高考数列专题.docx
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高考数列专题
数列练习专题
第八单元第一节
一、选择题
1.(精选考题·沈阳模拟)在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于( )
A.11B.12C.13D.14
【解析】 根据数列规律从第3项开始每一项等于其前两项之和,故x=5+8=13.
【答案】 C
2.在数列{an}中,a1=,an=(-1)n·2an-1(n≥2),则a5等于( )
A.-B.C.-D.
【解析】 ∵an=(-1)n·2an-1,a1=,∴a2=,a3=-,a4=-,a5=.
【答案】 B
3.如果数列{an}的前n项和Sn=an-3,那么这个数列的通项公式( )
A.an=2(n2+n+1)B.an=3×2n
C.an=3n+1D.an=2×3n
【解析】 当n=1时,a1=a1-3,∴a1=6;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-3-an-1+3,
∴an=3an-1,
∴{an}为等比数列,an=6×3n-1=2×3n.
【答案】 D
4.已知数列{an}满足a1=0,an+1=(n∈N*),则a20等于( )
A.0B.-C.D.
【解析】 ∵a1=0,an+1=,
∴a2=-,a3=,a4=0,…,
∴数列{an}的最小正周期为3,
∴a20=a3×6+2=a2=-.
【答案】 B
5.一个正整数表如下(表中第二行起,每行中数字个数是上一行中数字个数的2倍):
第一行
1
第二行
2 3
第三行
4 5 6 7
…
…
则第9行中的第4个数是( )
A.132B.255C.259D.260
【解析】 观察数表,每行数的个数20,21,22,23,24,…,2n-1.
∴第八行最后一个数是数列1,2,3,4,5,…中第1+2+23+…+27=28-1个数,
∴其值为1+(28-1-1)×1=28-1=255,
∴第9行中的第4个数是259.
【答案】 C
6.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k=( )
A.6B.7C.8D.9
【解析】 由Sn=n2-9n可得等差数列{an}的通项公式an=2n-10,由5<ak<8可得5<2k-10<8且k∈Z,解得<k<9且k∈Z,∴k=8.
【答案】 C
7.(精选考题·陕西高考)对于数列{an}:
“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}为递增数列”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】 充分性,因为an+1>|an|,则{an}必为正项数列,即an+1>|an|⇒an+1>an,即{an}为递增数列.
必要性,若{an}为-4,-3,-2,-1,0,1,2…这样的一个数列,则“an+1>|an|(n=1,2,…)”不成立,故选B.
【答案】 B
二、填空题
8.设{an}是首项为1的正数项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1·an=0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是________.
【解析】 ∵(n+1)an+12-nan2+an+1·an=0可化为(an+1+an)[(n+1)an+1-nan]=0,
又∵an>0,∴=,
∴an=·…·a1=··…··1=.
【答案】 an=
9.数列{an}满足a1=,an+1=则a2009的值为________.
【解析】 依据条件得a2=2×-1=,a3=,a4=,∴数列{an}以3为周期,∴a2009=a3×669+2=a2=.
【答案】
10.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图中有________个点.
【解析】 观察图中5个图形,点的个数分别为1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,故第n个圆中点的个数为(n-1)×n+1=n2-n+1.
【答案】 n2-n+1
三、解答题
11.已知数列{an}满足a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+an=2n-6.
(1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式;
(2)求n为何值时,an最小.
【解析】
(1)由an+2-2an+1+an=2n-6得:
(an+2-an+1)-(an+1-an)=2n-6,
∴bn+1-bn=2n-6.
当n≥2时,bn-bn-1=2(n-1)-6,
bn-1-bn-2=2(n-2)-6,
⋮
b3-b2=2×2-6,b2-b1=2×1-6,
累加,得bn-b1=2(1+2+…+n-1)-6(n-1)
=n(n-1)-6n+6=n2-7n+6.
又∵b1=a2-a1=-14,∴bn=n2-7n-8(n≥2),
当n=1时,b1也适合此式,
故bn=n2-7n-8(n∈N*).
(2)由bn=(n-8)(n+1)得,an+1-an=(n-8)(n+1),
∴当n<8时,an+1 当n>8时,an+1>an. ∴当n=8或n=9时,an的值最小. 12.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=a,an+1=Sn+3n,n∈N*. (1)设bn=Sn-3n,求数列{bn}的通项公式; (2)若an+1≥an,n∈N*,求a的取值范围. 【解析】 (1)依题意,Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n, 即Sn+1=2Sn+3n, ∴Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn. ∴数列{bn}是首项b1=a-3,公比为2的等比数列. ∴所求通项公式为bn=Sn-3n=(a-3)2n-1,n∈N*① (2)由①知Sn=3n+(a-3)2n-1,n∈N*, 于是,当n≥2时, an=Sn-Sn-1 =3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2 =2×3n-1+(a-3)2n-2, an+1-an=4×3n-1+(a-3)2n-2 =2n-2×, 当n≥2时, ∵an+1≥an, ∴12×n-2+a-3≥0,∴a≥-9. 又a2=a1+3>a1, 综上,所求a的取值范围是[-9,+∞).第八单元第二节 一、选择题 1.记等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=,S4=20,则S6=( ) A.16B.24C.36D.48 【解析】 ∵S4=4a1+d=2+6d=20, ∴d=3,∴S6=6a1+d=3+45=48. 【答案】 D 2.(精选考题·重庆高考)在等差数列{an}中,a1+a9=10,则a5的值为( ) A.5B.6C.8D.10 【解析】 由题意得a1+a9=2a5=10,a5=5. 【答案】 A 3.(精选考题·安徽高考)设数列{an}的前n项和Sn=n2,则a8的值为( ) A.15B.16C.49D.64 【解析】 a8=S8-S7=82-72=15. 【答案】 A 4.(精选考题·福建高考)设等差数列{an}的前n项和Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取最小值时,n等于( ) A.6B.7C.8D.9 【解析】 ∵a4+a6=2a5=-6,∴a5=-3,∴d==2,∴Sn=-11n+·2=n2-12n=(n-6)2-36,∴n=6时,Sn取最小值. 【答案】 A 5.等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( ) A.130B.170C.210D.260 【解析】 ∵Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列, ∴2(100-30)=30+S3m-100, ∴S3m=140+70=210. 【答案】 C 6.一个只有有限项的等差数列,它的前5项和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则它的第7项a7等于( ) A.22B.21C.19D.18 【解析】 ∵a1+a2+a3+a4+a5=34, an-4+an-3+an-2+an-1+an=146, 又∵a1+an=a2+an-1=…=a5+an-4, ∴5(a1+an)=180,∴a1+an=36. ∴Sn=234==,∴n=13. ∴a1+a13=2a7=36,故a7=18. 【答案】 D 7.若数列{an}是等差数列,首项a1<0,a1005+a1006<0,a1005·a1006<0,则使前n项和Sn<0成立的最大正整数n是( ) A.2009B.2010C.2011D.2012 【解析】 由题意知a1005<0,a1006>0,则S2010=×2010<0,S2011=2011a1006>0,故选B. 【答案】 B 二、填空题 8.在等差数列{an}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________. 【解析】 设公差为d,∵a5=a2+6,∴3d=6,∴d=2, ∴a6=a3+3d=7+6=13. 【答案】 13 9.将等差数列{an}中的所有项依次排列,并如下分组: {a1},{a2,a3},{a4,a5,a6,a7}…,第一组中有1项,第二组中有2项,第三组中有4项,…,第n组中有2n-1项.记Tn为第n组各项的和,已知T3=-48,T4=0,则等差数列{an}的通项公式为________. 【解析】 由已知得 即∴∴an=2n-23. 【答案】 an=2n-23 10.在如下数表中,已知每行每列中的数都成等差数列. 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第n+1列的数是________. 【解析】 由表可知第n行形成首项为n,公差为n的等差数列,∴an+1=n+(n+1-1)·n=n2+n. 【答案】 n2+n 三、解答题 11.设Sn是等差数列{an}的前n项和,已知S3与S4的等比中项为S5,S3与S4的等差中项为1,求等差数列{an}的通项an. 【解析】 由题意得(其中S5≠0). 设数列公差为d, 将a1,d代入整理得 解得或 ∴an=1,或an=4+(n-1)=-n. 经验证,an=1时,S5=5; an=-n时,S5=-4均满足题意. 故所求通项为an=1或an=-n. 12.已知首项为负的数列{an}中,相邻两项不为相反数,且前n项和Sn=(an-5)(an+7). (1)求证: 数列{an}为等差数列; (2)设数列的前n项和为Tn,对一切正整数n都有Tn≥M成立,求M的最大值. 【解析】 (1)证明: ∵Sn=(an-5)(an+7), ∴an+1=Sn+1-Sn =(an+1-5)(an+1+7)-(an-5)(an+7), ∴(an+1-an-2)(an+1+an)=0, ∴an+1-an=2或an+1+an=0. 又相邻两项不为相反数, ∴an+1-an=2, ∴数列{an}为公差为2的等差数列. (2)由S1=(a1-5)(a1+7)⇒a1=7或a1=-5, ∵数列{an}的首项为负,∴a1=-5, 由 (1)得an=2n-7, ∴==. ∴Tn= =, ∴数列{Tn}(n∈N*)在[1,2],[3,+∞)上是递增数列. 又当n=1时,T1=,当n=3时,T3=-, ∴要使得对于一切正整数n都有Tn≥M成立, 只要M≤-,所以M的最大值为-. 第八单元第三节 一、选择题 1.(精选考题·全国高考Ⅰ卷)已知在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=( ) A.5B.7C.6D.4 【解析】 ∵{an}为等比数列,∴a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9成等比数列,即(a4a5a6)2=a1a2a3·a7a8a9=50,∴a4a5a6=5. 【答案】 A 2.设等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则=( ) A.2B.4C.D. 【解析】 =×=×=. 【答案】 C 3.(精选考题·菱湖模拟)在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn=( ) A.2nB.3nC.3n-1D.2n+1-2 【解析】 由题意得(a2+1)2=(a1+1)(a3+1), ∵数列{an}是等比数列且a1=2, ∴(2q+1)2=(2+1)(2q2+1),解得q=1. ∴Sn=na1=2n. 【答案】 A 4.(精选考题·辽宁高考)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a2a4=1,S3=7,则S5=( ) A.B.C.D. 【解析】 ∵a2a4=1,∴a32=1.又∵a3>0,∴a3=1. ∵S3=7,∴a1+a2+1=7,即+=6, ∴q=或q=-(舍去).∵a1·q2=1,∴a1=4, ∴S5===. 【答案】 B 5.已知{an}是递减等比数列,a2=2,a1+a3=5,则a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N*)的取值范围是( ) A.[12,16)B.[8,16) C.D. 【解析】 ∵a2=2,a1+a3=5, ∴+2q=5,∵{an}递减,∴q=,a1=4, ∵数列{anan+1}是以a1a2为首项,q2为公比的等比数列, ∴a1a2+a2a3+…+anan+1= ==, 而是递增数列,≤1-n<1, ∴8≤<. 【答案】 C 6.(精选考题·山东高考)设{an}是首项大于零的等比数列,则“a1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 充分性: 因a1>0,有a1 ∵数列{an}是递增的等比数列,∴q>1且a1>0,∴a1 【答案】 C 7.已知等比数列{an}的前n项和Sn=t·5n-2-,则实数t的值为( ) A.4B.5C.D. 【解析】 ∵a1=S1=t-,a2=S2-S1=t,a3=S3-S2=4t,∴2=×4t,显然t≠0,∴t=5. 【答案】 B 二、填空题 8.等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为________. 【解析】 ∵S1,2S2,3S3成等差数列, ∴4S2=S1+3S3,若q=1,则8a1=10a1,a1=0矛盾, ∴q≠1,∴=a1+,解得q=. 【答案】 9.{an}是公差不等于零的等差数列,且a7,a10,a15是等比数列{bn}的连续三项,若b1=3,则bn=________. 【解析】 ∵a7,a10,a15成等比数列, ∴a102=a7·a15,即(a1+9d)2=(a1+6d)(a1+14d), 整理得a1=-d,∴q===. ∴bn=3×n-1. 【答案】 3×n-1 10.一直角三角形三边的长成等比数列,则较小锐角的正弦值为________. 【解析】 设三边a,b,c成等比数列,且a 则b2=ac,且c2=a2+b2,∴ac=c2-a2,即=1-. ∵sinA=,∴sin2A+sinA-1=0, 解得sinA=. 【答案】 三、解答题 11.(精选考题·福建高考)数列{an}中,a1=,前n项和Sn满足Sn+1-Sn=n+1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn; (2)若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数t的值. 【解析】 (1)由Sn+1-Sn=n+1得 an+1=n+1(n∈N*), 又a1=,故an=n(n∈N*). 从而Sn==(n∈N*). (2)由 (1)可得S1=,S2=,S3=. 由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得 +3×=2×t,解得t=2. 12.数列{an}的前n项和Sn=2an-1,数列{bn}满足: b1=3,bn+1=an+bn(n∈N*). (1)求证: 数列{an}为等比数列; (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 【解析】 (1)∵Sn=2an-1,n∈N*, ∴Sn+1=2an+1-1,两式相减得an+1=2an+1-2an, ∴an+1=2an,n∈N*.由a1=1,知an≠0,∴=2. 由定义知{an}是首项为1,公比为2的等比数列. (2)∵an=2n-1,bn+1=2n-1+bn,∴bn+1-bn=2n-1. ∴b2-b1=20,b3-b2=21,b4-b3=22,…,bn-bn-1=2n-2,等式两边分别相加得 bn=b1+20+21+…+2n-2=3+=2n-1+2. ∴Tn=(20+2)+(21+2)+…+(2n-1+2) =(20+21+…+2n-1)+2n=2n+2n-1. 第八单元第四节 一、选择题 1.(精选考题·浙江高考)设Sn为等比数列前n项和,8a2+a5=0,则=( ) A.-11B.-8C.5D.11 【解析】 ∵=q3=-8,∴q=-2, ∴=×==-11. 【答案】 A 2.公差不为零的等差数列{an}的前n项和Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于( ) A.18B.24C.60D.90 【解析】 由得 解得∴S10=10a1+d=60. 【答案】 C 3.已知数列{an}的通项公式是an=,其前n项和Sn=,则项数n等于( ) A.13B.10C.9D.6 【解析】 ∵an=1-,∴Sn=n-=n-1+n=,∴n=6. 【答案】 D 4.已知数列{an}中,a1=1,a2=2+3,a3=4+5+6,a4=7+8+9+10,…,则a10的值为( ) A.750B.610C.510D.505 【解析】 a10的最后一个加数为1+2+…+10=55, ∴a10=46+47+…+55=505. 【答案】 D 5.设{an}是公差不为0的等差数列,a1=2且a1,a3,a6成等比数列,则{an}的前n项和Sn=( ) A.+nB.+n C.-nD.n2+n 【解析】 由a32=a1a6得,(2+2d)2=2(2+5d),∴d=,∴Sn=2n+·=+n. 【答案】 A 6.(精选考题·南昌模拟)已知函数f(x)=x2+bx的图象在点(1,f (1))处的切线的斜率为3,数列的前n项和为Sn,则S2010值为( ) A.B.C.D. 【解析】 f′(x)=2x+b,∴2+b=3,即b=1, ∴f(n)=n2+n,==-, ++…+ =++…+ =1-=. 【答案】 D 7.(精选考题·临沂模拟)已知数列{xn}满足xn+3=xn,xn+2=|xn+1-xn|(n∈N*),若x1=1,x2=a(a≤1,a≠0),则数列前2010项的和为( ) A.669B.670C.1338D.1340 【解析】 ∵xn+3=xn,∴{xn}的周期为3, x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a, ∴x1+x2+x3=1+a+1-a=2. ∴S2010=S670×3=670×2=1340. 【答案】 D 二、填空题 8.设Sn表示等差数列{an}的前n项和,且S9=18,Sn=240.若an-4=30(n>4),则n=________. 【解析】 ∵S9=×9=9a5=18,∴a5=2, ∵Sn=·n=·n=·n=240, ∴n=15. 【答案】 15 9.已知数列{an}中,an=Sn是其前n项和,则S9=________. 【解析】 S9=1+3+22+7+24+11+26+15+28 =×4+=36+341=377. 【答案】 377 10.(精选考题·辽宁高考)已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为________. 【解析】 由an+1-an=2n知: a2-a1=2,a3-a2=2×2,a4-a3=2×3,…,an-an-1=2(n-1), 以上各式相加得an-a1=2[1+2+…+(n-1)]=n2-n, ∴an=n2-n+33,∴=n+-1. ∴在(0,5]上递减,在[6,+∞)上递增, 又∵=>=,∴的最小值为. 【答案】 三、解答题 13.(精选考题·东北三省模拟)已知等差数列{an}满足a4=6,a6=10. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}的各项均为正数,其前n项和Tn,若b3=a3,T2=3,求Tn. 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d,首项为a1, ∵a4=6,a6=10,∴解得 ∴数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=2n-2. (2)设各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q(q>0). ∵an=2n-2,∴a3=4, 解得或(舍去) ∴Tn===2n-1. 14.(精选考题·皖南八校第二次联考)已知数列{an}中,a1=2,a2=4,an+1=3an-2an-1(n≥2,n∈N*). (1)证明: 数列{an+1-an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式; (2)记bn=(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn. 【解析】 (1)∵an+1=3an-2an-1(n≥2,n∈N*), ∴(an+1-an)=2(an-an-1)(n≥2,n∈N*). ∵a1=2,a2=4,∴a2-a1=2≠0, ∴an-an-1≠0(n≥2,n∈N*). 故数列{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列, ∴an+1-an=(a2-a1)2n-1=2n, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+2n-3+…+21+2 =+2=2n(n≥2,n∈N*). 又a1=2满足上式,∴an=2n(n∈N*). (2)由 (1)知bn==2 =2=2-(n∈N*), ∴Sn=2n- =2n-=2n-2=2n-2+. 第八单元第五节 一、选择题 1.(精选考题·临沂模拟)在各项是正数的等比数列{an}中,a2,a3,a1成等差数列,则的值为( ) A.B. C.D., 【解析】 由a2,a3,a1成等差数列,得a3=a2+a1,即q2-q-1=0,∴q=,又an>0,∴=q=. 【答案】 B 2.已知-9,a1,a2,a3,-1成等比数列,-9,b1,b2,-1成等差数列,则a2(b1-b2)等于( ) A.-B.8C.-8D.±8 【解析】 由题意得a22=9,∵a2<0,∴a2=-3, 又∵3(b2-b1)=(-1)-(-9),∴b2-b1=, ∴a2(b1-b2)=(-3)=8. 【答案】 B 3.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值是( ) A.0B.1C.2D.4 【解析】 ∵a+b=x+y,cd=xy, ∴==≥=4, 当且仅当x=y时取“=”,选D. 【答案】 D 4.在等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn等于( ) A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1 【解析】 ∵数列{an}为等比数列,则an=
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