比较图形的面积.docx
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比较图形的面积
比较图形的面积
潍坊市奎文区幸福街小学 郑旭
(此文由幸福街小学潘丽老师整理)
【教学内容】
北师大版小学数学五年级上册P16-17的内容
【教学目标】
1.通过观察、交流等活动,帮助学生积累研究图形的经验,使学生掌握比较图形面积大小的基本方法。
2.让学生在操作活动中,经历随机性到条理性的发现过程,体验学习数学的乐趣。
【教学重、难点】
重点:
帮助学生积累图形研究的经验,得出并掌握比较图形面积小的方法。
会用不同的方法去比较图形的面积大小
难点:
如何调动学生已有的经验,如何利用学生已有的知识基础和经验基础引发学生反思,进行经验的迁移,促进智慧生成。
【教具准备】课件、方格纸、报告单等
【教学过程】
一、调动经验,激起兴趣
师:
同学们,你们喜欢玩俄罗斯方块的游戏吗?
生齐答:
喜欢。
师:
谁能说说,为什么喜欢?
生:
提高我们的思维活跃力,锻炼我们的反应能力。
师:
谁能说一说游戏具体怎么玩的?
生:
里面有很多方块拼起来,拼成一层一层的,然后慢慢的削掉。
师:
哦,每一次出现一个图形都需要我们快想,怎么变怎么放,把它放在哪,锻炼我们的脑力。
老师也很喜欢这个游戏,今天带来了一组图形,请同学们看一下。
放大屏幕
师:
这些图形很像俄罗斯方块,今天我们就用数学的眼光来观察一下,这些图形的面积大小有什么关系吗?
生:
它们的面积都是相同的。
师:
她一句话就概括了,真棒,请坐。
是怎么知道的?
生:
一格一格数出来的。
师:
很好,数格子是一个根本大法,我们很多时候要用到数的方法。
板书数格子
师:
老师有一个不明白的,这7号怎么数啊?
生:
两个半格算一个整格。
师:
你的意思是把这两个半格算一个整格。
好,请坐。
她说到的这个是我们以后学习几何时经常要用到的方法,你知道是什么方法吗?
生:
组合?
师:
我们来看,你是把这边的半格怎么样?
生齐答:
切掉,然后再移到那边。
师:
这就是我们以后研究几何图形当中经常要用到的一种方法割补法,转化成其它图形。
板书:
割补转化
师?
我们来验证一下刚才的回答是否正确。
屏幕演示俄罗斯方块图。
师:
图1跟图4的面积相等吗?
生齐答:
相等。
师:
它们两个怎么样了?
生齐答:
重合。
师:
这也是研究图形的一个方法,你给它起个名字。
生猜测:
重合法?
重叠法?
板书:
重叠法
师:
不管是数格子、重叠法、割补转化法,我们都可以证明这些图形的面积是?
生齐答:
相等的。
板书:
面积相等。
师:
我们通过把图1和图4重叠,我们发现这两个图形是完全相同的,既然完全相同,那么面积?
生齐答:
面积相等。
板书:
完全相同。
师:
完全相同指大小、形状完全相同,那么面积一定是相等的。
接着看,这叫割补转化,转化以后跟谁一样了?
生齐答:
跟图4一样。
屏幕演示图2图5
师:
看图2和图5是什么图形?
生齐答:
对称图形。
师:
对称图形的面积?
生齐答:
面积相等。
师:
我们再来看图3和图6
生齐答:
完全重叠。
师:
其实所有的图形我们都可以归结为一个图形,来看图4,跟谁一样?
屏幕演示图4的变化过程。
生齐答:
图9
师:
看图6。
屏幕演示图6的变化过程。
生齐答:
跟图8相同。
师:
所有的图像都可以归结为这样的形状,所以我们的结论是?
生:
图1、2、3、4、5、6、7、8、9的面积是相等的。
屏幕显示:
①=②=③=④=⑤=⑥=⑦=⑧=⑨
师:
看老师这里的记录方式,过会你也可以采用老师这样的方式记录。
师:
刚才几个图,我们只是热热身,一会还有更复杂的图呢,我们这节课重点是研究这些图形,有没有信心?
生齐答:
有!
师:
好,那我们来看。
二、独立思考,初步探究
屏幕展示
师:
这里面都有哪些图形?
生:
1、2、3、4、5、6、号图形都是三角形。
师:
他把三角形都找到了。
生:
7、8号图形都是平行四边形。
师:
真棒,他又找到了平行四边形,谁能一次多说点?
生:
12号是长方形,14号是梯形。
师:
我发现9、10、11号图形没有人说。
生着急说:
是不规则的。
师:
嗯,可以叫它们不规则图形。
根据我们研究俄罗斯方块的体验,你能找出这些图形的面积大小有什么关系吗?
请同学们独立思考5分钟,完成报告单。
你的发现就是你的结论,方法在黑板上有,你的理由就写是面积相等或是完全相同,清楚了吗?
生:
清楚了。
老师巡视指导。
表扬简洁的记录方式。
5分钟后
师:
同学们,老师看到了你们思考的印记,现在大部分同学能完成两到三个结论,接下来我们小组内讨论一下。
三、小组合作,整合反思
师:
首先看一下小组内大多数同学都有的结论,就在这个结论前面打上对号;如果跟别人不一样,首先思考这个结论是否正确,要是正确就补充在报告单的下面,然后除了这些,你还能得出更多的结论吗?
再给大家5分钟。
小组讨论,老师巡视指导。
5分钟后
师:
请同学们迅速坐好。
你们还是在继续思考着,可能还有一些是你们认为两个图形面积相等,但还没有拿出论证的,我们一会再来研究。
现在来汇报一下刚才讨论的结果,先汇报大多数同学都能发现的那些结论。
小组1:
我们的发现是,图11和图12的面积相等,方法是割补转化法,理由是面积相同。
师:
同意的点点头。
这个结论是你们4个人都发现了的吗?
小组1:
是的。
小组2:
图1和图3的面积相等,方法是数格子,理由是完全相同。
师:
这是你们小组共同发现的,很好。
小组3:
我们的发现是9+10=12,方法是割补转化法,理由是面积相等。
师:
割了吗?
没有割,可以说是拼接,结论是正确的,不错。
哪些结论是你们一开始最先发现的?
小组4:
我们的发现是图5、图6、图2的面积相等,方法是数格子,理由是它们的大小相等,面积相同。
师:
哦,他们发现了图2、图5、图6的面积都是相等的,可能有的同学只发现了图2和图5的面积相等,或图5和图6的面积相等。
还有你们小组最初都发现的结论吗?
小组5:
5+6=8,用的是重合法,理由是面积相等。
板书:
11=12
1=3
5=6=2
9+10=12
5+6=8
师:
没有举手的了,看来你最初独立思考完成的就是这些,后来通过你的交流还有更多的结论,我们先来看一下这些结论。
老师刚才在下面转的时候发现,最初同学们都能找到图1的面积等于图3的面积,还有很多同学发现了图5的面积、图6的面积还有图2的面积是相等的,因为这些图形是单个的比较简单的,同学们能从简单的入手,这样很好。
大屏幕展示这些结论。
师:
图1和图3通过重叠法发现面积相等,你还有其他方法吗?
可以数吗?
怎么数?
生:
数格子,先数整的,两个半格为一格,一个4个半格。
生:
可以用脑力数。
师:
可以用脑子来数,用脑子怎么数,你来介绍一下。
生:
把图3与它面积相同的三角形组成一个正方形,图3面积就是正方形的一半,用正方形的格子数除以2就是图3占几个格子了。
师:
方法真好,你太棒了,都会用脑子数了,我们给他掌声。
我们一起来看一下。
屏幕展示图3脑数的过程。
师:
我们一起来看一下,跟老师的方法是一样的。
给图3添加辅助线,这叫辅助线,在几何里经常会用到,根据你的需要有时候在图形里面加,有时候在图形外面加,我们要学会加辅助线的方法。
加上辅助线后,图3变成了正方形,格子好数吧。
生:
9个格子。
师:
三角形呢?
生:
4个半。
师:
你们反应真快。
图2,谁能马上来数出?
生:
6个
师:
你怎么知道是6个的?
生:
图2加上辅助线面积是12个格子,12除以2,三角形是占6个格子。
师:
很好,这就是脑数的方法。
刚才我们在同学的提示下还学会了脑数的方法,非常好的方法。
四、集体交流,深化思考
师:
这些结论都是小组内最初发现的,通过小组的讨论、碰撞,还发现了哪些结论?
生:
1+3=7,用的是割补转化法,理由是面积相同。
师:
能具体说一下怎么割补转化的吗?
生:
先把1和3合起来拼成一个正方形,再把7上面的三角形割下来补到下面也拼一个正方形,这样面积就相等了。
师:
这样可以,还有吗?
生:
图4和图7的面积相等,方法是数格法,理由是面积相等。
师:
我们看一下,同意吗?
有的同学很会学习,现在正在往记录卡上加,不过还不着急,一会有时间。
还有其他结论吗?
生:
1+3=4,方法是结合法,理由是面积完全相同。
师:
图4的面积和图7的面积相等,图1的面积和图3的面积合起来跟图4的面积相等,可以合起来说1+3=7=4。
(板书)还有结论吗?
生:
12=13,数格法,面积相同。
师:
板书,面积相等吗?
打上问号,一会研究。
还有其他结论吗?
生:
8=12,我用的方法是割补转化法,理由是面积相等。
(板书)
师:
这个结论是否正确也打问号。
生:
9+10=11,方法是割补转化,将9和10从中间切口加起来,面积正好等于11。
师:
刚才有个结论是9+10=12,现在又证明了9+10=11,谁能说一个完整的结论?
生:
9+10=12=11
师:
老师添上等于11就可以了。
还有吗?
生:
1+2+3=13(板书)
师:
发现这个结论的同学举手,看来不多,也是我们的疑惑点,我们打一个问号。
五、批判建构
师:
同学们真棒找到这么多结论,那边结论是我们都认可的没有问题,打着问号的3个结论是同学们迷惑的地方,(指有疑惑的结论
8=12,12=13,1+2+3=13)老师再给大家5分钟的时间,重点研究这3个结论,论证一下到底成不成立,你可以在图上画一画、标一标,下面小组讨论。
小组讨论,老师巡视指导。
师:
不同的小组论证了不同的结论,哪个小组来说一下。
小组1(投影展示):
我们论证12=13是错的,把左边的角移不到右边角。
师:
你们认为移不过去,所以图12的面积和图13的面积不相等,有意见不相同的吗?
小组2:
我认为图12和图13的面积是相等的,通过数格子,图13有15个格子,图12也有15个格子。
师:
有不同意见的吗?
生(投影展示):
我用数格子的方法,把图13做上辅助线,共有28个格子,图13就有14个格子。
所以12=13的结论是不对的。
师:
同意吗?
生:
同意。
师:
同学们考虑一下,加辅助线是为了什么。
加辅助线后的图形面积是原图形的两倍才除以2,可这个加辅助线后图形是原图形的两倍吗?
生:
不是。
师:
不是就不能除以2了。
我们一起来看图12和图13,无论怎么割怎么补,都不能割补成相同的图形。
至于数格子,我们一起看一下。
图12有15格,图13呢?
我们共同来数一下。
(通过投影演示过程)左边三角形是?
生齐答:
4个半。
师:
右边三角形是?
生齐答:
1个半。
一共是6个。
师:
加上中间的正方形(9个)。
生齐答:
一共是15个。
师:
那图12和13的面积?
生:
面积是相等的。
师:
老师知道大家的疑惑了,总是想把两个图形转变成一模一样的才认为面积相等。
虽然这两个图形不能割补转化为形状完全相同的图形,但是图13和图12都含有15个格子,说明它们都含有15个面积单位,它们的面积就是相等的,当其他的方法都不适合时,数格子就是根本大法。
那么图12和图13的面积相等吗?
生:
相等。
师:
有论证下面的结论的吗?
小组2:
我们论证的图8的面积不等于图12的面积。
(投影演示)把图8左边的三角形移到右边,是4列3行,共12个格子。
而图12有15个格子,所以图8的面积不等于图12的面积。
师:
同学们都得了这个结论,请回,掌声鼓励。
8=12的结论是错误的,我们也要感谢提出错误结论的同学,科学就是从错误中论证出来的,我们来感激他。
还有?
找没回答问题的小组。
小组3:
我们论证的是1+2+3=13。
我们用数格子的办法,(加辅助线,将图13分成3个三角形)发现左边两个三角形的格子数与图1、图2相等,都是4个半,右边的三角形的格子数与图2是相同的,都是6个格子,所以得出结论1+2+3=13。
师:
他们将图13已经分割了,可以不用数格子,(投影画出图13的三个三角形分别与图1、2、3形状相同),这样就可以论证结论正确了。
有的同学结论与他们的相同但是论证方法不同,因为时间关系我们先说到这里,回去以后可以再交流一下。
六、总结提升
师通过板书总结:
通过学习我们学会了比较面积的这些方法,同学们也能自如的运用这些方法论证了这些图形的面积是相等的。
当然这些结论不是每个同学都发现的,是集大家的智慧发现的。
老师还想给大家留个作业,你们回去在思考一下,把报告单补充完整,通过这节课的学习,你会发现更多的结论。
还有一张作业纸,你是不是发现(教师指着题)很简单了呢?
那就回去完成吧。
正准备下课时,一个学生举手,教师叫起她
生:
既然1+2+3=13,12=13,那么1+2+3=13=12。
教师激动的补充板书1+2+3=13=12
师:
既然这样,结论还可以再写。
学生发表观点。
师:
留给我们后面无尽的思考。
带着这种思考,我们下课!
【板书设计】
比较图形的面积
11=12 数格子 面积相等
1=3 重叠法
5=6=2 割补转化法 完全相同
9+10=12=11
5+6=8 12=13 √
1+3=7=4 8=12 ×
1+2+3=13 √
数学活动经验的积累过程是学生主动探索的过程,在本节课中,你认为哪些方面在帮助学生积累活动经验方面做得比较好,请列举某个环节说明你的观点。
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