人教B版高中数学高一必修1教师用书函数的单调性.docx
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人教B版高中数学高一必修1教师用书函数的单调性
2.1.3 函数的单调性
1.理解单调函数的定义,理解增函数、减函数的定义.(重点)
2.掌握定义法判断函数单调性的步骤.(重点)
3.掌握求函数单调区间的方法(定义法、图象法).(难点)
[基础·初探]
教材整理 增函数与减函数的定义
阅读教材P44~P45“例1”以上部分,完成下列问题.
1.增函数与减函数的定义
设函数y=f(x)的定义域为A,区间M⊆A,如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称函数y=f(x)在区间M上是增函数,如图216
(1);当Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数,如图216
(2).
(1)
(2)
图216
2.函数的单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知f(x)=
,因为f(-1) (2),所以函数f(x)是增函数.( ) (2)增、减函数定义中的“任意两个自变量的值x1、x2”可以改为“存在两个自变量的值x1、x2”.( ) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.( ) 【解析】 (1)×.由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大,函数值也越大,而不是个别的自变量. (2)×.不能改为“存在两个自变量的值x1、x2”. (3)×.反例: f(x)= 【答案】 (1)× (2)× (3)× 2.函数f(x)=x2-2x+3的单调减区间是________. 【解析】 因为f(x)=x2-2x+3是图象开口向上的二次函数,其对称轴为x=1,所以函数f(x)的单调减区间是(-∞,1). 【答案】 (-∞,1) [小组合作型] 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数. (1)f(x)=- ; (2)f(x)= (3)f(x)=-x2+2|x|+3. 【精彩点拨】 (1)根据反比例函数的单调性求解; (2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间;(3)做出函数的图象求其单调区间. 【自主解答】 (1)函数f(x)=- 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数. (2)当x≥1时,f(x)是增函数,当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调区间为(-∞,1),(1,+∞),并且函数f(x)在(-∞,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数. (3)因为f(x)=-x2+2|x|+3= 根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知, 函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],[0,1),(-1,0),[1,+∞). f(x)在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数. 1.求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性,如本例 (1)和 (2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解; (2)利用函数的图象,如本例(3). 2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开,如本例(3). [再练一题] 1.函数f(x)=-x2+2ax+3(a∈R)的单调减区间为________. 【导学号: 60210039】 【解析】 因为函数f(x)是开口向下的二次函数,其对称轴为x=a,所以f(x)的单调减区间为(a,+∞). 【答案】 (a,+∞) 函数单调性的判定与证明 (1)下列四个函数中在(0,+∞)上为增函数的是( ) A.f(x)=3-xB.f(x)=(x-1)2 C.f(x)= D.f(x)=x2+2x (2)用定义法证明函数f(x)= 在区间(0,1)上是减函数. 【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断. (2)利用函数单调性的定义,取值,作差,变形,定号,下结论,即可证得. 【自主解答】 (1)A.f(x)=3-x在(0,+∞)上为减函数.B.f(x)=(x-1)2是开口向上的二次函数,其对称轴为x=1,它的单调增区间为(1,+∞),所以它在(0,+∞)上不为单调函数.C.f(x)= 在(0,+∞)上为减函数.D.f(x)=x2+2x是开口向上的二次函数,其对称轴为x=-1,则它的单调递增区间是(-1,+∞),所以它在(0,+∞)上为增函数. 【答案】 D (2)设x1,x2∈(0,1)且x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= - = = , ∵x1<x2,∴x2-x1>0,∵x1,x2∈(0,1),∴x1+1>0,x2+1>0,x1-1<0,x2-1<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以,函数f(x)= 在区间(0,1)上是减函数. 判断函数的单调性除用定义判断外,还可用图象法、直接法等. 1.图象法: 先作出函数图象,利用图象直观判断函数的单调性. 2.直接法: 就是对于我们所熟悉的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,直接判断它们的单调性. [再练一题] 2.已知函数f(x)= - ,用单调性定义证明f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. 【证明】 设任意x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0, ∵f(x2)-f(x1)= - = - = >0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. [探究共研型] 函数单调性的应用 探究1 根据函数单调性的定义,若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当自变量x越大,函数值是越大还是越小? 如果函数f(x)是减函数呢? 【提示】 若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当自变量x越大,函数值就越大;若函数f(x)是其定义域上的减函数,那么当自变量x越大,函数值就越小. 探究2 若函数f(x)=ax2-4ax+3,显然其图象的对称轴为x=2,那么f(4)>f(3)一定成立吗? 【提示】 不一定.如果函数f(x)是图象开口向上的二次函数,则f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则f(4)>f(3);如果函数f(x)是图象开口向下的二次函数,则f(x)在(-∞,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,则f(4) 探究3 若函数f(x)=x2-2ax+3在(2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是什么? 【提示】 因为函数f(x)=x2-2ax+3是图象开口向上的二次函数,其对称轴为x=a,所以其单调增区间为(a,+∞),由题意可得(2,+∞)⊆(a,+∞),所以a≤2. (1)f(x)为(-∞,+∞)上的减函数,a∈R,则( ) A.f(a)<f(2a)B.f(a2)<f(a) C.f(a2+1)<f(a)D.f(a2+a)<f(a) (2)如果函数f(x)=x2-2bx+2在区间[3,+∞)上是增函数,则b的取值范围为( ) A.b=3B.b≥3 C.b≤3D.b≠3 【精彩点拨】 (1)先比较题中变量的大小关系,再利用减函数中大自变量对应小函数值,小自变量对应大函数值来找答案即可. (2)分析函数f(x)=x2-2bx+2的图象和性质,利用二次函数的单调性即可得出b的取值范围. 【自主解答】 (1)因为a∈R,所以a-2a=-a与0的大小关系不定,没法比较f(a)与f(2a)的大小,故A错;而a2-a=a(a-1)与0的大小关系也不定,也无法比较f(a2)与f(a)的大小,故B错;又因为a2+1-a= 2+ >0,所以a2+1>a.又f(x)为(-∞,+∞)上的减函数,故有f(a2+1)<f(a),故C对;易知D错.故选C. (2)函数f(x)=x2-2bx+2的图象是开口朝上,且以直线x=b为对称轴的抛物线, 若函数f(x)=x2-2bx+2在区间[3,+∞)上是增函数,则b≤3,故选C. 【答案】 (1)C (2)C 1.已知函数的单调性比较函数值的大小,首先要确定自变量的大小,并且确定两个自变量在已知函数的单调增区间还是单调减区间内,然后利用函数的单调性确定函数值的大小. 2.已知函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数. (2)依据常见函数的单调性,如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解. (3)要注意: “函数f(x)的增区间是(a,b)”与“函数f(x)在区间(a,b)上单调递增”是不同的,后者意味着区间(a,b)是函数f(x)的增区间的一个子集. [再练一题] 3.已知函数f(x)= 在(-2,+∞)内单调递减,则实数a的取值范围________. 【解析】 设x2>x1>-2,f(x2)-f(x1)= - = , 因为f(x)在(-2,+∞)内单调递减,所以 <0,因为(x2+2)(x1+2)>0,x2-x1>0,所以2a-1<0,所以a< . 【答案】 1.如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,那么对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中不正确的是( ) A. >0 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.若x1 D. >0 【解析】 因为f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号相同,故A,B,D都正确,而C中应为若x1 【答案】 C 2.函数f(x)=-x2+2x+3的单调减区间是( ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,2)D.(2,+∞) 【解析】 易知函数f(x)=-x2+2x+3是图象开口向下的二次函数,其对称轴为x=1,所以其单调减区间是(1,+∞). 【答案】 B 3.若x1,x2∈(-∞,0),且x1 ,则f(x1)与f(x2)的大小关系是( ) A.f(x1)>f(x2)B.f(x1) C.f(x1)=f(x2)D.以上都有可能 【解析】 ∵函数f(x)=- 在(-∞,0)上是增函数,又∵x1,x2∈(-∞,0),且x1 【答案】 B 4.已知f(x)是定义在R上的增函数,且f(x-2) 【导学号: 97512015】 【解析】 ∵f(x)是定义在R上的增函数, 又∵f(x-2) ∴x-2<1-x,∴x< , 即x的取值范围是 . 【答案】 5.证明函数f(x)=x+ 在(-1,0)上是减函数. 【证明】 设-1<x1<x2<0,则有f(x1)-f(x2)= - =(x1-x2)+ =(x1-x2)· , 由于-1<x1<x2<0,0<x1x2<1,x1x2-1<0,又x1x2>0,x1-x2<0, 则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数在(-1,0)上为减函数.
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