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已知:
BD平分∠ABC,CD平分∠ACB
结论:
∠D=90°
+
∠A
BD平分∠ABC,CD平分∠ACB的外角
∠D=
BD平分∠ABC外角C,CD平分∠ACB的外角
-
例1
(2015年武昌区八上期中)
在△ABC中,∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O,∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D
(1)求证:
∠BOC+∠BDC=180°
(2)若△ABC的三个外角平分线交点为D、E、F,求证:
△DEF为锐角三角形
练
(2015年汉阳区八上期中)
如图,把△ABC沿DE折叠,使点A落在点A1处,直接写出∠BDA1+∠CEA1与∠A之间的数量关系;
(2)如图,BI平分∠ABC,CI平分∠ABC,把△ABC沿DE折叠,使点A与点I重合,若∠BDI+∠CEI=130°
,求∠BIC的度数.
(3)如图,在锐角△ABC中,BF⊥AC于点F,CG⊥AB于点G,BF、CG交于点H,把△ABC沿DE折叠使点A和点H重合,试探究∠BHC与∠BDH+∠CEH之间的数量关系,并证明你的结论.
(2015年青山区八上期中)
如图,在△ABC中,∠A=60°
,BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB,M、N、Q分别在射线DB、DC、BC上,BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN,BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ,求∠F=_________.
例2
(2015年江汉区八上期中)
如图,已知:
∠MON=30°
点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3……在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=2,则△A6B6A7的边为____.
如图,角MAN是一钢架,且角MAN=15度,为使钢架更加坚固,需在其内部加一些钢管CD、DE、EF.…添加的钢管长度都与AC相等,则最多能添加这样的钢管_________根
例3
△ABC的高BD、CE所在的直线交于点H,若∠BHC=65度,则∠BAC的度数为_________.
△ABC的两条高AD、BE所在的直线交于点H,∠C=40°
,则∠AHB=_________°
.
例4
(2012年硚口区八上期中)
如图1,已知AO是等腰Rt△ABC的角平分线,∠BAC=90°
,AB=AC.
(1)在图1中,∠AOC的度数为__________;
与线段BO相等的线段为__________;
(2)将图1中的△AOC绕点O顺时针旋转得到
,如图2,连接
,
,试判断
与
的大小关系?
并给出你的证明;
(3)将图1中的△ABO绕点B顺时针旋转得到△MBN,如图3,点P为MC的中点,连接PA、PN,求证:
PA=PN.
例5
(2015年七一中学八上月考)
如图,A(3m-1,0),B(0,3-m)分别为x轴负半轴、y轴正半轴上的点,OA=OB,C在第二象限,且∠ACB=∠BAC,AD平分∠OAB.
(1)求
;
(2)若AD⊥AC,连CD,求证:
AC=AD;
(3)如图,在x轴的正半轴上找一点E,使OE=OA,点P,Q分别为线段AB,BE上的动点(P,Q均不与△ABE的顶点重合),且OP⊥OQ,过点O作OS⊥AQ交AB于S点,当P运动时,
的值是否变化,试证明你的结论.
例6
(2015年粮道街八上期中)
如图,在平面直角坐标系中,A(0,a)、B(b,0)、C(c,0),且
+|b-2|
=0.
(1)直接写出A、B、C各点的坐标:
A__________、B__________、C__________;
(2)过B作直线MN⊥AB,P为线段OC上的一动点,AP⊥PH交直线MN于点H,证明:
PA=PH;
(3)在
(1)的条件下,若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转,且AP=PQ,∠APQ=90°
,连接BQ,点G为BQ的中点,试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系,并证明你的结论.
例7
在直角坐标系中,∠ABC=∠BDE=90°
,BC=DE,AC=BE,M、N分别是AB、BD的中点,连接MN交CE于点K.
(1)如图1,已知A点的坐标为(3,0),C点的坐标为(-4,2),求D点的坐标.
(2)如图2,当C、B、D共线,AB=2BC时,探究CK与EK之间的数量关系,并证明.
(3)如图3,当C、B、D不共线,AB≠BC时,
(2)中的结论是否成立?
若成立,请证明;
若不成立,请说明理由.
例8
(2015年硚口区八上期中)
如图,等腰△ABC中,AB=AC,点D是AC上一动点,点E在BD的延长线上,且AB=AE,AF平分∠CAE交DE于F.
(1)如图1,连CF,求证:
∠ABE=∠ACF;
(2)如图2,当∠ABC=60゜时,求证:
AF+EF=FB;
(3)如图3,当∠ABC=45゜时,若BD平分∠ABC,求证:
BD=2EF.
(2012年江岸区八上期中)
如图,在平面直角坐标系中,A(a,b)在第一象限内,且a、b满足条件:
,AB⊥y轴于B,AC⊥x轴于C,D为x轴上一点,AC=CD,E为线段OB上一动点,连DA、CE,F是线段CE的中点,若BF⊥FK交AD于K,请问∠KBF的大小是否变化?
若不改变,请求其值;
若改变,求出变化的范围.
例9
(2015秋青山区八上期中)
在△ABC中,∠BAC=90°
(1)如图1,若A、B两点的坐标分别是A(0,4),B(-2,0),求C点的坐标;
(2)如图2,作∠ABC的角平分线BD,交AC于点D,过C点作CE⊥BD于点E,求证:
BD;
(3)如图3,点P是射线BA上A点右边一动点,以CP为斜边作等腰直角△CPF,其中∠F=90°
,点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点,当点P运动时,点Q是否恒在射线BD上?
若在,请证明;
若不在,请说明理由.
例10
如图,直线AB交x轴于点A(a,0),交y轴于点B(0,b),且a、b满足|a+b|
=0
(1)点A的坐标为__________,点B的坐标为__________;
(2)如图,若点C的坐标为(-3,-2),且BE⊥AC于点E,OD⊥OC交BE延长线于D,试求点D的坐标;
(3)如图,M、N分别为OA、OB边上的点,OM=ON,OP⊥AN交AB于点P,过点P作PG⊥BM交AN的延长线于点G,请写出线段AG、OP与PG之间的数列关系并证明你的结论.
[课后作业]
第7讲
如图,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠An-1BC的平分线与∠An-1CD的平分线交于点An.若∠A=64°
.则∠A5=.
2.已知:
点A(0,a)在y轴正半轴上,且满足
,B为x轴上一动点,以AB为边作等腰直角△ABC,AB=AC,∠BAC=90°
,过点C作CE⊥x轴于E,当点B运到时,D为BC的中点,连接DO并延长交CE延长线于点F,求证:
为定值.
3.(2015年武昌区八上期中)
如图,点P(2,2),点A、B分别在x轴正半轴和y轴负半轴上,A(5,0),∠APB=90°
(1)求点B的坐标
(2)点C在y轴正半轴上,作PD⊥PC,且PD=PC,过点P作x轴的平行线交y轴于E,交AD于F,若C(0,m),求PF的长(用m表示)
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