高一数学第一章集合与函数概念训练题.docx
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高一数学第一章集合与函数概念训练题
第一章集合与函数概念
1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示
第1课时 集合的含义
基础达标
1.考察下列每组对象,能组成一个集合的是()
①聪明的学生;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;③不小于3的正整数;④的近似值.
A.①②B.③④C.②③D.①③
解析 ①“聪明”这个词界限不确定,不明确哪些元素在该集合中,故①不能构成集合;
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点是一个确定的标准,故②能构成集合;
③不小于3的正整数,即3,4,5,……显然③能构成集合;
④的近似值,太笼统,没有确定的界限(精确度),构不成集合.
答案 C
2.下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;②-a∉N,则a∈N;③a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有2个元素.
其中正确语句的个数是( ).
A.0B.1C.2D.3
解析 N*是不含0的自然数,所以①错;取a=,则-∉N,∉N,所以②错;对于③,当a=b=0时,a+b取得最小值是0,而不是2,所以③错;对于④,解集中只含有元素1,故④错.
答案 A
3.已知集合A含有三个元素2,4,6,且当a∈A,有6-a∈A,则a为( ).
A.2B.2或4C.4D.0
解析 若a=2∈A,则6-a=4∈A;或a=4∈A,
则6-a=2∈A;若a=6∈A,则6-a=0∉A.故选B.
答案 B
4.已知集合A中只有一个元素1,若|b|∈A,则b=________.
解析 由题意,|b|=1,∴b=±1.
答案 ±1
5.用符号“∈”或“∉”填空.
设集合M中的元素为平行四边形,p表示某个矩形,q表示某个梯形,则p________M,q________M.
解析 矩形是平行四边形,梯形不是平行四边形,故p∈M,q∉M.
答案 ∈ ∉
6.设a,b∈R,集合A中有三个元素1,a+b,a,集合B中含有三个元素0,,b,且A=B,则a+b=________.
解析 由于B中元素是0,
,b,故a≠0,b≠0.
又A=B,∴a+b=0.
答案 0
7.已知集合M是由三个元素-2,3x2+3x-4,x2+x-4组成,若2∈M,求x.
解 当3x2+3x-4=2时,
即x2+x-2=0,
则x=-2或x=1.
经检验,x=-2,x=1均不合题意.
当x2+x-4=2时,
即x2+x-6=0,则x=-3或2.
经检验,x=-3或x=2均合题意.
∴x=-3或x=2.
能力提升
8.(2013·青岛高一检测)若一个集合中的三个元素a,b,c是△ABC的三边长,则此三角形一定不是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等腰三角形
解析 由集合元素的互异性,a≠b≠c,
∴△ABC一定不是等腰三角形.
答案 D
9.(2013·重庆高一检测)由实数t,|t|,t2,-t,t3所构成的集合M中最多含有________个元素.
解析 由于|t|至少与t和-t中的一个相等,故集合M中至多有4个元素.如当t=-2时,t,-t,t2,t3互不相同,集合M含有4个元素.
答案 4
10.已知数集A满足条件:
若a∈A,则∈A(a≠1),如果a=2,试求出A中的所有元素.
解 ∵2∈A,由题意可知,=-1∈A,
由-1∈A可知,=∈A;
由∈A可知,=2∈A.
故集合A中共有3个元素,它们分别是-1,,2.
第2课时 集合的表示
基础达标
1.下列集合中表示同一集合的是( ).
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={3,2},N={2,3}
C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
D.M={1,2},N={(1,2)}
解析 A中M、N都为点集,元素为点的坐标,顺序不同表示的点不同;C中M、N分别表示点集和数集;D中M为数集,N为点集.
答案 B
2.集合{x∈N|-1≤x<5}用列举法表示为( ).
A.{0,1,2,3,4}B.{-1,0,1,2,3,4}
C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}
解析 ∵-1≤x<5,且x∈N,故x=0,1,2,3,4.
答案 A
3.下列说法:
①集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为{-1,0,1};
②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R};
③方程组的解集为{x=1,y=2}.
其中正确的有( ).
A.3个B.2个C.1个D.0个
解析 ①中,由x3=x,x∈N,∴x=0,1,因此①不正确.
②中,“{ }”含有“全体”、“所有”等含义,且“R”表示所有实数构成的集合.所以实数集应为R或{x|x为实数},因此②错误.
③中方程组的解集为{(1,2)},③错误.
答案 D
4.直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合为________.
解析 由得
∴两直线的交点为(0,1),所求集合为{(0,1)}.
答案 {(0,1)}
5.有下面四个结论:
①0与{0}表示同一个集合;
②集合M={3,4}与N={(3,4)}表示同一个集合;
③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};
④集合{x|4<x<5}不能用列举法表示.
其中正确的结论是________(填写序号).
解析 {0}表示元素为0的集合,而0只表示一个元素,故①错误;②集合M是实数3,4的集合,而集合N是实数对(3,4)的集合,不正确;③不符合集合中元素的互异性,错误;④中元素有无穷多个,不能一一列举,故不能用列举法表示.
答案 ④
6.设-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2+ax+3=0}=________.
解析 由题意知,-5是方程x2-ax-5=0的一个根,
∴(-5)2+5a-5=0,解得a=-4.
则方程x2+ax+3=0
即为x2-4x+3=0,
解得x=1或x=3.
∴{x|x2-4x+3=0}={1,3}.
答案 {1,3}
7.已知集合A={x∈R|ax2-3x+1=0,a∈R}.
(1)若1∈A,求a的值;
(2)若A为单元素集合,求a的值;
(3)若A为双元素集合,求a的范围.
解
(1)∵1∈A,∴a×12-3×1+1=0,∴a=2.
(2)当a=0时,x=;
当a≠0时,Δ=(-3)2-4a=0,∴a=.
∴a=0或a=时A为单元素集合.
(3)当a≠0,且Δ=(-3)2-4a>0,
即a<且a≠0时,
方程ax2-3x+1=0有两解,
∴a<且a≠0.
能力提升
8.已知x,y为非零实数,则集合
M=为( ).
A.{0,3}B.{1,3}C.{-1,3}D.{1,-3}
解析 当x>0,y>0时,m=3,
当x<0,y<0时,m=-1-1+1=-1.
若x,y异号,不妨设x>0,y<0,
则m=1+(-1)+(-1)=-1.
因此m=3或m=-1,则M={-1,3}.
答案 C
9.如图所示,图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________.
解析 图中阴影部分点的横坐标
-1≤x≤3,纵坐标为0≤y≤3,
故用描述法可表示为
.
答案 {(x,y)|-1≤x≤3,且0≤y≤3}.
10.已知集合M={0,2,4},定义集合P={x|x=ab,a∈M,b∈M},求集合P.
解 ∵a∈M,b∈M,∴a=0,2,4,b=0,2,4.
当a,b至少有一个为0时,x=ab=0;
当a=2且b=2时,x=ab=4;
当a=2且b=4时,x=ab=8;
当a=4且b=2时,x=ab=8;
当a=4且b=4时,x=ab=16.
根据集合中元素的互异性,知P={0,4,8,16}
1.1.2 集合间的基本关系
基础达标
1.已知集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,则实数m=( ).
A.2B.-1C.2或-1D.4
解析 ∵A=B,∴m2-m=2,即m2-m-2=0,
∴m=2或-1.答案 C
2.已知M={-1,0,1},N={x|x2+x=0},则能表示M,N之间关系的Venn图是( ).
解析 M={-1,0,1},N={0,-1},∴M
N.
答案 C
3.(2013·深圳高一检测)满足M
{1,2,3}的集合M的个数是( ).
A.8B.7C.6D.5
解析 ∵M{1,2,3},∴M可能为∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个.
答案 B
4.已知集合A={-1,3,m},B={3,4},若B⊆A,则实数m=________.
解析 ∵B⊆A,∴元素3,4必为A中元素,∴m=4.
答案 4
5.已知∅{x|x2-x+a=0},则实数a的取值范围是________.
解析 ∵∅{x|x2-x+a=0},
∴Δ=(-1)2-4a≥0,
∴a≤.
答案
6.若集合P={x|x2-3x+2=0},集合Q={x|x<3且x∈N*},则集合P、Q的关系是________.
解析 ∵P={x|x2-3x+2=0}={1,2},
Q={x|x<3且x∈N*}={1,2}.
∴P=Q.
答案 P=Q
7.(2013·鹤壁高一检测)已知集合A={x|x2-5x-6=0},B={x|mx+1=0},若B⊆A,求实数m组成的集合.
解 ∵A={x|x2-5x-6}={-1,6},
B={x|mx+1=0},
又B⊆A,∴B=∅或B={-1}或B={6}.
当B=∅时,m=0;
当B={-1}时,m=1;
当B={6}时,m=-.
∴实数m组成的集合为.
能力提升
8.已知集合A=,B=,则( ).
A.ABB.BA
C.A=BD.A与B关系不确定
解析 对B集合中,x=,k∈Z,当k=2m时,x=,m∈Z;当k=2m-1时,x=-,m∈Z,故按子集的定义,必有A
B.
答案 A
9.已知M={y|y=x2-2x-1,x∈R},N={x|-2≤x≤4},则集合M与N之间的关系是________.
解析 由y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,
∴M={y|y≥-2},
又N={x|-2≤x≤4},故N
M.
答案 N
M
10.已知集合A={x|x+2>0},B={x|ax-3<0},且B⊆A,求a的取值范围.
解 ∵A={x|x>-2},B={x|ax<3}.
(1)当a=0时,B=R,不满足B⊆A.
(2)当a>0时,B=,不满足B⊆A.
(3)当a<0时,B=,要使B⊆A.
只需≥-2,即a≤-.
综上可知a的取值范围为.
1.1.3集合的基本运算
第1课时 并集、交集
基础达标
1.设集合M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则M∩N=( ).
A.{0}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}
解析 N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}.
又M={-1,0,1},∴M∩N={0,1}.
答案 B
2.若集合A={x||x|≤1},B={x|x≥0},则A∩B=( ).
A.{x|-1≤x≤1}B.{x|x≥0}
C.{x|0≤x≤1}D.∅
解析 ∵A={x|-1≤x≤1},又B={x|x≥0},
∴A∩B={x|-1≤x≤1}∩{x|x≥0}={x|0≤x≤1}.
答案 C
3.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( ).
A.0B.1C.2D.4
解析 ∵A∪B={0,1,2,a,a2},又A∪B={0,1,2,4,16},
∴{a,a2}={4,16},∴a=4.
答案 D
4.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集的个数是________.
解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},
∴M∩N={1,3}.
∴M∩N的所有子集为∅,{1},{3},{1,3},共4个.
答案 4
5.已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|x<-2或x>5},则A∪B=________.
解析 将-3≤x≤4与x<-2或x>5在数轴上表示出来
由图可得:
A∪B={x|x≤4或x>5}.
答案 {x|x≤4或x>5}
6.若集合A={x|x≤2},B={x|x≥a},满足A∩B={2},则实数a=________.
解析 ∵A∩B={x|a≤x≤2}={2},
∴a=2.
答案 2
7.定义A*B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2}.
(1)求A*B;
(2)求A∩(A*B)∪B.
解
(1)∵A={1,2,3},B={1,2},
∴A*B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B}={3,4,5,6,7}.
(2)A∩(A*B)∪B={1,2,3}∩{3,4,5,6,7}∪{1,2}
={3}∪{1,2}={1,2,3}.
能力提升
8.已知集合A={(x,y)|y=2x+1},B={x|y=x-1},则A∩B=( ).
A.{-2}B.{(-2,-3)}
C.∅D.{-3}
解析 由于A是点集,B是数集,∵A∩B=∅.
答案 C
9.设集合A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若A∪B=A,则a=________.
解析 ∵A∪B=A,∴B⊆A.
∵A={-2}≠∅,∴B=∅或B≠∅.
当B=∅时,方程ax+1=0无解,此时a=0.
当B≠∅时,此时a≠0,则B=,∴-∈A,
即有-=-2,得a=.
综上,得a=0或a=.
答案 0或
10.集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}.
(1)若A∩B=A∪B,求a的值;
(2)若∅
A∩B,A∩C=∅,求a的值.
解 由已知,得B={2,3},C={2,-4}.
(1)∵A∩B=A∪B,∴A=B.于是2,3是一元二次方程x2-ax+a2-19=0的两个根,由根与系数之间的关系知:
解之得a=5.
(2)由A∩B
∅⇒A∩B≠∅,又A∩C=∅,
得3∈A,2∉A,-4∉A.
由3∈A得32-3a+a2-19=0,
解得a=5或a=-2.当a=5时,
A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与2∉A矛盾;
当a=-2时,A={x|x2+2a-15=0}={3,-5},符合题意.
第2课时 补集及集合运算的综合应用
基础达标
1.设全集U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,4,5},则(∁UA)∩(∁UB)等于( ).
A.∅B.{4}C.{1,5}D.{2,5}
解析 ∁UA={2,4},∁UB={1,3},
∴(∁UA)∩(∁UB)=∅,故选A.
答案 A
2.(2013·济南高一检测)若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于( ).
A.M∪NB.M∩N
C.(∁UM)∪(∁UN)D.(∁UM)∩(∁UN)
解析 ∵∁UM={1,4,5,6},∁UN={2,3,5,6},
∴(∁UM)∩(∁UN)={5,6}.
答案 D
3.已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是( ).
A.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>2
解析 如图所示,若能保证并集为R,则只需实数a在数2的右边(含端点2).∴a≥2.
答案 C
4.设全集U=A∪B={x∈N*|0 解析 由题意,得U=A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A∩(∁UB)={1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}. 答案 {2,4,6,8} 5.(2013·抚顺高一检测)设U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则A∩(∁UB)=________. 解析 ∵∁UB={x|x≤1},借助数轴可以求出∁UB与A的交集为图中阴影部分,即{x|0<x≤1}. 答案 {x|0<x≤1} 6.设全集U=R,集合A={x|x≥0},B={y|y≥1},则∁UA与∁UB的包含关系是________. 解析 先求出∁UA={x|x<0},∁UB={y|y<1}={x|x<1}. ∴∁UA ∁UB. 答案 ∁UA ∁UB 7.(2013·佛山高一检测)设全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求: (1)A∩B; (2)∁RA;(3)∁R(A∪B). 解 (1)∵A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}, ∴A∩B={x|3≤x<7}. (2)又全集为R,A={x|3≤x<7}, ∴∁RA={x|x<3或x≥7}. (3)∵A∪B={x|2<x<10},∴∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}. 能力提升 8.如图所示,阴影部分表示的集合是( ). A.A∩(B∩C)B.(∁UA)∩(B∩C)C.C∩∁U(A∪B)D.C∩∁U(A∩B) 解析 由于阴影部分在C中,均不在A、B中,则阴影部分表示的集合是C的子集,也是∁U(A∪B)的子集,即是C∩∁U(A∪B). 答案 C 9.已知全集U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},若∁UA={x|2≤x≤5},则a=________. 解析 ∵A={x|1≤x<a},∁UA={x|2≤x≤5}, ∴A∪(∁UA)=U={x|1≤x≤5},且A∩(∁UA)=∅,因此a=2. 答案 2 10.(2013·温州高一检测)已知A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}. (1)当m=1时,求A∪B; (2)若B⊆∁RA,求实数m的取值范围. 解 (1)m=1,B={x|1≤x<4}, A∪B={x|-1<x<4}. (2)∁RA={x|x≤-1或x>3}. 当B=∅时,即m≥1+3m得m≤-,满足B⊆∁RA, 当B≠∅时,使B⊆∁RA成立, 则或 解之得m>3. 综上可知,实数m的取值范围是m>3或m≤-. 周练 (一) 集合 (时间: 80分钟 满分: 100分) 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( ). A.A BB.B A C.A=BD.A∩B=∅ 解析 A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1}.∴B A. 答案 B 2.已知S={(x,y)|y=1,x∈R},T={(x,y)|x=1,y∈R},则S∩T=( ). A.空集B.{1} C.(1,1)D.{(1,1)} 解析 集合S表示直线y=1上的点,集合T表示直线x=1上的点,S∩T表示直线y=1与直线x=1的交点. ∴S∩T={(1,1)}. 答案 D 3.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( ). A.3B.6C.8D.10 解析 由x∈A,y∈A,x-y∈A, 得x=2时,y=1; x=3时,y=1,或y=2; x=4时,y=1,或y=2,或y=3; x=5时,y=1,或y=2,或y=3,或y=4. ∴B中共有10个元素. 答案 D 4.已知集合M={x|x-2>0,x∈R},N={y|y=,x∈R},则M∪N等于( ). A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2} C.{x|x>2}D.{x|x>2或x<0} 解析 M={x|x>2},N={y|y≥1},∴M∪N={x|x≥1}. 答案 A 5.已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(∁UA)∩(∁UB)=( ). A.{5,8}B.{7,9}C.{0,1,3}D.{2,4,6} 解析 ∵A={0,1,3,5,8},B={2,4,5,6,8}, ∴∁UA={2,4,6,7,9},∁UB={0,1,3,7,9}. 因此(∁UA)∩(∁UB)={7,9}. 答案 B 6.设集合A={x|y=x2-4},B={y|y=x2-4},C={(x,y)|y=x2-4},则下列关系: ①A∩C=∅;②A=C;③A=B;④B=C.其中不正确的共有( ). A.1个B.2个C.3个D.4个 解析 易知A=R,B={y|y≥-4},C为点集, ∴A∩C= ,①正确,②③④均不正确. 答案 C 7.如图,I是全集,A、B、C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( ). A.(B∩∁IA)∩CB.(A∪∁IB)∩C C.(A∩B)∩∁ICD.(A∩∁IB)∩C 答案 D 8.已知全集U=R,集合A={x|x≤1或x≥3},集合B={x|k<x<k+1,k∈R},且(∁UA)∩B≠ ,则实数k的取值范围为( ). A.k<0或k>3B.2<k<3 C.0<k<3D.-1<k<3 解析 ∁UA={x|1<x<3},(∁UA)∩B≠∅, ∴1<k<3或1<k+1<3. 因此k的取值范围是0<k<3. 答案 C 二、填空题(每小题5分,共20分) 9.(2013·温州高一检测)设A∪{-1,1}={-1,1},则满足条件的集合A共有________个. 解析 ∵A∪{-1,1}={-1,1},∴A⊆{-1,1}, 故满足条件的集合A为: ∅,{-1},{1}或{-1,1}共4个. 答案 4 10.设全集U=R,A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则右图中阴影表示的集合为________. 解析 A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2}, ∴阴影表示的集合为A∩B={2}. 答案 {2} 11.设集合A={x|-1<x<2},B={x|x<a},若全集U=R,且∁UB ∁UA,则实数a的取值范围是________. 解析 ∵∁UB ∁UA,知A B, 又A={x|-1<x<2},B={x|x<a}, ∴a≥2. 答案 a≥2 12.设集合A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集U=R,且(∁UA)∩B=∅,则实数m的取值范围是________. 解析 ∵A={x|x≥-m},U=R, ∴∁UA={x|x<-m}, 要使(∁UA)∩B=∅,只需-m≤-2,∴m≥2. 答案 {m|m≥2} 三、解答题(每小题10分,共40分) 13.已知集合A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若A∪B={1,2,3,5},求x及A∩B. 解 ∵B⊆(A∪B),∴x2-1∈A∪B. ∴x2-1=3或x2-1=5. 解得x=±2或x=±. 若x2-1=3,则A∩B={1,3}, 若x2-1=5,则A∩B={1,5}. 综上可知: x=±2时,A∩B={1,3}; x=±时,A∩B={1,5}. 14.设集合A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-3,4},A∩B={-3
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