
B.(-1,2)
C.(1,-2)
D.(1,2)
5.如图,将△PQR向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,则顶点P平移后的坐标是( )
A.(-2,-4)
B.(-2,4)
C.(2,-3)
D.(-1,-3)
6.在平面直角坐标系中,将点A(1,-2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点A′,则点A′的坐标是( )
A.(-1,1)
B.(-1,-2)
C.(-1,2)
D.(1,2)
7、下列图象分别给出了x与y的对应关系,其中y是x的函数的是( )
A.
B.
C.
D.
二.填空题(共7小题)
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到,则点P的坐标为。
9.如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点A(3/2,0),B(0,2),则点B2016的坐标为.
10.如图,点A、B的坐标分别为(1,2)、(4,0),将△AOB沿x轴向右平移,得到△CDE,已知DB=1,则点C的坐标为.
11.已知点P(3-m,m)在第二象限,则m的取值范围是。
12.如图,点A1的坐标为(1,0),A2在y轴的正半轴上,且∠A1A2O=30°,过点A2作A2A3⊥A1A2,垂足为A2,交x轴于点A3;过点A3作A3A4⊥A2A3,垂足为A3,交y轴于点A4;过点A4作A4A5⊥A3A4,垂足为A4,交x轴于点A5;过点A5作A5A6⊥A4A5,垂足为A5,交y轴于点A6;…按此规律进行下去,则点A2016的纵坐标为.
13.函数
的自变量x的取值范围是.
14.如图①,四边形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度,按A→B→C→D的顺序在边上匀速运动,设P点的运动时间为t秒,△PAD的面积为S,S关于t的函数图象如图②所示,当P运动到BC中点时,△PAD的面积为。
三.解答题(共4小题)
15.某洗衣机在洗涤衣服时,经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程,其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示,根据图象解答下列问题:
(1)在这个变化过程中,自变量、因变量是什么?
(2)洗衣机的进水时间是多少分钟?
清洗时洗衣机的水量是多少升?
(3)若排水速度与进水速度相同,那么:
①洗衣机淸洗衣服所用的时间是多少分钟?
②求洗衣机排水时水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系式.
16.某剧院的观众席的座位为扇形,且按下列分式设置:
排数(x)
1
2
3
4
…
座位数(y)
50
53
56
59
…
(1)按照上表所示的规律,当x每增加1时,y如何变化?
(2)写出座位数y与排数x之间的关系式;
(3)按照上表所示的规律,某一排可能有90个座位吗?
说说你的理由.
17.在平面直角坐标系xOy中,O为原点,点A(2,0),点P(1,m)(m>0)和点Q关于x轴对称.过点P作PB∥x轴,与直线AQ交于点B,如果AP⊥BO,求点P的坐标.
18.如图,长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,A点的坐标为(4,0),C点的坐标为(0,6),点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O-A-B-C-O的路线移动(即:
沿着长方形移动一周).
(1)写出点B的坐标.
(2)当点P移动了4秒时,描出此时P点的位置,并求出点P的坐标.
(3)在移动过程中,当点P到x轴距离为5个单位长度时,求点P移动的时间.
19、巫溪某中学组织初一初二学生举行“四城同创”宣传活动,从学校坐车出发,先上坡到达A地后,宣传8分钟;然后下坡到B地宣传8分钟返回,行程情况如图.若返回时,上、下坡速度仍保持不变,在A地仍要宣传8分钟,那么他们从B地返回学校用的时间是( )
A.45.2分钟B.48分钟C.46分钟D.33分钟
20(2012•武汉)甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒.在跑步过程中,甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示,给出以下结论:
①a=8;②b=92;③c=123.其中正确的是( )
A.①②③B.仅有①②C.仅有①③D.仅有②③
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