第三章微分中值定理与导数的应用Word文档下载推荐.doc
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(2)如果f(x)不是常函数,则f(x)在(a,b)内至少有一个最大值点或最小值点,不妨设有一最大值点xÎ
(a,b).于是
所以f¢
(x)=0.
罗尔定理的几何意义:
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少有一点x(a<
x<
b),使得等式
f(b)-f(a)=f¢
(x)(b-a)
成立.
拉格朗日中值定理的几何意义:
f¢
(x)=,
定理的证明:
引进辅函数
令j(x)=f(x)-f(a)-(x-a).
容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件:
j(a)=j(b)=0,j(x)在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导,且
j¢
(x)=f¢
(x)-.
根据罗尔定理,可知在开区间(a,b)内至少有一点x,使j¢
(x)=0,即
(x)-=0.
由此得=f¢
(x),
即f(b)-f(a)=f¢
(x)(b-a).
定理证毕.
f(b)-f(a)=f¢
(x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b<
a也成立.
拉格朗日中值公式的其它形式:
设x为区间[a,b]内一点,x+Dx为这区间内的另一点(Dx>
0或Dx<
0),则在[x,x+Dx](Dx>
0)或[x+Dx,x](Dx<
0)应用拉格朗日中值公式,得
f(x+Dx)-f(x)=f¢
(x+qDx)Dx(0<
q<
1).
如果记f(x)为y,则上式又可写为
Dy=f¢
试与微分dy=f¢
(x)Dx比较:
dy=f¢
(x)Dx是函数增量Dy的近似表达式,而
(x+qDx)Dx是函数增量Dy的精确表达式.
作为拉格朗日中值定理的应用,我们证明如下定理:
定理如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零,那么f(x)在区间I上是一个常数.
证在区间I上任取两点x1,x2(x1<
x2),应用拉格朗日中值定理,就得
f(x2)-f(x1)=f¢
(x)(x2-x1)(x1<
x2).
由假定,f¢
(x)=0,所以f(x2)-f(x1)=0,即
f(x2)=f(x1).
因为x1,x2是I上任意两点,所以上面的等式表明:
f(x)在I上的函数值总是相等的,这就是说,f(x)在区间I上是一个常数.
例2.证明当x>
0时,.
证设f(x)=ln(1+x),显然f(x)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件,根据定理,就有
f(x)-f(0)=f¢
(x)(x-0),0<
x。
由于f(0)=0,,因此上式即为
.
又由0<
x,有
三、柯西中值定理
设曲线弧C由参数方程
(a£
x£
b)
表示,其中x为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线,那么在曲线C上必有一点x=x,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB,曲线C上点x=x处的切线的斜率为
弦AB的斜率为
.
于是
柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且F¢
(x)在(a,b)内的每一点处均不为零,那么在(a,b)内至少有一点x,使等式
显然,如果取F(x)=x,那么F(b)-F(a)=b-a,F¢
(x)=1,因而柯西中值公式就可以写成:
(x)(b-a)(a<
b),
这样就变成了拉格朗日中值公式了.
3.2洛必达法则
1.理解洛必达法则的使用条件,掌握用洛必达法则求未定式的极限的方法;
2.了解洛必达法则求极限的注意问题。
用洛必达法则求极限。
L’Hospital,Undecidedtype
四、助教学情况:
一.型和型未定式的解法:
洛必达法则
定义:
若当(或)时,函数和都趋于零(或无穷大),则极限可能存在、也可能不存在,通常称为型和型未定式.
例如,(型);
(型).
定理1:
设
(1)当时,函数和都趋于零;
(2)在点的某去心邻域内,和都存在且;
(3)存在(或无穷大),
则
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则
证明:
定义辅助函数
在内任取一点,在以和为端点的区间上函数和满足柯西中值定理的条件,则有
(在与之间)
当时,有,所以当,有
故.证毕
说明:
1.如果仍属于型,且和满足洛必达法则的条件,可继续使用洛必达法则,即;
2.当时,该法则仍然成立,有;
3.对(或)时的未定式,也有相应的洛必达法则;
4.洛必达法则是充分条件;
5.如果数列极限也属于未定式的极限问题,需先将其转换为函数极限,然后使用洛必达法则,从而求出数列极限.
例1求,(型)
解原式==
例2求,(型)
解原式==
例3求,(型)
解原式===1
例4求,(型).
解原式===1
例5求,(型)
解原式===
==
注意:
洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,效果更好.
例6求
解原式====
二.型未定式的求法
关键:
将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型和型.
1.型未定式的求法
步骤:
或
例7求型
例8求型
解原式=
例9求型
例10求型
例11求型
解由于
而
所以原式=
洛必达法则的使用条件.
例12求
解原式=极限不存在
(洛必达法条件不满足的情况)
正确解法为原式=
例13求
解设,则
因为
==
从而原式=
3.3泰勒公式
1.掌握Taylor公式及其余项的两种形式;
2.熟记常用函数的n阶Maclaurin公式.
3.了解用Taylor公式证明不等式,求极限.
二、重点、难点:
求函数的Taylor公式
三、主要外语词汇:
Taylor,Maclaurin,
对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于用多项式表示的函数,只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算,便能求出它的函数值,因此我们经常用多项式来近似表达函数.
在微分的应用中已经知道,当|x|很小时,有如下的近似等式:
ex»
1+x,ln(1+x)»
x.
这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处:
首先是精确度不高,这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小;
其次是用它来作近似计算时,不能具体估算出误差大小.因此,对于精确度要求较高且需要估计误差时候,就必须用高次多项式来近似表达函数,同时给出误差公式.
设函数f(x)在含有x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,现在我们希望做的是:
找出一个关于(x-x0)的n次多项式
pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+×
×
+an(x-x0)n
来近似表达f(x),要求pn(x)与f(x)之差是比(x-x0)n高阶的无穷小,并给出误差|f(x)-pn(x)|的具体表达式.
我们自然希望pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n+1)阶导数)相等,这样就有
pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+×
+an(x-x0)n,
pn¢
(x)=a1+2a2(x-x0)+×
+nan(x-x0)n-1,
¢
(x)=2a2+3×
2a3(x-x0)+×
+n(n-1)an(x-x0)n-2,
(x)=3!
a3+4×
3×
2a4(x-x0)+×
+n(n-1)(n-2)an(x-x0)n-3,
×
pn(n)(x)=n!
an.
pn(x0)=a0,pn¢
(x0)=a1,pn¢
(x0)=2!
a2,pn¢
a3,×
pn(n)(x)=n!
an.
按要求有
f(x0)=pn(x0)=a0,f¢
(x0)=pn¢
(x0)=a1,f¢
(x0)=2!
a2,f¢
(x0)=3!
a3,
×
f(n)(x0)=pn(n)(x0)=n!
从而有
a0=f(x0),a1=f¢
(x0),,×
,.
(k=0,1,2,×
n).
于是就有
pn(x)=f(x0)+f¢
(x0)(x-x0)(x-x0)2+×
(x-x0)n.
泰勒中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)的阶导数,则当x在(a,b)内时,f(x)可以表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和:
其中(x介于x0与x之间).
这里
多项式
.
称为函数f(x)按(x-x0)的幂展开的n次近似多项式,公式
+×
称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式,而Rn(x)的表达式
其中(x介于x与x0之间).
称为拉格朗日型余项.
当n=0时,泰勒公式变成拉格朗日中值公式:
f(x)=f(x0)+f¢
(x)(x-x0)(x在x0与x之间).
因此,泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
如果对于某个固定的n,当x在区间(a,b)内变动时,|f(n+1)(x)|总不超过一个常数M,则有估计式:
及.
可见,妆x®
x0时,误差|Rn(x)|是比(x-x0)n高阶的无穷小,即
Rn(x)=o[(x-x0)n].
在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成
.
当x0=0时的泰勒公式称为麦克劳林公式,就是
或,
其中.
由此得近似公式:
误差估计式变为:
例1.写出函数f(x)=ex的n阶麦克劳林公式.
解:
因为f(x)=f¢
(x)=×
=f(n)(x)=ex,
所以f(0)=f¢
(0)=f¢
(0)=×
=f(n)(0)=1,
于是(0<
1),
并有.
这时所产性的误差为
|Rn(x)|=|xn+1|<
|x|n+1.
当x=1时,可得e的近似式:
.
其误差为|Rn|<
例2.求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式.
因为
f¢
(x)=cosx,f¢
(x)=-sinx,f¢
(x)=-cosx,
×
,
f(0)=0,f¢
(0)=1,f¢
(0)=0,f¢
(0)=-1,f(4)(0)=0,×
于是.
当m=1、2、3时,有近似公式
sinx»
x,,.
3.4函数单调性与曲线的凹凸性
1.掌握函数的单调性判别法,会求单调区间;
2.理解曲线凹凸的概念,会用二阶导数判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点;
3.会利用单调性和曲线的凹凸性证明不等式。
二、重点(难点):
单调性和曲线的凹凸性的判定和应用
Monotone,Caveandconvex,Turntoorder
五、参考教材(资料):
一、函数单调性的判定法
如果函数y=f(x)在[a,b]上单调增加(单调减少),那么它的图形是一条沿x轴正向上升(下降)的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的(是非正的),即y¢
=f¢
(x)³
0(y¢
(x)£
0).由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.
反过来,能否用导数的符号来判定函数的单调性呢?
定理1(函数单调性的判定法)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.
(1)如果在(a,b)内f¢
(x)>
0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调增加;
(2)如果在(a,b)内f¢
(x)<
0,那么函数y=f(x)在[a,b]上单调减少.
证明只证
(1).在[a,b]上任取两点x1,x2(x1<
x2),应用拉格朗日中值定理,得到
f(x2)-f(x1)=f¢
(x)(x2-x1)(x1<
x2).
由于在上式中,x2-x1>
0,因此,如果在(a,b)内导数f¢
(x)保持正号,即f¢
0,那么也有f¢
0.于是
(x)(x2-x1)>
0,
即f(x1)<
f(x2),
这函数y=f(x)在[a,b]上单调增加.
注:
判定法中的闭区间可换成其他各种区间.
例1判定函数y=x-sinx在[0,2p]上的单调性.
解因为在(0,2p)内
y¢
=1-cosx>
所以由判定法可知函数y=x-cosx在[0,2p]上的单调增加.
例2讨论函数y=ex-x-1的单调性.(没指明在什么区间怎么办?
)
解y¢
=ex-1.
函数y=ex-x-1的定义域为(-¥
+¥
).因为在(-¥
0)内y¢
<
0,所以函数y=ex-x-1在(-¥
0]上单调减少;
因为在(0,+¥
)内y¢
>
0,所以函数y=ex-x-1在[0,+¥
)上单调增加.
例3.讨论函数的单调性.
函数的定义域为(-¥
).
当时,函数的导数为
(x¹
0),函数在x=0处不可导.
当x=0时,函数的导数不存在.
因为x<
0时,y¢
0,所以函数在(-¥
因为x>
0,所以函数在[0,+¥
如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只要用方程f¢
(x)=0的根及导数不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,就能保证f¢
(x)在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调.
例4.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间.
解这个函数的定义域为:
(-¥
函数的导数为:
(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).导数为零的点有两个:
x1=1、x2=2.
列表分析:
1]
[1,2]
[2,+¥
(x)
+
-
f(x)
↗
↘
函数f(x)在区间(-¥
1]和[2,+¥
)内单调增加,在区间[1,2]上单调减少.
例5.讨论函数y=x3的单调性.
解函数的定义域为:
(-¥
y¢
=3x2.除当x=0时,y¢
=0外,在其余各点处均有y¢
0.因此函数
y=x3在区间(-¥
0]及[0,+¥
)内都是单调增加的.从而在整个定义域:
)内是单调增加的.在x=0处曲线有一水平切线.
一般地,如果f¢
(x)在某区间内的有限个点处为零,在其余各点处均为正(或负)时,那么f(x)在该区间上仍旧是单调增加(或单调减少)的.
例6.证明:
当x>
1时,.
证明:
令,则
.
因为当x>
1时,f¢
0,因此f(x)在[1,+¥
)上f(x)单调增加,从而当x>
1时,f(x)>
f
(1).
由于f
(1)=0,故f(x)>
f
(1)=0,即
也就是(x>
二、曲线的凹凸与拐点
凹凸性的概念:
x1
x2
y
x
O
f(x2)
f(x1)
定义设f(x)在区间I上连续,如果对I上任意两点x1,x2,恒有
那么称f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧);
如果恒有
那么称f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).
定义¢
设函数y=f(x)在区间I上连续,如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方,则称该曲线在区间I上是凹的;
如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方,则称该曲线在区间I上是凸的.
凹凸性的判定:
定理设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数,那么
(1)若在(a,b)内f¢
0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的;
(2)若在(a,b)内f¢
0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.
简要证明只证
(1).设x1,x2Î
[a,b],且
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- 第三 微分 中值 定理 导数 应用