高考数列专题Word文档格式.docx
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∴第八行最后一个数是数列1,2,3,4,5,…中第1+2+23+…+27=28-1个数,
∴其值为1+(28-1-1)×
1=28-1=255,
∴第9行中的第4个数是259.
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=( )
A.6B.7C.8D.9
【解析】 由Sn=n2-9n可得等差数列{an}的通项公式an=2n-10,由5<ak<8可得5<2k-10<8且k∈Z,解得<k<9且k∈Z,∴k=8.
7.(精选考题·
陕西高考)对于数列{an}:
“an+1>
|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】 充分性,因为an+1>
|an|,则{an}必为正项数列,即an+1>
|an|⇒an+1>
an,即{an}为递增数列.
必要性,若{an}为-4,-3,-2,-1,0,1,2…这样的一个数列,则“an+1>
|an|(n=1,2,…)”不成立,故选B.
二、填空题
8.设{an}是首项为1的正数项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1·
an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是________.
【解析】 ∵(n+1)an+12-nan2+an+1·
an=0可化为(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0,
又∵an>
0,∴=,
∴an=·
…·
a1=·
·
1=.
【答案】 an=
9.数列{an}满足a1=,an+1=则a2009的值为________.
【解析】 依据条件得a2=2×
-1=,a3=,a4=,∴数列{an}以3为周期,∴a2009=a3×
669+2=a2=.
【答案】
10.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有________个点.
【解析】 观察图中5个图形,点的个数分别为1,1×
2+1,2×
3+1,3×
4+1,4×
5+1,故第n个圆中点的个数为(n-1)×
n+1=n2-n+1.
【答案】 n2-n+1
三、解答题
11.已知数列{an}满足a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+an=2n-6.
(1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式;
(2)求n为何值时,an最小.
【解析】
(1)由an+2-2an+1+an=2n-6得:
(an+2-an+1)-(an+1-an)=2n-6,
∴bn+1-bn=2n-6.
当n≥2时,bn-bn-1=2(n-1)-6,
bn-1-bn-2=2(n-2)-6,
⋮
b3-b2=2×
2-6,b2-b1=2×
1-6,
累加,得bn-b1=2(1+2+…+n-1)-6(n-1)
=n(n-1)-6n+6=n2-7n+6.
又∵b1=a2-a1=-14,∴bn=n2-7n-8(n≥2),
当n=1时,b1也适合此式,
故bn=n2-7n-8(n∈N*).
(2)由bn=(n-8)(n+1)得,an+1-an=(n-8)(n+1),
∴当n<
8时,an+1<
an;
当n=8时,a9=a8;
当n>
8时,an+1>
an.
∴当n=8或n=9时,an的值最小.
12.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*.
(1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式;
(2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围.
【解析】
(1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,
即Sn+1=2Sn+3n,
∴Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn.
∴数列{bn}是首项b1=a-3,公比为2的等比数列.
∴所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*①
(2)由①知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*,
于是,当n≥2时,
an=Sn-Sn-1
=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2
=2×
3n-1+(a-3)2n-2,
an+1-an=4×
3n-1+(a-3)2n-2
=2n-2×
,
当n≥2时,
∵an+1≥an,
∴12×
n-2+a-3≥0,∴a≥-9.
又a2=a1+3>
a1,
综上,所求a的取值范围是[-9,+∞).第八单元第二节
1.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S4=20,则S6=( )
A.16B.24C.36D.48
【解析】 ∵S4=4a1+d=2+6d=20,
∴d=3,∴S6=6a1+d=3+45=48.
2.(精选考题·
重庆高考)在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为( )
A.5B.6C.8D.10
【解析】 由题意得a1+a9=2a5=10,a5=5.
【答案】 A
3.(精选考题·
安徽高考)设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( )
A.15B.16C.49D.64
【解析】 a8=S8-S7=82-72=15.
4.(精选考题·
福建高考)设等差数列{an}的前n项和Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于( )
A.6B.7C.8D.9
【解析】 ∵a4+a6=2a5=-6,∴a5=-3,∴d==2,∴Sn=-11n+·
2=n2-12n=(n-6)2-36,∴n=6时,Sn取最小值.
5.等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )
A.130B.170C.210D.260
【解析】 ∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,
∴2(100-30)=30+S3m-100,
∴S3m=140+70=210.
6.一个只有有限项的等差数列,它的前5项和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第7项a7等于( )
A.22B.21C.19D.18
【解析】 ∵a1+a2+a3+a4+a5=34,
an-4+an-3+an-2+an-1+an=146,
又∵a1+an=a2+an-1=…=a5+an-4,
∴5(a1+an)=180,∴a1+an=36.
∴Sn=234==,∴n=13.
∴a1+a13=2a7=36,故a7=18.
7.若数列{an}是等差数列,首项a1<
0,a1005+a1006<
0,a1005·
a1006<
0,则使前n项和Sn<
0成立的最大正整数n是( )
A.2009B.2010C.2011D.2012
【解析】 由题意知a1005<
0,a1006>
0,则S2010=×
2010<
0,S2011=2011a1006>
0,故选B.
8.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.
【解析】 设公差为d,∵a5=a2+6,∴3d=6,∴d=2,
∴a6=a3+3d=7+6=13.
【答案】 13
9.将等差数列{an}中的所有项依次排列,并如下分组:
{a1},{a2,a3},{a4,a5,a6,a7}…,第一组中有1项,第二组中有2项,第三组中有4项,…,第n组中有2n-1项.记Tn为第n组各项的和,已知T3=-48,T4=0,则等差数列{an}的通项公式为________.
【解析】 由已知得
即∴∴an=2n-23.
【答案】 an=2n-23
10.在如下数表中,已知每行每列中的数都成等差数列.
第1列
第2列
第3列
第1行
2
3
第2行
4
6
第3行
9
那么位于表中的第n行第n+1列的数是________.
【解析】 由表可知第n行形成首项为n,公差为n的等差数列,∴an+1=n+(n+1-1)·
n=n2+n.
【答案】 n2+n
11.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知S3与S4的等比中项为S5,S3与S4的等差中项为1,求等差数列{an}的通项an.
【解析】 由题意得(其中S5≠0).
设数列公差为d,
将a1,d代入整理得
解得或
∴an=1,或an=4+(n-1)=-n.
经验证,an=1时,S5=5;
an=-n时,S5=-4均满足题意.
故所求通项为an=1或an=-n.
12.已知首项为负的数列{an}中,相邻两项不为相反数,且前n项和Sn=(an-5)(an+7).
(1)求证:
数列{an}为等差数列;
(2)设数列的前n项和为Tn,对一切正整数n都有Tn≥M成立,求M的最大值.
【解析】
(1)证明:
∵Sn=(an-5)(an+7),
∴an+1=Sn+1-Sn
=(an+1-5)(an+1+7)-(an-5)(an+7),
∴(an+1-an-2)(an+1+an)=0,
∴an+1-an=2或an+1+an=0.
又相邻两项不为相反数,
∴an+1-an=2,
∴数列{an}为公差为2的等差数列.
(2)由S1=(a1-5)(a1+7)⇒a1=7或a1=-5,
∵数列{an}的首项为负,∴a1=-5,
由
(1)得an=2n-7,
∴==.
∴Tn=
=,
∴数列{Tn}(n∈N*)在[1,2],[3,+∞)上是递增数列.
又当n=1时,T1=,当n=3时,T3=-,
∴要使得对于一切正整数n都有Tn≥M成立,
只要M≤-,所以M的最大值为-.
第八单元第三节
全国高考Ⅰ卷)已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( )
A.5B.7C.6D.4
【解析】 ∵{an}为等比数列,∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,即(a4a5a6)2=a1a2a3·
a7a8a9=50,∴a4a5a6=5.
2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=( )
A.2B.4C.D.
【解析】 =×
=×
=.
菱湖模拟)在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn=( )
A.2nB.3nC.3n-1D.2n+1-2
【解析】 由题意得(a2+1)2=(a1+1)(a3+1),
∵数列{an}是等比数列且a1=2,
∴(2q+1)2=(2+1)(2q2+1),解得q=1.
∴Sn=na1=2n.
辽宁高考)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5=( )
A.B.C.D.
【解析】 ∵a2a4=1,∴a32=1.又∵a3>
0,∴a3=1.
∵S3=7,∴a1+a2+1=7,即+=6,
∴q=或q=-(舍去).∵a1·
q2=1,∴a1=4,
∴S5===.
5.已知{an}是递减等比数列,a2=2,a1+a3=5,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的取值范围是( )
A.[12,16)B.[8,16)
C.D.
【解析】 ∵a2=2,a1+a3=5,
∴+2q=5,∵{an}递减,∴q=,a1=4,
∵数列{anan+1}是以a1a2为首项,q2为公比的等比数列,
∴a1a2+a2a3+…+anan+1=
==,
而是递增数列,≤1-n<
1,
∴8≤<
.
6.(精选考题·
山东高考)设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1<
a2”是“数列{an}是递增数列”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 充分性:
因a1>
0,有a1<
a2,得q=>
1,所以数列{an}是递增数列;
必要性:
∵数列{an}是递增的等比数列,∴q>
1且a1>
0,∴a1<
a1q,即a1<
a2.
7.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·
5n-2-,则实数t的值为( )
A.4B.5C.D.
【解析】 ∵a1=S1=t-,a2=S2-S1=t,a3=S3-S2=4t,∴2=×
4t,显然t≠0,∴t=5.
8.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为________.
【解析】 ∵S1,2S2,3S3成等差数列,
∴4S2=S1+3S3,若q=1,则8a1=10a1,a1=0矛盾,
∴q≠1,∴=a1+,解得q=.
9.{an}是公差不等于零的等差数列,且a7,a10,a15是等比数列{bn}的连续三项,若b1=3,则bn=________.
【解析】 ∵a7,a10,a15成等比数列,
∴a102=a7·
a15,即(a1+9d)2=(a1+6d)(a1+14d),
整理得a1=-d,∴q===.
∴bn=3×
n-1.
【答案】 3×
n-1
10.一直角三角形三边的长成等比数列,则较小锐角的正弦值为________.
【解析】 设三边a,b,c成等比数列,且a<
b<
c,
则b2=ac,且c2=a2+b2,∴ac=c2-a2,即=1-.
∵sinA=,∴sin2A+sinA-1=0,
解得sinA=.
11.(精选考题·
福建高考)数列{an}中,a1=,前n项和Sn满足Sn+1-Sn=n+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn;
(2)若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数t的值.
【解析】
(1)由Sn+1-Sn=n+1得
an+1=n+1(n∈N*),
又a1=,故an=n(n∈N*).
从而Sn==(n∈N*).
(2)由
(1)可得S1=,S2=,S3=.
由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得
+3×
t,解得t=2.
12.数列{an}的前n项和Sn=2an-1,数列{bn}满足:
b1=3,bn+1=an+bn(n∈N*).
数列{an}为等比数列;
(2)求数列{bn}的前n项和Tn.
【解析】
(1)∵Sn=2an-1,n∈N*,
∴Sn+1=2an+1-1,两式相减得an+1=2an+1-2an,
∴an+1=2an,n∈N*.由a1=1,知an≠0,∴=2.
由定义知{an}是首项为1,公比为2的等比数列.
(2)∵an=2n-1,bn+1=2n-1+bn,∴bn+1-bn=2n-1.
∴b2-b1=20,b3-b2=21,b4-b3=22,…,bn-bn-1=2n-2,等式两边分别相加得
bn=b1+20+21+…+2n-2=3+=2n-1+2.
∴Tn=(20+2)+(21+2)+…+(2n-1+2)
=(20+21+…+2n-1)+2n=2n+2n-1.
第八单元第四节
浙江高考)设Sn为等比数列前n项和,8a2+a5=0,则=( )
A.-11B.-8C.5D.11
【解析】 ∵=q3=-8,∴q=-2,
∴=×
==-11.
2.公差不为零的等差数列{an}的前n项和Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于( )
A.18B.24C.60D.90
【解析】 由得
解得∴S10=10a1+d=60.
3.已知数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等于( )
A.13B.10C.9D.6
【解析】 ∵an=1-,∴Sn=n-=n-1+n=,∴n=6.
4.已知数列{an}中,a1=1,a2=2+3,a3=4+5+6,a4=7+8+9+10,…,则a10的值为( )
A.750B.610C.510D.505
【解析】 a10的最后一个加数为1+2+…+10=55,
∴a10=46+47+…+55=505.
5.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( )
A.+nB.+n
C.-nD.n2+n
【解析】 由a32=a1a6得,(2+2d)2=2(2+5d),∴d=,∴Sn=2n+·
=+n.
南昌模拟)已知函数f(x)=x2+bx的图象在点(1,f
(1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为Sn,则S2010值为( )
【解析】 f′(x)=2x+b,∴2+b=3,即b=1,
∴f(n)=n2+n,==-,
++…+
=++…+
=1-=.
临沂模拟)已知数列{xn}满足xn+3=xn,xn+2=|xn+1-xn|(n∈N*),若x1=1,x2=a(a≤1,a≠0),则数列前2010项的和为( )
A.669B.670C.1338D.1340
【解析】 ∵xn+3=xn,∴{xn}的周期为3,
x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,
∴x1+x2+x3=1+a+1-a=2.
∴S2010=S670×
3=670×
2=1340.
8.设Sn表示等差数列{an}的前n项和,且S9=18,Sn=240.若an-4=30(n>
4),则n=________.
【解析】 ∵S9=×
9=9a5=18,∴a5=2,
∵Sn=·
n=·
n=240,
∴n=15.
【答案】 15
9.已知数列{an}中,an=Sn是其前n项和,则S9=________.
【解析】 S9=1+3+22+7+24+11+26+15+28
4+=36+341=377.
【答案】 377
10.(精选考题·
辽宁高考)已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为________.
【解析】 由an+1-an=2n知:
a2-a1=2,a3-a2=2×
2,a4-a3=2×
3,…,an-an-1=2(n-1),
以上各式相加得an-a1=2[1+2+…+(n-1)]=n2-n,
∴an=n2-n+33,∴=n+-1.
∴在(0,5]上递减,在[6,+∞)上递增,
又∵=>
=,∴的最小值为.
13.(精选考题·
东北三省模拟)已知等差数列{an}满足a4=6,a6=10.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}的各项均为正数,其前n项和Tn,若b3=a3,T2=3,求Tn.
【解析】
(1)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1,
∵a4=6,a6=10,∴解得
∴数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=2n-2.
(2)设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q(q>
0).
∵an=2n-2,∴a3=4,
解得或(舍去)
∴Tn===2n-1.
14.(精选考题·
皖南八校第二次联考)已知数列{an}中,a1=2,a2=4,an+1=3an-2an-1(n≥2,n∈N*).
(1)证明:
数列{an+1-an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)记bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】
(1)∵an+1=3an-2an-1(n≥2,n∈N*),
∴(an+1-an)=2(an-an-1)(n≥2,n∈N*).
∵a1=2,a2=4,∴a2-a1=2≠0,
∴an-an-1≠0(n≥2,n∈N*).
故数列{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列,
∴an+1-an=(a2-a1)2n-1=2n,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+2n-3+…+21+2
=+2=2n(n≥2,n∈N*).
又a1=2满足上式,∴an=2n(n∈N*).
(2)由
(1)知bn==2
=2=2-(n∈N*),
∴Sn=2n-
=2n-=2n-2=2n-2+.
第八单元第五节
临沂模拟)在各项是正数的等比数列{an}中,a2,a3,a1成等差数列,则的值为( )
A.B.
C.D.,
【解析】 由a2,a3,a1成等差数列,得a3=a2+a1,即q2-q-1=0,∴q=,又an>
0,∴=q=.
2.已知-9,a1,a2,a3,-1成等比数列,-9,b1,b2,-1成等差数列,则a2(b1-b2)等于( )
A.-B.8C.-8D.±
8
【解析】 由题意得a22=9,∵a2<
0,∴a2=-3,
又∵3(b2-b1)=(-1)-(-9),∴b2-b1=,
∴a2(b1-b2)=(-3)=8.
3.已知x>
0,y>
0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是( )
A.0B.1C.2D.4
【解析】 ∵a+b=x+y,cd=xy,
∴==≥=4,
当且仅当x=y时取“=”,选D.
4.在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn等于( )
A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1
【解析】 ∵数列{an}为等比数列,则an=
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