微分中值定理的全部基础理论和常见优秀题型解法技巧Word文件下载.docx
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.YTD,故佩亚若余项仅能用于心点的邻域.例如讨论极值
及求.YT%的极限。
它的“短消息”形式为门x)*(心)+厂(曲)(—心)+0(—心)°
当儿=0时,上述的拉氏余项和佩亚若余项形式的泰勒展开称为麦克劳林展幵:
它们的"
短消息”形式为
/⑴=/(0)+旷()f(x)=/(0)+劝"
(0)+。
(巧
匝]:
上述展开的形式可以只含有一个导数项也可以含多个导数项,需根据具体的使用要求而肚,我们必需注意什么情况下X可以取到区间的端点,这一点十分重要。
对二元函数具有类似的结论:
301(ddY
圧h^-+k\f(x^y0)+Rn
H-0'
IOX~丿
几种常见函数的麦克劳林形式的泰勒展开:
①e"
=l+x+Jj^2+•••=工丄Fxe(-oo,+oo)
®
cosx=-J_x2
2!
1325
(5)tanx=x+jX+巧*+•…
Xn”心
@arctanx=丫(一1)
2)积分三定理
f(x)在S,b]上连续,f(x)>
0,但不恒为零,贝!
ijJ/(x)dr>
Oom[b-a)<
jf(x)dx<
M(b-a)
£
f(x)dx=f()(b-a)e[«
b]特另lj注意:
e[a,b]属于闭区间。
“a)g(wT()仏(》
三)函数九大性质(单,极、最,渐,周,偶、凹,凸、拐。
)详情见后。
里因上述泄理或性质共20个是解决中值定理证明题的系统工程设施,知识繁复,纵横交错。
其中心问题是"
玩点”,要细心辨析那些区间的端点或分界点在什么条件下可以取值,哪些不可以,读者不能含糊,需要不遗余力反复历练,,这也正是这部分题难度大的主要原因。
四)等式的证明:
(陈氏三大原创技巧)
1.第一技巧:
冒找原模型
首先要从结论入手(一般学子习惯从条件入手、貝实是误区)分析所要证明的结论符合微分中值
8大左理的哪个原始模型(寻找原模型),当然必须尽可能变换结论的等价形式才能靠上某一左理,苴中最常用的技巧是:
构造辅助函数F(a)o一日•能确左原模型,对比该左理的条件,从已知条件中验证即可。
读者先不要急,具体例题我们会阐述具体做法,但以下三个原则需要注意。
1如只涉及非导数形式,应从闭区间连续函数的三大定理入手,优先考虑根值左理。
2如只涉及导数形式,应从闭区间连续函数中与导数有关的五个定理入手,优先考虑洛尔泄理。
证明过程中,往往对两类泄理同时考虑。
3两类泄理的纽带是变限积分F(x)=£
T/(r去掉变限枳分众所周知采用求导法,去掉左积分常用
三个方法是:
积分中值,积分估值和泰勒中值。
2-第二技巧:
悴造辅助函数尺汗
构造辅助函数F(x),然后再使用洛尔立理,是使用中值左理证明等式的主要技巧。
如被证明的等式含有复杂常数,并且变量与常数可以分离,则可令常数总体为k,以方便运算。
一般采用以下三种方法:
2-1•直接积分法:
第一步:
代换TX,如存在导数,则两边同时积分,取积分常数C=0:
第二步:
移项使等式右边为0,令左边等于辅助函数F(x):
第三步:
如需证明的等式中不含导数,贝忖算F("
)与F(〃),如果F(“)・F(b)v0(注意:
等号不成立),则可直接应用根值左理,否则,必须分割原区域[a,b][a,c]与[c,叶或[c,〃任["
b]称为辅助子区间,再验证子区间端点的函数值之积是否小于零,取条件点,使之满足根值立理F()=0:
第四步:
如需证明的等式中含有二阶导数,贝泌须分割原区间[a,b]^[a,c]与[c,/打两个辅助子区间,在不同的辅助区间上分别使用洛尔圧理,如F'
(J=0,F'
(2)=0,再在[,,2】使用洛尔泄理得
F'
()=0,对于二阶以上类推。
也可以构造变限积分形式的辅助函数F(x)=J7(f)df,由/(尤)的二阶可导推得F(a)三阶可导,即F'
(x)存在。
常用积分法寻找原函数范例:
•/()-伙)->
i=>
r(x)-/(x)=i-x
=>
f(x)=Jdl[£
1一x)eJ"
+」戸e1(xe_'
+c)=ce1+x
[f(x)-x]e~x=c(x)-x]e-J=0=>
F(x)=[/(x)-x]J
•(1+)/'
()=/()=(l+x)广⑴=/©
)
J月亠d—(龙)3
f(x)\+xl+x'
7\+x
2・2・配全微分法
移项或代换化简,观察得出全微分形式:
区域端点替换TX;
如需证明等式,则利用洛尔左理:
必要时再分割原区域,取条件点,使之满足洛尔左理;
如需证明不等式,则利用函数单调性。
常用配全微分法范例:
•八)=k=>
fr(x)-k=0=>
[/=0=>
F(x)=f(x)-kx
•门)=V()=>
/,(^)-^W=0=>
[^fcV(x)]=0=>
F(x)=e_ty(x)
•/()g'
()=r()»
(心心)-*)=0詁严)他)卜0”(兀)=严)/(巧
•广()-二
•2广()+r()=o^^-2rwJ=o^r(.>
=x2ro
•r()"
+(/()-)=”(/()-沪o=F(W(/(g)
2-3-双元拉柯法(一般适应于彼证明的等式中含有两个变量,如,等):
观察设置一个或两个具体辅助函数:
利用"
双元拉柯法"
,即:
两次拉氏中值左理或两次柯西中值左理或一次拉氏中值定理和一次
柯四中值泄理。
如遇到闭区间上可导的条件或二阶以上导数存在或遇到求极限问题,采用泰勒中值左理。
3•第三技巧:
康勒中值法
主要适用于闭区间上存在髙阶连续导数(一般的中值左理条件只是开区间上可导,注意这一特征)或已知/(心),广(心),厂(观)…的情形,另外,在去掉定积分符号方而也经常应用。
【例1】/(%)在[0,2可上连续,且/(0)=f(2a),证明:
在[0,可上至少存在一点
”)=/(+"
证明:
变换结论几)=/(+"
)=>
/()-/(+t/)=0^/(x)-/(x+«
)=0=>
F(x)=0原模型就是零值定理的结论。
构造辅助函数:
F(x)=f(x+a)-f(x)
・・•F(x)在[0,2a]上连续,则F(x)在[0,a]上连续
且
F(0)=/(«
)-/(0)
F⑷=/(0)-/(«
・••当/(0)-/(«
)=0时,0或。
均可取作(因为零值泄理条件中没有等号。
如/(0)—/@)工0,有
F(0)F(«
)=-[/(0)-/(6/)]2<
由零值能理,3使F()=0e(0//)故原命题成立。
【例2】设/(X)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,/(0)=0,/
(1)=1j'
/(x)Jx=2
试证;
3e(0,1)=>
广()=0。
原模型是洛尔泄理或费马泄理,但由于/(0)H/(l),而有效子区间不易求岀,故洛尔泄理不适用,可考虑费马立理。
由积分中值定理,£
!
/(a)Jx=2=>
/()=2,e(0,1)
W/(0)=0,/
(1)=1,可见,/(0),/(I)不是/(X)在[0,1]上的最大值。
即:
/()=max{/(x)W为x的最大值,也是极大值之一,又由于广()3,O<
A<
1C丿
由费马定理得:
3e(0,l)=>
/f()=0。
【例3】若于⑴在[0,1]上有三阶导数,且/(0)=/
(1)=//
(1)=0,设F(x)=jv7
(x),试证在(0,1)内至少日一个,使F"
)=0
变换结论F'
()=0n[「(x)]'
=0或FT)=0=>
[F©
)]'
=0n用两次[F(a)]Z=0>
原模型是洛尔定理。
F\x)=3x2f(x)+x3广(x),Fr(x)=6xf+6x2f'
+xf'
(0)=0,F(l)=0nF(0)=F(l)n在(0,1归,)=0(洛尔定理)
又"
(0)=0,F\1)=0=>
F\0)=Fr(J
^3w(0,Ju(0,l)nF"
'
()=0(洛尔定理)
【例4】设/(x)在区间[—a,a](a>
0)±
具有二阶连续导数,/(0)=0,证明:
3曰-匕必使/厂()=^/(a>
/x
题中有闭区间上二阶可导的特征,需使用拉格朗日余项的泰勒中值卫理展开到二阶。
/⑴=/(0)+/Wv+f=厂(0)尤+?
厂(庆而最值泄理有:
ni<
ff(x)<
M
m\aj^dx<
rf(x)dx=『f(o)xdx+丄「x2f"
()dx<
M「x2°
3fl7(A)<
M2~a
3«
"
丄
/(x)就相当于某一个值
掘由怎值定理及其推论,3e[-a,a]使八
/广()=斗f(x)dx
【例5]设/(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且/(0)=/(!
)=0,/|)=1
试证:
3e(OJ),使f\)=1。
解:
分析广()=1=广(x)=ln/(x)=x+C=>
/(x)—x=O
故可令F(x)=/(x)-x
又F(l)=/(l)-l=-l<
F(l)=/1)一丄=1一丄=丄>
222.22
由零值运理3e11)=0
2
又F(0)=/(0)-0=0;
3e[0.]
由洛尔宦理F()=0^/X)=1
【例6]设/(X),g(n在⑷h]上连续,在(血b)上可导,且/(«
)==o・
至少m—个使f\)+/()g\)=0
积分法构造辅助函数
广(力八
分析:
广(x)+m)g3=o==一g(Q
/U)
ln/(x)=_g(x)+C=>
/(x)=ce-g{x}=>
/(x)^(x>
=C=0
故可令F(x)=f(x)eg{x}
F(a)=0JW=0
3m)+/()Q()=0
【例7】设/(x)在[0,1]上可导,且满足关系式f(\)-^2xf(x)dx=0
在(0,1)内至少m—个&
使厂()=一丄」
积分法构适辅助函数」
HA-)=-/(xUr(x)_j
X/(X)X
In/(x)=-Inx+Inc=>
f(x)=L=>
V(x)=C=0
故可令F(x)=xf(x)
"
(1)=F()
3s(,l)u(O,l)f()=0»
()+/'
()=0
【例8】设/(x)在区间[ab]上连续,在(“,b)可导,证明在(“,b)内至少日一个,使
bf(b)-af(a)=f(“八)o
由于结论左边存在一大堆常数.为方便计算,可左其为£
。
再使用积分法构造辅助函数。
故可令F(x)=xf(x)^kx
由洛尔定理=>
3-个e(a.b)=^F\)=0n命题约证
【例9】若/(X)在[0,6/]±
可导@>
0),且/(0)==0:
在(0卫)内必存在
“n广a)」_
12127
被证明的结果有两个变量,原模型为双元拉柯型。
分
析:
设[o,a]=>
[0,]+[,a]
f(x)=/(/()-1./(%)=/("
)-/(lio
1-02a--a
亠广(禺)广(切=0/()=-;
/()-!
=--!
=—-aaaaa
得辅助函数F(x)=/(A-)-J
a
问题是能不能找到这样的,W(04)=/()三
自然想到原模型为零值左理:
x
只要设:
F(x)=/W-->
则
f(o)=/(o)=i>
o;
f(«
)=-1<
F()=0,e(0,“)
于是,原命题得证。
【例10](“)证明积分中值泄理:
若函数/(巧在闭区间[匕可上连续,则至少存在一点e[a,b],使得£
/(x)Jx=/()(b_d)。
卩)若函数(x)具有二阶导数,且满足⑵〉
(1),
(2)>
j;
(a>
a-,则至少存在一点
已(1,3),使得,()<
0o
(=>
勺bj-af'
jxdx<
尹
@)/(x)在[“,可上连续,于是苴存在最大值M与最小值加.
b=>
in0<
7b-a
由介值泄理及其推论得:
则至少存在一点e[a,b],使得
/()=「U_j>
(x)dx=/()(*-«
(b)由于结论存在二阶导数,必须分割原区间为两个辅助区间,又由于是不等式,而已知条件又没有给岀函数的具体形式,无法利用单调性,故原模型应是拉格朗日中值定理。
(2)>
(1),
(2)>
[(小心()
分别在[1,2]与卩,]上应用拉格朗日中值泄理
3,€[1,2],2e[2,]
=,()>
4严Xz)<
再在[卩2]上应用拉格朗日中值定理
3€[r2卜(1,3)
(’(「)-\)<
2-'
1b
【例11】设/(x)在[匕列上连续,在(("
)上二阶可导,且f(a)=f(b)=f(x)dx,试证:
存在一点w仏方)=>
厂()=0
分析:
*上)使厂()=o<
=3N(G,),2気,b)ugb)使广(i)=f\2)=0
<
=3e(a,b)使/(a)=/(f⑷=f(b)=~^~\hf(x)必
显然:
只要设F(A-)=£
7(r)^/r,利用拉格朗日中值圧理便可找到这样的。
X
设f(a-)=£
f(t)dt
F⑹-Fgf(=
b_ab-a
3(("
,),2e(,b)u(d,b)n/"
(1)=/,
(2)=°
e(1,2)f()=0
【例12】设y(x)在[0,1]连续,在(0,1)内可导,且/(0)=/
(1)=0,*卜1,试证:
对任意的wR,
必存在e(O,l)=/'
()-"
()—1)=1
枳分法构造辅助函数。
广()-[/()-卜1亠广⑴—/«
=!
-
/©
)=丿细-莎皿+」『
[f(x)-x]e-x=c
故可令r(x)=[/(x)-x]^x
..⑴「m-]
F(l)=“(l)—l]e<
0,F\1一一訂=一小>
hA12丿L⑵2」2
3e,1=>
F()=0=>
/()=
F(0)=[/(0)-0]=0,F()=0=F(0)
me(0,)u(0,l)nF()=0Gd[[/(x)-广()-「J()-lj=1
【例13】/(x)在[a,切连续,在(a,b)可导,0<
a<
b,
证明m,e(Gb),使门)=字7'
()。
/'
()
结论中含有两个变量,使用双元拉柯法,右边可写成一,形式,故可构造辅助函数
(■)
g(x)=F,则me(«
/?
g(b)-g(“)g'
fY\
/(b)-f(a)=(b2-a2)J-^~L
p/(b)-/(“)_(“+历广()
b-a2
*()/?
()5)
【例14】/(x)在[ab](«
>
0)连续,在(ab)可导,/(t/)=/(/?
)=1,证明3,wab),
\/l-l
使=/()+_广()°
I)n
改写结论为:
nM-*=/()nn-]+"
广()
而(x"
)‘LU(a-V(x)),I1.=/()h-*+nf()
故可构造辅助函数:
F(x)=aV(a),G(a)=xh,由拉格朗日中值左理得
b-ab-a
沪理上皿匚厶…b_ab_a
亠^^=()宀+vf()=nn~l
F(町-F(“)b"
f(b)~anf(a)b'
-an
3==——=/()"
“+丁'
b-a
【例15]/(x),g(x)在[%切连续,在(%b)可导,g(°
)=g(b)=l,f(x)^O,证明3‘w(d,b),使^~^=e~B()+/()]。
f'
()[心⑴]
…=—
门)皿
(x)=e'
g(x),同时与/(Q在[“,切上应用柯西中值泄理得:
炖)-Hg("
)_ej\)_e[g()+g,()]
他TS)一/(/o-/go"
TH-7T1
再令O)=e‘,同时与/(x)在[“,方]上再应用柯西中值泄理得:
=—(_L_£
_广()f()
eb~eae[g()+g,()]e上述两式比较得:
/、/、==
/(MSf()r()
故:
3,丸劝,使=厂[g()+Q()]
【例16】/(x)在[0,1]连续,(0,1)可导,/(0)=0,/
(1)=1,试证对任意给定的正数a,b,m不同的,e(0,1),使"
+"
=a+h
/(0)=0,/
(1)=1,由介值左理知:
V0<
<
1=>
3ce(0,1),使/'
(c)=
再考虑在[0,c]和[c,1]上分别应用拉格朗日中值左理
I7⑴-/(0)=厂(
仏)-/3=广(
)(c—0)e(0,))(c—1)e(,1)
冷二竺+Mkzd,+c[d-@+b)]
f()r()I-
可见,要使上述等式右边为1>
只要取
m不同的,e(o.1),使"
(1-)
aa
=(0<
1),
a+ba+b
b
+
f\)7(
_=a+h
即可。
【例17】已知b>
a>
0,求证:
3,e(a.b)
1b
”h】_
『()=八)"
故可令g(x)=Inx
g(b)-g(a)g\)
Ji八)=f.
.b
In—
Inb一Ina
使得^f\)=
厂()
b
ln_f\)」b-a
【例18】已知]:
:
)一,「一]T'
求广(°
)和广(°
显然lim(e/(x>
-l)=0=>
lim/(x)=0
.v->
0A-M)
交换上述,=广()=
cosx-1
w_l~/(x)=/(0)+/'
(0)+!
/7庆
)^/(0)
一x2
limcosx-l=2=]
xtO“a—_]r_
/(0)+厂(0)+-厂()02
亠广(0)=0,厂(0)=—1
Inff\)—b_a
【例19]设『=/(Q在(一1,1)内具有连续的二阶导数,且广(X)HO,试证:
(1)对于(一1,1)内任意一XHO,存在唯一的0)£
(-1,1),使/(£
)=/(0)+灯'
((A)A)成立:
(2)lima)=J_。
d2
解
(1)利用拉氏中值定理:
存在"
(0,1)=>
/(x)-/(O)=f()X
(A)=Y°
=~=>
=(x)x0<
(x)<
1
x-x0X
/(X)=/(O)+A/^((X)X)
以下证明(x)是唯一的:
厂(QhO,表示)u/(x)在(―1,1)内无拐点,也就是y=f,(x)在(0,1)内不变号,
由此推断出,广(£
)>
0或厂(x)v0n/'
(x)严格单调,所以“)是唯一的。
(2)利用泰勒中值左理:
存在
e(O,x)d/⑴=/(0)+广(O)x+1/()A-2^>
/(A)-/(0)=/z⑼x+】f()x2
22亠矿(Cv)a)=/,(0)X+L/F()X2
(x)x)-/"
(0)1ft)
x2
r/\/'
((小)-f(0)「1“、1〃、
lim(x)・=lim_厂()=1曲_厂()
—ux(x)a2
nlim(x)•厂(0)=lim[厂()=_/r(0)nlim(x)=[
zto22—02
x+ax3
【例20】试确定常数。
和》使当兀TO时,/(x)=arctanx--—为x的尽可能髙阶无穷小,并
・1+br
求此阶数和极限。
解:
X+UX
f(x\arctanx一
lim=lim1+肚
*toy1goy1
arctanx=x-+丄-丄+0(x)
X5X5x1
2+亦7'
V
x,l(\+bx2)
由于分子中最髙阶无穷小项是bx2^(x),为9阶,如畀=9,由于x"
(l+亦)z心那么lim°
(F)=lim°
(^)不存在,故n最大只能取7
2吹(1+呵7T
b1
当n=l时,要使原极限存在,必须—-一式°
,否则不能满足/(x)为x的尽可能髙阶无穷小
而
L_」=0「a
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