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必然事件:
在一定的条件下重复进行试验时,在每次试验中必然会发生的事件。
不可能事件:
有的事件在每次试验中都不会发生,这样的事件叫做不可能的事件。
2、随机事件:
在一定条件下,可能发生也可能不放声的事件,称为随机事件。
【例1】下列事件中是必然事件的是()
A.打开电视机,正在播广告.
B.从一个只装有白球的缸里摸出一个球,摸出的球是白球.
C.从一定高度落下的图钉,落地后钉尖朝上.
D.今年10月1日,厦门市的天气一定是晴天.
【例2】如图的转盘被划分成六个相同大小的扇形,并分别标上1,2,3,4,5,6这六个数字,指针停在每个扇形的可能性相等,四位同学各自发表了下述见解:
甲:
如果指针前三次都停在了3号扇形,下次就一定不会停在3号扇形了
乙:
只要指针连续转六次,一定会有一次停在6号扇形
丙:
指针停在奇数号扇形的概率和停在偶数号扇形的概率相等
丁:
运气好的时候,只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形,指针停在
6号扇形的可能性就会加大。
其中你认为正确的见解有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
考点二、概率的意义与表示方法
1、概率的意义:
在大量重复试验中,如果事件A发生的频率
会稳定在某个常数p附近,那么这个常数p就叫做事件A的概率。
2、事件和概率的表示方法:
一般地,事件用英文大写字母A,B,C,…,表示事件A的概率p,可记为P(A)=P
【例3】在一场足球比赛前,甲教练预言说:
“根据我掌握的情况,这场比赛我们队有
60%的机会获胜”意思最接近的是()
A.这场比赛他这个队应该会赢
B.若两个队打100场比赛,他这个队会赢60场
C.若这两个队打10场比赛,这个队一定会赢6场比赛.
D.若这两个队打100场比赛,他这个队可能会赢60场左右.
【练】气象台预报“本市明天降水概率是80%”,对此信息,下面的几种说法正确的是( )
A.本市明天将有80%的地区降水
B.本市明天将有80%的时间降水
C.明天肯定下雨
D.明天降水的可能性比较大
考点三、求简单事件的概率
1、确定事件概率
(1)当A是必然发生的事件时,P(A)=1
(2)当A是不可能发生的事件时,P(A)=0
2、确定事件和随机事件的概率之间的关系
事件发生的可能性越来越小
01概率的值
不可能发生必然发生
事件发生的可能性越来越大
【例4】一个袋中装有6个黑球3个白球,这些球除颜色外,大小、形状、质地完全相同,在看不到球的情况下,随机的从这个袋子中摸出一个球,摸到白球的概率是()
【练】某班有49位学生,其中有23位女生.在一次活动中,班上每一位学生的名字都各自写在一张小纸条上,放入一盒中搅匀.如果老师闭上眼睛从盒中随机抽出一张纸条,那么抽到写有女生名字纸条的概率是。
考点四、列表或画树状图求概率
1、列表法:
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
当一次试验要设计两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法。
2、树状图法:
通过列树状图列出某事件的所有可能的结果,求出其概率的方法叫做树状图法。
当一次试验要设计三个或更多的因素时,用列表法就不方便了,为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用树状图法求概率。
【例5】随机掷一枚均匀的硬币两次,两次正面都朝上的概率是()
A、
B、
C、
D、1
【例6】如图,小明,小华用四张扑克牌玩游戏,他俩将扑克牌洗均匀后,背面朝上放置在桌面上,小明先抽,小华后抽,抽出的牌不放回。
(1)若小明恰好抽到的黑桃4。
①请绘制这种情况的树状图;
②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率。
(2)小明、小华约定:
若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大,
则小明胜;
反之,则小明负,你认为这个游戏是否公平?
【练】四张大小、质地均相同的卡片上分别标有数字1,2,3,4,现将标有数字的一面朝下扣在桌子上,从中随机抽取一张(不放回),再从桌子上剩下的3张中随机抽取第二张.
(1)用画树状图的方法,列出前后两次抽得的卡片上所标数字的所有可能情况;
(2)计算抽得的两张卡片上的数字之积为奇数的概率是多少?
【例7】口袋中装有2个相同的球,它们分别写有字母A和B;
乙口袋中3个相同的球,它们分别写有字母C、D和E;
丙口袋中2个相同的球,它们分别写有字母H和I。
从三个口袋中各随机地取出1个球。
(1)取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少?
(2)取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少?
【练】口袋中有15个球,其中白球x个,绿球2x个,其余为黑球。
甲从袋中任意摸出一个球,若为绿球则获胜,甲摸出的球放回袋中,乙从袋中摸出一个球,若为黑球则获胜。
则当x=____时,游戏对甲乙双方公平。
考点五、利用频率估计概率
1、利用频率估计概率:
在同样条件下,做大量的重复试验,利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数,可以估计这个事件发生的概率。
2、在统计学中,常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计,这样的试验称为模拟实验。
3、随机数:
在随机事件中,需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。
把这些随机产生的数据称为随机数。
【例8】在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球,这a个球中红球只有3个,每次将球搅拌均匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量反复试验后发现,摸到红球的频率稳定在25%,那么可以推算出a大约是()
(A)12(B)9(C)4(D)3
同步练习
一.选择题
1.下列事件必然发生的是()
A.一个普通正方体骰子掷三次和为19
B.一副洗好的扑克牌任抽一张为奇数。
C.今天下雨。
D.一个不透明的袋子里装有4个红球,2个白球,从中任取3个球,其中至少有2球同色。
2.样本:
7,12,11,10,13,8,7,14,9,10,8,11,10,8,10,9,12,9,13,11。
那么这组数据落在范围8.5~11.5内的频率应该是()
A.0.65B.0.6C.0.5D.0.4
3.甲袋中装着1个红球9个白球,乙袋中装着9个红球1个白球,两个口袋中的球都已搅匀。
想从两个口袋中摸出一个红球,那么选哪一个口袋成功的机会较大?
()
A.甲袋B.乙袋C.两个都一样D.两个都不行
4.下列事件中,属于确定事件的是()
A.发射运载火箭成功
B.2008年,中国女足取得冠军
C.闪电、雷声出现时,先看到闪电,后听到雷声
D.掷骰子时,点数“6”朝上
5.下列事件中,属于不确定的事件的是()
A.英文字母共28个
B.某人连续两次购买两张彩票,均中头奖
C.掷两个正四面体骰子(每面分别标有数字1,2,3,4)接触地面的数字和为9
D.哈尔滨的冬天会下雪
6.下列事件中属于不可能的事件是()
A.军训时某同学打靶击中靶心B.对于有理数x,∣x∣≤0
C.一年中有365天D.你将来长到4米高
2.填空题
1.如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏,游戏的规则如下:
同时抛出两个正面,乙得1分;
抛出其他结果,甲得1分。
谁先累积到10分,谁就获胜.你认为获胜的可能性更大。
2.口袋中放有3只红球和11只黄球,这两种球除颜色外没有任何区别。
随机从口袋中任取一只球,取到黄球的概率是_____。
3.五张标有1、2、3、4、5的卡片,除数字外其它没有任何区别。
现将它们背面朝上,从中任取一张得到卡片的数字为偶数的概率是。
4.小红、小明、小芳在一起做游戏时,需要确定游戏的先后顺序.他们约定用“剪子、包袱、锤子”的方式确定.问在一个回合中三个人都出包袱的概率是____________。
三.解答题
1.一对骰子,如果掷两骰子正面点数和为2、11、12,那么甲赢;
如果两骰子正面的点数和为7,那么乙赢;
如果两骰子正面的点数和为其它数,那么甲乙都不赢。
继续下去,直到有一个人赢为止。
(1)你认为游戏是否公平,并解释原因;
(2)如果你认为游戏公平,那么请你设计一个不公平的游戏;
如果你认为游戏不公平,那么请你设计一个公平的游戏。
2.如图,是由转盘和箭头组成的两个装置,装置A、B的转盘分别被分成三个面积相等的扇形,装置A上的数字分别是1,6,8,装置B上的数字分别是4,5,7,这两个装置除了表面数字不同外,其它构造完全相同.现在你和另外一个人分别同时用力转动A、B两个转盘中的箭头,如果我们规定箭头停留在较大数字的一方获胜(若箭头恰好停留在分界线上,则重新转动一次,直到箭头停留在某一数字为止),那么你会选择哪个位置呢?
请借助列表法或树状图法说明理由.
课后练习
一、选择题
1.下列事件中,属于必然事件的是()
A、明天我市下雨
B、我走出校门,看到的第一辆汽车的牌照的末位数字是偶数
C、抛一枚硬币,正面朝上
D、一口袋中装有2个红球和1个白球,从中摸出2个球,其中有红球
2.从一副扑克牌中抽出5张红桃,4张梅花,3张黑桃放在一起洗匀后,从中一次随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到,这件事情()
A、可能发生B、不可能发生
C、很有可能发生D、必然发生
3.一个袋子中放有红球、绿球若干个,黄球5个,如果袋子中任意摸出黄球的概率为0.25,
那么袋子中共有球的个数为()
A.15B.18C.20D.25
4.小明掷一枚硬币玩游戏,一连5次都掷出正面朝上,请问他第6次掷硬币时正面朝上的概率为()
A.1B.0C.
D.不确定
5.老师从小明、小刚、小红三位同学中选一名同学参加数学竞赛,则小刚选不上的概率为()
A.
B.
C.0D.
6.一箱饮料(24瓶)中,有4瓶的盖内印有“奖”字,连续打开4瓶均未中奖,那么在剩下的饮料中任意拿出一瓶会中奖的概率为()
C.
D.
二、填空题
1.如图所示的两个圆盘中,指针落在每一个数上的机会均等,那么两个指针同时落在偶数上的机会(概率)是。
2.一个不透明的袋子中装有除颜色外其余都相同的三个小球,一个红球、两个黄球。
如果第一次先从袋子中摸出一个球后不再放回,第二次再从袋中摸出一个,两次都摸出黄球的概率是。
3.有10张卡片,分别写有0~9这10个数字,洗匀后任意抽出一张。
抽到数字6的概率=___________;
抽到两位数的概率=____________;
抽到数字大于7的概率=_______;
抽到数字是合数的概率=________。
4.一转盘被平均分成8个扇形,涂上几种颜色,飞标打转盘,若击中黄色,
则中一等奖;
击中绿色,则中二等奖;
击中粉色,则中三等奖。
中一等奖的概率为_________;
中二等奖的概率为_________;
中奖的概率为_____________。
三、解答题
1.两人去某风景区游玩,每天某一时段开往该风景区有三辆汽车(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度,也不知道汽车开过来的顺序.两人采用了不同的乘车方案:
甲无论如何总是上开来的第一辆车.而乙则是先观察后上车,当第一辆车开来时,他不上车,而是子痫观察车的舒适状况,如果第二辆车的舒适程度比第一辆好,他就上第二辆车;
如果第二辆车不比第一辆好,他就上第三辆车.
如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等,请尝试着解决下面的问题:
(1)三辆车按出现的先后顺序工有哪几种不同的可能?
(2)你认为甲、乙采用的方案,哪一种方案使自己乘上等车的可能性大?
为什么?
2.某电脑公司现有A,B,C三种型号的甲品牌电脑和D,E两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑.
(1)写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示);
(2)如果
(1)中各种选购方案被选中的可能性相同,那么A型号电脑被选中的概率是多少?
(3)现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示),恰好用了10万元人民币,其中甲品牌电脑为A型号电脑,求购买的A型号电脑有几台.
中考习题
1.一个盒中装着大小、外形一模一样的x颗白色弹珠和y颗黑色弹珠,从盒中随机取出一颗弹珠,取得白色弹珠的概率是
.如果再往盒中放进12颗同样的白色弹珠,取得白色弹珠的概率是
,则原来盒中有白色弹珠 颗.
2.如图所示,A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点,在格点中任意放置点C,恰好能使△ABC的面积为1的概率是
3.如右图,在某十字路口,汽车可直行、可左转、可右转.若这三种可能性相同,则两辆汽车经过该路口都向右转的概率为.
4.已知一次函数
,其中k从1,-2中随机取一个值,b从-1,2,3中随机取一个值,则该一次函数的图象经过一,二,三象限的概率为
5.盒子里有3张分别写有整式x+1,x+2,3的卡片,现从中随机抽取两张,把卡片的整式分别作为分子和分母,则能组成分式的概率是.
6.有三张正面分别标有数字3,4,5的不透明卡片,它们除数字不同外其余完全相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中任取一张,记下数字后将卡片背面朝上放回,又洗匀后从中再任取一张,则两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的概率是
7.为了解学生的艺术特长发展情况,某校音乐组决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中,你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图解答下列问题:
(1)在这次调查中一共抽查了名学生,其中,喜欢“舞蹈”活动项目的人数占抽查总人数的百分比为,喜欢“戏曲”活动项目的人数是人;
(2)若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”活动项目任选两项设立课外兴趣小组,请用列表或画树状图的方法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项活动的概率.
8.为了备战初三物理、化学实验操作考试,某校对初三学生进行了模拟训练,物理、化学各有4各不同的操作实验题目,物理用番号①、②、③、④代表,化学用字母a、b、c、d表示,测试时每名学生每科只操作一个实验,实验的题目由学生抽签确定,第一次抽签确定物理实验题目,第二次抽签确定化学实验题目.
(1)请用树形图法或列表法,表示某个同学抽签的各种可能情况.
(2)小张同学对物理的①、②和化学的b、c号实验准备得较好,他同时抽到两科都准备的较好的实验题目的概率是多少?
9.某校八年级为了解学生课堂发言情况,随机抽取该年级部分学生,对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计,其结果如下表,并绘制了如图10所示的两幅不完整的统计图,已知B、E两组发言人数的比为5:
2,请结合图中相关数据回答下列问题:
(1)求出样本容量,并补全直方图;
(2)该年级共有学生500人,请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数;
(3)已知A组发言的学生中恰有1位女生,E组发言的学生中有2位男生,现从A组与E组中分别抽一位学生写报告,请用列表法或画树状图的方法,求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率。
10.(2012四川德阳10分)有A、B两个不透明的布袋,A袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字0和
;
B袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字
、0和1.小明从A袋中随机取出一个小球,记录标有的数字为x,再从B袋中随机取出一个小球,记录标有的数字为y,这样确定了点Q的坐标(x,y).
⑴写出点Q所有可能的坐标;
⑵求点Q在x上的概率;
⑶在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径是2,求过点Q能作⊙O切线的概率.
11.(2012四川资阳7分)为了决定谁将获得仅有的一张科普报告入场券,甲和乙设计了如下的一个游戏:
口袋中有编号分别为1、2、3的红球三个和编号为4的白球一个,四个球除了颜色或编号不同外,没有任何别的区别,摸球之前将小球搅匀,摸球的人都蒙上眼睛.先甲摸两次,每次摸出一个球;
把甲摸出的两个球放回口袋后,乙再摸,乙只摸一个球.如果甲摸出的两个球都是红色,甲得1分,否则,甲得0分;
如果乙摸出的球是白色,乙得1分,否则,乙得0分;
得分高的获得入场券,如果得分相同,游戏重来.
(1)(4分)运用列表或画树状图求甲得1分的概率;
(2)(3分)这个游戏是否公平?
请说明理由.
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