高考圆锥曲线大题.doc
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高考圆锥曲线大题.doc
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1.(本小题满分13分)
设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2。
点满足
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,若直线PF2与圆相交于M,N两点,且,求椭圆的方程。
1(Ⅰ)解:
设,因为,
所以,整理得(舍)
或
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)知,可得椭圆方程为,直线FF2的方程为
A,B两点的坐标满足方程组消去并整理,得。
解得,得方程组的解
不妨设,,
所以
于是
圆心到直线PF2的距离
因为,所以
整理得,得(舍),或
所以椭圆方程为
2.(本小题满分14分)
平面内与两定点、()连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。
(Ⅰ)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系;
(Ⅱ)当时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为,设、是的两个焦点。
试问:
在上,是否存在点,使得△的面积。
若存在,求的值;若不存在,请说明理由。
2.本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想。
(满分14分)
解:
(I)设动点为M,其坐标为,
当时,由条件可得
即,
又的坐标满足
故依题意,曲线C的方程为
当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆;
当时,曲线C的方程为,C是圆心在原点的圆;
当时,曲线C的方程为,C是焦点在x轴上的椭圆;
当时,曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。
(II)由(I)知,当m=-1时,C1的方程为
当时,
C2的两个焦点分别为
对于给定的,
C1上存在点使得的充要条件是
②
①
由①得由②得
当
或时,
存在点N,使S=|m|a2;
当
或时,
不存在满足条件的点N,
当时,
由,
可得
令,
则由,
从而,
于是由,
可得
综上可得:
当时,在C1上,存在点N,使得
当时,在C1上,存在点N,使得
当时,在C1上,不存在满足条件的点N。
3(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中,曲线与坐标轴的交点都在圆C上.
(I)求圆C的方程;
(II)若圆C与直线交于A,B两点,且求a的值.
3解:
(Ⅰ)曲线与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(
故可设C的圆心为(3,t),则有解得t=1.
则圆C的半径为
所以圆C的方程为
(Ⅱ)设A(),B(),其坐标满足方程组:
消去y,得到方程
由已知可得,判别式
因此,从而
①
由于OA⊥OB,可得
又所以
②
由①,②得,满足故
4.(本小题满分12分。
(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)
如题(21)图,椭圆的中心为原点0,离心率e=,一条准线的方程是
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设动点P满足:
,其中M、N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率之积为,问:
是否存在定点F,使得与点P到直线l:
的距离之比为定值;若存在,求F的坐标,若不存在,说明理由。
题(21)图
4.(本题12分)
解:
(I)由
解得,故椭圆的标准方程为
(II)设,则由
得
因为点M,N在椭圆上,所以
,
故
设分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知
因此
所以
所以P点是椭圆上的点,该椭圆的右焦点为,离心率是该椭圆的右准线,故根据椭圆的第二定义,存在定点,使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。
5.(16分)已知椭圆(常数),点是上的动点,是右顶点,定点的坐标为。
(1)若与重合,求的焦点坐标;
(2)若,求的最大值与最小值;
(3)若的最小值为,求的取值范围。
5.解:
⑴,椭圆方程为,
∴左.右焦点坐标为。
⑵,椭圆方程为,设,则
∴时;时。
⑶设动点,则
∵当时,取最小值,且,∴且
解得。
6(本大题满分14分)
已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,与共线。
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且,证明为定值。
7.(本小题满分14分)
已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的左.右焦点为F1、F2,离心率为e.直线
l:
y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是点F1关于直线l的对称点,设=λ.
(Ⅰ)证明:
λ=1-e2;
(Ⅱ)若,△PF1F2的周长为6;写出椭圆C的方程;
(Ⅲ)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.
7.(Ⅰ)证法一:
因为A、B分别是直线l:
与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是.
所以点M的坐标是().由
即
证法二:
因为A、B分别是直线l:
与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐标分别是设M的坐标是
所以因为点M在椭圆上,所以
即
解得
(Ⅱ)当时,,所以由△MF1F2的周长为6,得
所以椭圆方程为
(Ⅲ)解法一:
因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即
设点F1到l的距离为d,由
得所以
即当△PF1F2为等腰三角形.
解法二:
因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,
设点P的坐标是,
则
由|PF1|=|F1F2|得
两边同时除以4a2,化简得从而
于是.即当时,△PF1F2为等腰三角形.
8.(本小题满分14分)
已知方向向量为的直线l过点()和椭圆的焦点,且椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)是否存在过点E(-2,0)的直线m交椭圆C于点M、N,满足cot
∠MON≠0(O为原点).若存在,求直线m的方程;若不存在,请说明理由.
8解:
(Ⅰ)由题意可得直线ι:
①
过原点垂直ι的方程为 ②
解①②得x=.∵椭圆中心O(0,0)关于直线ι的对称点在椭圆C的右准线上,
∴.∵直线ι过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0).
∴a2=6,c=2,b2=2,故椭圆C的方程为.③
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),当直线m不垂直x轴时,直线m:
y=k(x+2)代入③,整理得
(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6=0,则x1+x2=,x1x2=,
|MN|=
点O到直线MN的距离d=.∵cot∠MON,即
∴,∴,
即.整理得.
当直线m垂直x轴时,也满足
故直线m的方程为或y=或x=-2.
经检验上述直线均满足.
所在所求直线方程为或y=或x=-2..
9.如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1,F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点P为l上的动点,求∠F1PF2最大值.
9解:
(Ⅰ)设椭圆的方程为(a>0,b>0),半焦距为c,则|MA1|=,|A1F1|=a-c
由题意,得∴a=2,b=,c=1.
故椭圆的方程为
(Ⅱ)设P(-4,y0),y0≠0,
∴只需求tan∠F1PF2的最大值即可.
设直线PF1的斜率k1=,直线PF2的斜率k2=,
∵0<∠F1PF2<∠PF1M<,∴∠F1PF2为锐角.
∴tan∠F1PF2=
当且仅当,即|y0|=时,tan∠F1PF2取到最大值此时∠F1PF2最大,∴
∠F1PF2的最大值为arctan.
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