高考圆锥曲线部分大题解析.docx
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高考圆锥曲线部分大题解析
1.【2018 浙江 21】如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线
C :
y 2 = 4 x 上存在不同的两点 A, B 满足 PA, PB 的中点均在 C 上。
(1) 设 AB 中点为 M ,证明:
PM 垂直于 y 轴;
(2) 若 P 是半椭圆 x2 +
y 2
4
= 1(x < 0) 上的动点,求 ∆PAB 面积的取值范围。
1
001122
AP 中点满足:
(
0
x 2 +
0
2 2
y 2
1
4 )
BP 中点满足:
BP :
(
0
x 2 +
0
2 2
y 2
2
4 )
12
x 2 +
0
y 2
4 ) 即 y 2 - 2 y y + 8 x - y 2 = 0 的两
0 0 0
2
个根,所以 y1 + y 2 = y ,故 PM 垂直于 y 轴。
0
1 / 19
(2)由
(1)可知 y + y = 2 y , y ⋅ y = 8 x - y
120120
0
2
所以 | PM |=
1
8
( y 2 + y 2 ) - x =
1 2 0
3
0 1 2 0 0
因此, S
∆PAB
3
= | PM | ⋅ | y - y |= ( y 2 - 4 x ) 2
1 2 0 0
因为 x 2 +
0
y 2
0
4
= 1(x < 0) ,所以 y 2 - 4 x = -4 x 2 - 4 x + 4 ∈ [4,5]
0 0 0 0 0
因此, ∆PAB 面积的取值范围是[6 2, 15 10 ]
4
1. 距离型问题
2.【2018 全国 3 理 20】已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C :
x2 y 2
+ = 1 交于 A, B 两点,
4 3
线段 AB 的中点为 M (1,m)(m > 0)
(1)证明:
k < - 1 ;
2
(2)设 F 为 C 的右焦点, P 为 C 上一点且 FP + FA + FB = 0 ,证明:
FP, FA, FB 为
等差数列,并求出该数列的公差。
2 / 19
解析:
(1)由中点弦公式 k ⋅ k
OM
=-
b2 3
,解得 k = -
a 2 4m
又因为点 M 在椭圆内,故 0 < m <
3 1
,故 k < -
2 2
21
(2)由题意知 FA + FB = 2 FM , FP = -2 FM ,故 P(1,-2m)
3
k = -1 ,即 | FP |=
42
1
x ,| FB |= 2 -x
1
1
| FA | + | FB |= 4 -( x + x )
2
⎧ x2y 2
+= 1
联立 ⎨
⎪ y = - x + 7
⎪⎩4
1 1
⇒ 7 x2 - 14 x + = 0 ⇒ x + x = 2, x x =
1 2 1 2
21
即 | FA | + | FB |= 4 - 1 ( x + x ) = 3
2
故满足 2 | FP |=| FA | + | FB | ,所以 FP, FA, FB 为等差数列
设其公差为 d ,因为 A, B 的位置不确定,则有
11
2d = ± || FA | - | FB ||= ±| x - x |= ±( x + x )2 - 4 x x
12121 2
3 21
d = ±
1428
3.【2018 全国 3 文 20】已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C :
线段 AB 的中点为 M (1,m)(m > 0)
x2 y 2
+ = 1 交于 A, B 两点,
4 3
3 / 19
(1)证明:
k < - 1 ;
2
(2)设 F 为 C 的右焦点, P 为 C 上一点且 FP + FA + FB = 0 ,证明
2 | FP |=| FA | + | FB | 。
解析:
(1)设 A( x , y ), B( x , y ) ,则
1122
x 2 y 2 x 2 y 2 y - y
1 + 1 = 1, 2 + 2 = 1 ,因为 k = 2 1
4 3 4 3 x - x
2 1
y + y
12 +1
43
2 k = 0
11
y + y
2 2
2 = m 即 x + x
1 2
= 2, y + y = 2m 代入上式得
1 2
31
,又因为点 M 在椭圆内,故 0 < m <,故 k < -
4m22
(2) F (1,0) ,设 P( x , y ) ,
33
FP + FA + FB = 0 ⇒ ( x -1, y ) + ( x -1, y ) + ( x -1, y ) = 0 即
331122
x = 3 - ( x + x ) = 1, y = -( y + y ) = -2m 因为点 P 在椭圆上,代入得
312312
m = 333
422
因为 | FA |= ( x - 1)2 + y 2 = 2 -
11
x x
1 ,同理得 | FB |= 2 - 2
2 2
21
故 | FA | + | FB |= 4 - 1 ( x + x ) = 3
2
所以 2 | FP |=| FA | + | FB |
注意:
文理科题目相同,但是给出的解题思路是不同的。
4 / 19
4.【2018 天津 理 19】设椭圆
x2 y 2
+
a2 b2
= 1 的左焦点为 F ,上顶点为 B .已知椭圆的离心
率为5 ,点 A 的坐标为 (b,0) ,且 | FB | ⋅ | AB |= 6 2
3
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线 l :
y = kx(k > 0) 与椭圆在第一象限的交点为 P ,且 l 与直线 AB 交于点 Q ,
5 2
| PQ |4
解析:
(1)由题意知:
e2 =
c2 a 2 - b2 5
a 2 a 2 9
由 | FB | ⋅ | AB |= 6 2 知 ab = 6 ,解得 a = 3, b = 2
x2y 2
故椭圆方程为
+= 1
94
(2)设 P( x , y ), P( x , y ) ,则 | PQ |=y1 - y2
1122
| AQ |= 2 y
2
| AQ |5 25
=sin ∠AOQ ⇒=⇒ 5 y = 9 y
1
12
2
(得到一个等量关系,然后用 k 分别表示出 y , y )
12
5 / 19
⎧ y = kx
⎧ y = kx2k⎪6k
⇒ y =, ⎨ x2y 2⇒ y =
21
⎩ 94
分别代入上式得
30k111
k =或 k =
1 + k228
5.【2018 江苏 18】如图,在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 过点 ( 3, 1 ) ,焦点
2
F (- 3,0), F ( 3,0) ,圆 O 的直径为 F F 。
1212
(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程;
(2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P
(i)设直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标;
(ii)直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点.若 ∆OAB 的面积为 2 6 ,求直线 l 的方程。
7
解析:
(1)设椭圆方程为
x2 y 2 1
+
a2 b2 2
⎪+= 1
⎨ a24b2
⎪a2 - b2 = 3
⎧a2 = 4 x2
4
+ y 2 = 1
又因为圆 O 的直径为 F F ,故圆的方程为 x2 + y 2 = 3
12
(2)(i)本题有两种解法:
法一:
椭圆和圆有公切线时求点 P 的坐标,可先设公切线方程为 y = kx + b
6 / 19
然后根据直线分别与圆和椭圆相切求出 k , b 的值,再求出点 P 的坐标,
这个方法很容易想到,但是需要两次计算相切时的条件。
法二:
题目中让求点 P 的坐标,不如一开始就设出点 P 的坐标,利用点 P 的
坐标表示出切线方程,然后直线与椭圆联立, ∆ = 0 即可求出点 P 的坐
标。
这里我们选用第二种方法:
y
设直线与圆的切点 P( x , y ) ,则满足 x 2 + y
000
y - y =- x0 ( x - x ) 即 y = -
x3
0 x +
yy
00
00
0
0
2
= 3 ,故直线 l 的方程为:
⎧x
y =-0 x +
y
0
⎪ x2 + y 2 = 1
⎪⎩ 4
3
y
0 ⇒ (4 x 2 + y 2 ) x2 - 24 x x + 36 - 4 y 2 = 0
(1)
0 0 0 0
因为直线 l 与椭圆有且只有一个交点,故 ∆ = 0 ,即
∆ = (-24 x )2 - 4(4 x 2 + y 2 )(36 - 4 y 2 ) = 48 y 2 ( x 2 - 2) = 0
000000
因为点 P 位于第一象限,即 x > 0, y > 0 ,故 x = 2, y = 1
0000
所以点 P 的坐标为 ( 2,1)
(ii)分析:
第二问由于 ∆OAB 的高即为圆的半径,故由面积可以得出弦长
AB 的值,根据弦长再求出直线方程,最容易想到的就是设出直线方程
y = kx + b ,根据直线与圆相切可得 b2 = 3k 2 + 3 ,然后直线与椭圆联立,根据
韦达定理写出弦长公式,将 k 或 b 转化成一个,求出即可,但是计算过程很麻
烦,下面给出同一个方法的两种不同解法:
7 / 19
解析:
设直线方程为 y = kx + b , A( x , y ), B( x , y ) ,根据直线与圆相切得
1122
b2 = 3k 2 + 3
⎧ y = kx + b
⎪
⎨ x2
⎩ 4
⇒ (1+ 4k 2 ) x2 + 8kbx + 4b2 - 4 = 0
1 + 4k 2 1 + 4k 2
x + x =-
12
8kb 4b2 - 4
x x =
1 2
| AB |= 1 + k
2
8kb 16b2 -16 4 2
( x + x )2 2 ⋅ ( )2 - =
1 2 1 2
将 b2 = 3k 2 + 3 代入得 1 + k 2 ⋅
64k 2 (3k 2 + 3) 16(3k 2 + 3) -16 4 2
- =
(1+ 4k 2 )2 1 + 4k 2 7
注意此处,根据韦达定理得出的两根和与积的形式本来很复杂,如果利用上式
还需要进行平方,再将 b 转化为 k 的形式计算起来相当复杂,因此我们要想办
法避开平方,因此不如直接根据直线与椭圆联立的方程解出两根,再利用弦长
公式,就可以避开平方的出现,解法也会简单一些。
4k 2 + 1 4k 2 + 1
(1+ 4k 2 ) x2 + 8kbx + 4b2 - 4 = 0 ⇒ x=
1,2
4 4k 2 + 1 - b24 k 2 - 2
| x - x |==
12
-8kb ± 4k 2 + 1 - b2
2(1+ 4k 2 )
4 k 2 - 24 2
| AB |= 1 + k 22 ⋅=
12
解得 k 2 = 5, b2 = 18
所以 k = - 5, b = 3 2 ,直线方程为 y = - 5 x + 3 2
5.定值问题
6.【2018 全国 1 理】设椭圆 C :
x2
2
+ y 2 = 1 的右焦点为 F ,过 F 的直线 l 与 C 交于
A, B 两点,点 M 的坐标为 (2,0)
(1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程;
(2)设 O 为坐标原点,证明:
∠OMA = ∠OMB
8 / 19
分析:
第二问两角度相等如何证明?
解析几何中常出现的量无非是距离长度,斜率,
面积,周长,如果你想到了证明两个角余弦值相等,那么恭喜你,你想到了长
度,但是长度不容易求得,本题目 M 点在 x 轴上且角度均从 O 点出发, A, B 两
点一个在 x 轴上方一个在下方,因此可以考虑两条直线关于 x 轴对称,而对称
又反应了斜率互为相反数的关系,因此本题目虽是证明题的形式出现,但本质
上是求定值问题,即 k + k = 0
12
解析:
(1)由题意知 F (1,0) ,当 l 与 x 轴垂直时, l :
x = 1,此时 A(1,±
2
2
) ,所以直
线 AM 的方程为 y = ±
2
2
( x - 2)
(2)设直线 AM , BM 的斜率分别为 k , k
1
2
当直线 l 斜率不存在时,此时直线 AM , BM 的倾斜角互补,则
∠OMA = ∠OMB
当直线 l 斜率存在时,设 l :
y = k ( x - 1), A( x , y ), B( x , y )
1122
⎧ x2
+ y 2 = 1
⎩
⎪ y = k ( x - 1)
x + x =
12
4k 2 2k 2 - 2
x x =
2k 2 + 1 1 2 2k 2 + 1
yk ( x - 1)k ( x - 1)k[2 x x - 3(x + x ) + 4]
1+2=+=1 212
12
121212
9 / 19
(注意,此处为什么不需要整理分母部分,因为证明分式为零,只需要证明分
子为零即可)
所以 k + k =
12
2(2 k 2 - 2) 12k 2
k[ -
2k 2 + 1 2k 2 + 1
( x - 2)( x - 2)
1 2
+ 4]
= 0
所以直线 AM , BM 的倾斜角互补,则 ∠OMA = ∠OMB
7.【2018 全国 1 文 20】设抛物线 C :
y 2 = 2 x ,点 A(2,0), B(-2,0) ,过点 A 的直线 l
与 C 交于 M , N 两点
(1)当 l与 x 轴垂直时,求直线 BM 的方程;
(2)证明:
∠ABM = ∠ABN
解析:
(1)当 l与 x 轴垂直时, l :
x = 2 ,此时 B(2, ±2) ,直线 BM 的方程为
1
y = ±( x + 2)
2
(2)具体过程可以参考 32 题,在上题中是分情况讨论直线斜率不存在与存在
的情况,其实无需讨论斜率是否存在,可以直接将直线方程设为 x = my + 2
设 l :
x = my + 2 ,直线 BM , BN 的斜率分别为 k , k
1
2
⎧ x = my + 2
联立 ⎨
⎩ y 2 = 2 x
⇒ y 2 - 2my - 4 = 0 ⇒ y + y = 2m, y y = -4
1 2 1 2
y2my y + 4( y + y )
1+== 0
12
1212
所以直线 AM , BM 的倾斜角互补,则 ∠OMA = ∠OMB
8.【2018 全国 3 理 16】已知点 M (-1,1)和抛物线 C :
y 2 = 4 x ,过 C 的焦点且斜率为
k 的直线与抛物线交于 A, B 两点,若 ∠ABM = 90︒ ,则 k =________.
10 / 19
解析:
用到结论:
在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切
所以 y = y
NM
k⋅ k
AB
0
= 1 ,设 N ( x ,1) ,根据焦点弦斜率公式可得
0
1 2
⇒ k = 2
AB
0 0
9.【2018 北京 理 19】已知抛物线 C :
y 2 = 2 px 经过点 P(1,2) ,过点 Q(0,1) 的直线 l 与
抛物线 C 有两个不同的交点 A, B ,且直线 PA 交 y 轴于 M ,直线 PB 交 y 轴于
N .
(1)求直线 l 的斜率的取值范围;
(2)设 O 为原点, QM = λQO, QN = μQO ,求证:
1
解析:
(1)因为抛物线经过 P(1,2) ,则 p = 2 ,抛物线方程为 y 2 = 4 x
由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l 的方程为 y = kx + 1(k ≠ 0)
⎧ y 2 = 4 x
由 ⎨
⎩ y = kx + 1
⇒ k 2 x2 + (2k - 4) x + 1 = 0
∆ = (2 k - 4)2 - 4 ⨯ k 2 ⨯1 > 0 解得 k < 0 或 0 < k < 1
又 PA, PB 与 y 轴相交,故直线 l 不过点 (1,-2) ,故 k ≠ -3 【最容易遗漏的地方】
所以直线 l 斜率的取值范围是 (-∞, -3) ⋃ (-3,0) ⋃ (0,1)
11 / 19
(2)第二问考察有关向量系数的定值问题,很显然需要将 λ, μ 用 A, B 两点的
坐标表示出来然后在利用直线与抛物线联立即可,实际运算起来发现λ, μ 和
M , N 两点的纵坐标有关系,所以需要建立 A, B 和 M , N 坐标的关系,此时就需
要根据 A, B 两点坐标大胆写出 PA, PB 的直线方程,求出 M , N 两点坐标即可,
不要想什么便捷方法,怎么问怎么想就可以。
⎩ y = kx + 1
⎧ y 2 = 4 x
设 A( x , y ), B( x , y ) ,由 ⎨
1122
⇒ k 2 x2 + (2k - 4) x + 1 = 0
1
x x =
121 2
直线 PA 的方程为 y - 2 = y1 - 2 ( x - 1) ,令 x = 0 得点 M 的纵坐标为
x - 1
1
- y + 2-kx + 1
y=11
M
11
y =
N
-kx + 1
2
x - 1
2
+ 2 ,由 QM = λQO , QN = μQO 得 λ = 1 - y , μ = 1 - y
M
N
所以 1
1 - y 1 - y (k - 1)x (k - 1)x
M N 1
1 1 x - 1 x - 1
+ = 1 + 2
2
故 1
1 2 1 2
k - 1 x x k - 1
1 2
12 / 19
2 2k - 4
+
= 2
10.【2018 北京文 20】已知椭圆 M :
x2 y 2 6
+
a2 b2 3
2 2 ,斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A, B
(1)求椭圆 M 的方程;
(2)若 k = 1 ,求 | AB | 的最大值;
(3)设 P(-2,0) ,直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C ,直线 PB 与椭圆 M 的另一
个交点为 D ,若 C , D 和点 Q(- 7 , 1 ) 共线,求 k
4 2
⎧ c6
⎪=
⎪2c = 2 2⎪⎩c = 2
x2
⇒ + y 2 = 1
3
(2)设 l :
y = x + m, A( x , y ), B( x , y )
1122
⎧ y = x + m
⎪
2 = 1
⎩ 3
2 4
x + x =-
12
3m 3m2 - 3
x x =
1 2
令 ∆ = (6m)2 - 4 ⋅ 4 ⋅ (3m2 - 3) > 0 ,则 m2 < 4
| AB |= 1 + k 2 ⋅ ( x + x )2 - 4 x x =
121 2
故当 m = 0 时, | AB | 最大。
6 ⨯ 4 - m2
2
13 / 19
(3)题目给出共线,则用向量共线即可,但是需要知道C , D 两点的坐标,因
此大胆设出 PA, PB 的方程,求出 C , D 的坐标(坐标与 A, B 坐标产生关联之
后即可)
设 A( x , y ), B( x , y ), C ( x , y ), D( x , y ) ,又 P(-2,0) ,所以可设
11223344
k = k1,直线 PA 的方程为:
y = k ( x + 2)
11
1
⎧ y = k ( x + 2)
1
⎨ x2⇒ (1+ 3k 2 ) x2 + 12k 2 x + 12k 2 - 3 = 0
111
⎩ 3
4 x + 7
x =1
3
12k 2 12k 2
1 1
1 1
-7 x - 12
1
1 3 3 1 1
y
1
x + 2
1
,代入得
【注意此处也可以不转化,直接将 x 转化为 x , y 的形式,但是不如一开始就
311
转化简单】
-7 x - 12y-7 x - 12y
11122
3
11122
444
故 QC = ( x +
3
7
4
1 7 1
y - ), QD = ( x + , y - )
3 4 4
7171
3443
将 C , D 坐标代入化简可得
y - y
1
x - x
1 2
11.【2018 天津文 19】椭圆
x2 y 2
+
2
a b2
= 1(a > b > 0) 的右顶点为 A ,上顶点为 B 。
已知
5
3
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线 l :
y = kx(k < 0) 与椭圆交于 P, Q 两点, l 与直线 AB 交于点 M ,且点
P, M 均在第四象限,若 ∆BPM 的面积是 ∆BPQ 面积的 2 倍,求 k 的值。
14 / 19
解析:
(1)
x2
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- 高考 圆锥曲线 部分 题解