《数学分析》第一章集合与函数.docx
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《数学分析》第一章集合与函数
第一章集合与函数
一.本章知识脉络框图
二本軽点及軸
数学是分析处理问题的系统方法论学科。
对事物分析,量化是第一步:
数是表示量的符号•随着科学的发展,数的内涵与表示得到不断地发展:
同时随着数的内涵与表示的发展,分析解决问题的方法也得到了质的发展•数从自然数-…整数一有理数…实数一复数的发展过程,也反映了社会的进步与解决问题能力的提升•因此,对数以及一些数组成的集介进行研究是数学的基础.
本章在中学的基础上主要讨论了实数的性质、数集的性质,实数对组成的二维空间R2的一些集合的性质;同时还通过两个集合之间的映射关系引进函数的左义,并且讨论与函数相关的其他一些定义.
本章的难点主要有以下两个方而:
•函数的槪念、隐函数、一些简单函数的反函数存在性的判左与函数反函数的求法.
•实数集上的确界存在泄理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理的证明与应用:
熟练运用这些左理证明闭区间上连续函数的性质.
三、本章的基本知识要点
(-)实数及其性质
1.实数集R具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
2.实数集R具有阿基米徳性,即对任何b已R,若b>a>0,则存在正整数n,使得na>b.
(二)实数集R的性质
1.a.b是实数,实数集合上的{x\a<,{x\a {x16/ }仝(a,/? ]、{xl6/ }A[t/,Z>]称为有限区间;而{xlX<“}仝(—s,")、 {xlX<6/)A(-oO,6/].{xlX>40",炖)、{xlXh"}仝[a,WO)、{xl-SVJTV+s}°(YO,+Z>)称为无限区间,有限区间与无限区间统称为区间. 2.a是实数、J>0,称为a的5邻域, {xlO @4+5)纠/°+(。 )称为a的右空心邻域,称为a的左空心邻域. 3.M是正数,{xllxl>M}¥(s),称为8邻域,{xlx>M}¥(g)称为+8邻域, {x\x<-M}At/(-O0)称为一00邻域. 4•设S是R中的一个数集,若数〃满足: (1)对一切有即〃是上界; (2) 对任何av〃,存在x0eS,使得即〃又是S的最小上界;则称数〃为S的上确 界,记作〃=supS・ 5.设S是R中的一个数集,若数纟满足: (1)对一切x"有即纟是下界; (2)对任何0>疔,存在x0eS,使得凡V0,即纟又是S的最大下界: 则称数纟为S的下确界,记作§=infS・ 6.确界原理: 设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界: 若S有下界,则S必有下确界. 7.区间套定理: 若{[an,bn]}是一个区间套,则在存在惟一的实数纟e[an,仇],ii=1,2,3,…,即a”<^ 8.区间套定理的推论: 若壮[心,»](几=1,2,…)是区间套{["”“]}所确定的,则对任 给的£>0,存在N>0,使得n>N时有[an,bn]uU(^£)・ 9.(维尔斯特拉Wr(Weierstrass)聚点左理): 实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点. 10.(海涅-波雷^(Heine-Borel)有限覆盖左理)设H为闭区间[a.b]的一个(无限)开覆盖,则从H中可选岀有限个开区间来覆盖[a,b]・ (3)二维平面R? 的性质 1.全平而上的点所组成的点{(x,y)I-co 2;坐标平而上的 满足条件P的点的集合E={(x.y)l(x,y)满足条件P},称为平而点集. 2.平而上的点A(xo,>'o),平而点集{(x,y)l(x-x0)2+(y-y0)2 平而点集{(x,y)I0<(x-x())2+(y-y())2 记为: U\A). 3.对于平而点集E,若存在点A的某邻域U(A)U(A)uE,则称点A是E的内点: 若点A的任何空心邻域U\A)内都含有E中的点,则称A是E的聚点;若E的每一个点都是内点,则称E为开集: 若E的所有聚点都属于E,则称E是闭集;若E中的任意两点都可以用一条完全含于E的有限折线相连接,则称E具有连通性;连通的开集叫开域: 开域连同苴边界叫闭域. 4.(闭域套泄理)设{Dn}是R? 中的闭域列,它满足: (1)Q二》”“=12…, (2)d尸d(DJ°limdn=0,则存在惟一的点 5.(聚点沱理)设EuR]为有界无限点集,则E在M中至少有一个聚点. 6.(有限覆盖定理)设DuR,为一有界闭域,{AJ为一开域族,它覆盖了D(即 Dc|jAa),则在{△/中必存在有限个开域纠仏2,…,△”,它们同样覆盖D(即 Du|J・)・ (4)集合间的关系: 映射、函数 数学是为解决实际问题提供一些系统方法的学科,它通过量化的数来表示事物,通过数的变化来反映事物的变化.在不同时间、不同的地点所表示物体的量的不同,实质就是建立了表示物体的量与时间、地点之间的一个映射,当一个映射满足一泄的条件时,就是函数.因此,函数是数学最重要的一个概念,同时对函数性质的研究是数学分析处理问题的基础. 1•给左两个实数集D和M,若有对应法则f,使对D内每一个数x,都有唯一的一个数y 与之对应,则称f是左在数集D上的函数,记作: 厂DtM,通常记为y=f(x). 注: 只要讲淸了对应法则,而且满足对于第一个集合上的每一个元素,在第二个集合都有惟一的元素和它对应,则这个法则就建立了从第一个集合到第二个集合的函数. x>0 X=O是一个函数,称为符号函数 x<0 2•设有两个函数y=/(“),“=令E¥={x\g(x)eD}^E9若 Q工0,则对每一个可通过函数g对应D内唯一的一个值u,而ii又通过函数f对应唯一的一个值y.这就确立了一个肚义在上的函数,称为函数/与g的复合函数.记作: y=f(gW)- 注: 两个函数能否复合的充分必要条件就是E•工0 3.以形式y=eD表示函数的,称为显函数: 而以方程的形式表示f(x,y)=0表 示一个函数的,称为隐函数.例如y3-2x2=0,xe[-l,l]就是一个隐函数. 4•设函数y=满足: 对于值域/(£>)中的每一个值y,D中有且只有一个 值x使得f(x)=y.则按此对应法则得到一个泄义在/(D)上的函数,称这个函数为/的反 函数,记作x=f~i(y\yef(D).通常改记作y=/(£>). 注: 函数y=/(x),xeD存在反函数的充分必要条件是: /•是D与/(D)之间的一一映射. 5.常量函数y=c、幕函数y=指数函数y=Q、对数函数y=bg“x、三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx、反三角函数y=arcsin.v,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx统称为基本初等函数.由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数,统称为初等函数.并不是每个函数都是初等函数,例如: y=xJ就不是初等函数. 6.设/为定义在D上的函数. (1)若存在正数M,使得对每一个xe£>有I/(x)ISM, 则称/■为D上的有界函数: (2)若对任意xpx2e£>,x, 则称/为D上的增函数;若是都有/(%,)>/(x2),则称/为D上的减函数;(3)若D为对称于原点的数集,且对xeD.都有/(-x)==/(x)).则称/■为D上的 奇(偶)函数: (4)若存在b>0,使得对一切xe£>都有f(x±a)=/(x)jij称/为周期函数. 7.设平而点集Du",若按照某对应法则f,D中每一点P(x.y)都有唯一确定的实数z与 之对应,则称f为左义在D上的二元函数•记作: z=wD. ■基本例题解题点击 【例1】设x.y为实数,xvy.•证明: 存在有理数r满足x 存在无理数a满足x 【提示及点评】 •这是实数的稠密性: •利用不足近似与过剩近似就可以证明. 【证明】由于xvy,故存在非负整数m使得儿(其中易,儿分别为x的n位过剩 x 设〃是任意一无理数,由x x-q x 【知识扩展提示】实数的稠密性是实数的重要性质,在证明有关稠密性方而的时候,经常利用不足近似与过剩近似值来证明,在证明过程两边同时加一个数或减一个数也是常常利用的技巧. 【例2】设S是非空数集,定义S~={x\-xeS}0证明: infS-=-supS. 【提示及点评】 •集合的上下确界的证明是一个难点,这类证明的关键点在于抓住上下确界的立义,上确界: (1)是上界; (2)是最小的上界,即没有比它更小的上界,也即减一点就不是上界。 下确界: (1)是下界: (2)是最大的下界,即没有比它更大的下界,也即加一点就不是下界. 【证明】 (1)证明—supS是S-的下界 任意取一元素x&S~,从而一xeS,因此一xSsupS,x>-sup5 (2)证明—supS是厂最大下界 任意取£>0,因为supS是S的上确界,因此,存在一个元素一;vwS,使得 -x>sup5—s从而x<-supS+£,Wxe 因此,一supS是旷最大下界. 综合以上两点,得到infS-=-supS■ 【知识扩展提示】准确地把握左义是非常重要,利用定义进行解题与证明是数学的一种最基本的方法. 【例3】设a>l,x为有理数。 证明: ax=sup{«rIr为有理数,r 【证明】 (1)证明/是上界. 由于a>l,因此对于任意的r (2)证明/是最小的上界. 任意取一个数b0,则由b 根据实数稠密性・存在有理数a,使得
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