4平面图形的面积.docx
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4平面图形的面积
实验三怎样计算平面图形的面积
一、试验目的和要求
探索曲线拟合的不同方式,使学生了解泰勒公式的意义,并且对运用定积分计算任意平面图形的面积有更深入的认识。
能初步运用所学数学知识及数学软件工具matlab解决实际问题。
二、问题的描述
通过学习高等数学,我们知道可以利用定积分来计算平面图形的面积。
但这是有前提条件的,既要知道围成所考虑的平面图形的曲线对应的函数。
如图
(图1)(图2)
图1中曲边梯形的面积为
,
图2中平面图形的面积为,
然而在现实生活中,我们考虑计算平面图形的面积时,并不知道围成所考虑的平面图形的曲线对应的函数。
要运用定积分计算平面图形的面积,首先要找到这样的函数。
三、问题的分析
当然首先我们必须建立适当的坐标系,无妨我们就象图2那样建立直角坐标系。
接下来我们面临的问题是函数
应该设成什么形式。
如果连函数应该是什么样的形式都不清楚,那就更谈不上把它们求出来。
面对这样的情况,我们很自然希望这些函数有一种统一的简洁的形式。
四、背景知识
其实在高等数学的学习中,这个问题已经解决。
这就是我们学习的泰勒公式、幂级数。
满足一定条件的函数,都可以用多项式近似表示,因此,这里的函数我们可以统一设成多项式的形式(多项式逼近)。
练习1:
在同一坐标系内作出区间
上指数函数
及多项式逼近函数:
的图像,观察这些多项式函数逼近指数函数的情况。
相关的Matlab语句:
x=(-2:
0.1:
2);
y=exp(x);
y1=1+x;
y2=1+x+(x.^2)/2;
y2=1+x+(x.^2)/2;
y3=1+x+(x.^2)/2+(x.^3)/6+(x.^4)/24;
plot(x,y,'k',x,y1,'m',x,y2,'g',x,y3,'c')
练习2:
在同一坐标系内作出区间
上余弦函数
及多项式函数:
的图像,观察这些多项式函数逼近余弦函数的情况。
相关的Matlab语句:
x=(-2:
0.1:
2);
y=cos(x);
y1=1-(x.^2)/2;
y2=1-(x.^2)/2+(x.^4)/24;
y3=1-(x.^2)/2+(x.^4)/24-(x.^6)/144;
y4=1-(x.^2)/2+(x.^4)/24-(x.^6)/144+(x.^8)/1152;
plot(x,y,'k',x,y1,'m',x,y2,'g',x,y3,'c',x,y4,'b')
因此我们可以把函数
设成多项式的形式,设
接下来的问题是怎样找到多项式合适的系数。
我们可以先在曲线上确定若干个点。
五、实验过程
1.拉格朗日插值法
无妨设上半段曲线
上取得不同的点为:
,则一定要有
我们可用矩阵的形式表示
前面这个
阶矩阵就是有名的范德蒙矩阵,因为取的是不同的点,所以
两两不相等,此范德蒙矩阵的秩为
,所以方程组有唯一的解。
相关的Matlab语句:
%原始数据-下边界曲线
X1=[0,1,2,3,4,5,6,7,7.35;3,1.25,0.875,0.5,0.27,0.4,1.2,2.65,4];
t1=X1(1,:
);%横坐标
y1=X1(2,:
);%竖坐标
fori=1:
length(X1)%计算范德蒙矩阵
b(i,1)=1;
forj=2:
length(X1)
b(i,j)=X1(1,i).^(j-1);
end;
end
a1=inv(b)*X1(2,:
)'%解方程组
fori=1:
9%调整
h1(i)=a1(10-i);
end,h1
s=0:
0.01:
7.35;%绘图-横坐标
k1=polyval(h1,s);%绘图-竖坐标
plot(s,k1,'b-')%绘图-拉格朗日插值曲线
holdon
plot(t1,y1,'r.','MarkerSize',18)%绘图-原始数据点
%原始数据-上边界曲线
X2=[0,1,2,3,4,5,6,7,7.35;3,5.1,5.6,6.05,6.2,6,5.6,4.9,4];
t2=X2(1,:
);%横坐标
y2=X2(2,:
);%竖坐标
fori=1:
length(X2)%计算范德蒙矩阵
b(i,1)=1;
forj=2:
length(X2)
b(i,j)=X2(1,i).^(j-1);
end;
end
a2=inv(b)*X2(2,:
)'%解方程组
fori=1:
length(X2)%调整
h2(i)=a2(10-i);
end,h2
s=0:
0.01:
7.35;%绘图-横坐标
k2=polyval(h2,s);%绘图-竖坐标
plot(s,k2,'b-')%绘图-拉格朗日插值曲线
plot(t2,y2,'r.','MarkerSize',18)%绘图-原始数据点
holdoff
%计算图形的面积
f1=inline('-0.00014384*x.^8+0.0043349*x.^7-0.055551*x.^6+0.39407*x.^5-1.6774*x.^4+4.305*x.^3-6.4166*x.^2+5.5464*x+3','x')%插值多项式上
q1=quadl(f1,0,7.35)%插值多项式上的数值积分
f2=inline('0.00026363*x.^8-0.0077636*x.^7+0.094958*x.^6-0.62637*x.^5+2.4235*x.^4-5.5753*x.^3+7.356*x.^2-5.4154*x+3','x')%插值多项式下
q2=quadl(f2,0,7.35)%插值多项式下的数值积分
q1-q2%图形的面积
答案:
32.7785
如果我们多取一些点,情况会怎样呢?
X1=[0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5,7,7.35;3,1.57,1.25,1.08,0.875,0.67,0.5,0.36,0.27,0.25,0.4,0.67,1.2,1.66,2.65,4];
X2=[0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5,7,7.35;3,4.6,5.1,5.35,5.6,5.85,6.05,6.17,6.2,6.15,6,5.8,5.6,5.37,4.9,4];
用拉格朗日插值法,并不是取的点越多越好,当取样点越来越多时,不但多项式越来越复杂、计算越来越烦,而且曲线除了中部拟合得还算可以,在两端会产生振荡,这称为龙格振荡,也叫龙格现象。
怎样解决这个问题呢?
有兴趣的同学,可以去阅读有关分段插值、样条插值的书籍。
2.最小二乘法
还有一种方法就是最小二乘法。
设
是曲线
上的不同的点。
我们考虑:
,
使此式取得最小值的
应该就是所求多项式的最恰当的系数。
而这样的取值应该使函数
在此点的偏导数都为零(驻点)。
由此可得
这是一个
元线性方程组,解此方程组可得到唯一一组
的取值。
相关的Matlab语句:
%原始数据-边界曲线
X=[0,1,2,3,4,5,6,7,7.35;3,1.25,0.875,0.5,0.27,0.4,1.2,2.65,4];
n=8;
b=zeros(n+1,n+1);
fori=1:
n+1%计算左边系数矩阵
forj=1:
n+1
fork=1:
length(X)
b(i,j)=X(1,k).^(i+j-2)+b(i,j);
end
end
end,b
0.00001*b
c=zeros(n+1,1);
fori=1:
n+1%计算右边矩阵
fork=1:
length(X)
c(i,1)=X(1,k)^(i-1)*X(2,k)+c(i,1);
end
end,c
0.00001*c
a=inv(b)*c%解方程组
fori=1:
n+1
h(i)=a(n+2-i);
end,h
s=0:
0.01:
7.35;
k=polyval(h,s);
plot(s,k,'b-')%绘图-拟合曲线
holdon
plot(X(1,:
),X(2,:
),'r.','MarkerSize',18)%绘图-原始点
holdoff
在Matlab中,有专门处理这类问题的函数ployfit[],下面就是用这个函数处理给定数据的结果:
functionmyfun4(X,n)
f=polyfit(X(1,:
),X(2,:
),n);
s=X(1,1):
0.01:
X(1,length(X));
k=polyval(f,s);
plot(s,k,'b-')
holdon
plot(X(1,:
),X(2,:
),'r.','MarkerSize',18)
holdoff
X1=[0,1,2,3,4,5,6,7,7.35;3,1.25,0.875,0.5,0.27,0.4,1.2,2.65,4];
X2=[0,1,2,3,4,5,6,7,7.35;3,5.1,5.6,6.05,6.2,6,5.6,4.9,4];
myfun4(X1,5)
holdon
myfun4(X2,5)
holdoff
结果
0.00043133x^5-0.018445x^4+0.21362x^3-1.1181x^2+2.8907x+3.0239
-0.00087208x^5+0.028672x^4-0.27192x^3+1.1613x^2-2.5623x+2.9805
myfun4(X1,7)
holdon
myfun4(X2,7)
holdoff
结果
-0.0001443x^7+0.0017023x^6+0.0076633x^5-0.20482x^4+1.1767x^3
-3.0477x^2+4.1636x+3.0003
0.00044621x^7-0.0099791x^6+0.081862x^5-0.27557x^4+0.15831x^3
+1.1813x^2-2.881x+2.9994
myfun4(X1,8)
holdon
myfun4(X2,8)
holdoff
结果
-0.00014384x^8+0.0043349x^7-0.055551x^6+0.39407x^5-1.6774x^4
+4.305x^3-6.4166x^2+5.5464x+3
0.00026363x^8-0.0077636x^7+0.094958x^6-0.62637x^5+2.4235x^4
-5.5753x^3+7.356x^2-5.4154x+3
%计算图形面积
f1=inline('-0.00014384*x.^8+0.0043349*x.^7-0.055551*x.^6+0.39407*x.^5-1.6774*x.^4+4.305*x.^3-6.4166*x.^2+5.5464*x+3','x')
q1=quadl(f1,0,7.35)%数值积分
f2=inline('0.00026363*x.^8-0.0077636*x.^7+0.094958*x.^6-0.62637*x.^5+2.4235*x.^4-5.5753*x.^3+7.356*x.^2-5.4154*x+3','x')
q2=quadl(f2,0,7.35)
q1-q2
myfun4(X1,11)
holdon
myfun4(X2,11)
holdoff
结果
-7.6174e-006x^11+0.00023364x^10-0.0028372x^9+0.016711x^8
-0.04317x^7+0.17966x^5-0.76187x^3+2.7113x+3
6.6823e-006x^11-0.00020354x^10+0.0024566x^9-0.014398x^8
+0.037084x^7-0.15444x^5+0.65571x^3-2.2762x+3
六、结论与运用
在计算一般的平面图形的面积的过程中,会涉及到与之相关的许多数学知识,如积分学的基本思想、多项式逼近理论、曲线拟合的一些方法等。
这些数学知识在其他许多问题中也被广泛应用。
通过计算一般的平面图形的面积,也许你对这些数学知识有一个更深刻地认识,从而在解决实际问题中,更好地运用这些数学知识。
许多重要的数学知识,第一次学习时,很多学生都不知道为什么要学习它们,甚至潜意思中产生抵触情绪,有时甚至使学习无法进行下去。
如泰勒公式等。
在学习这些知识以前,初步了解一些他们的应用背景,也许这样的情况可以大为改观。
七、练习
1.在同一坐标系内作出区间
上对数函数
及多项式函数
的图像,观察这些多项式函数逼近指数函数的情况。
2.在同一坐标系内作出区间
上正弦函数
及多项式函数
3.假定某天的天气变化,试找出这一天的气温变化规律(求气温关于时间的函数)。
时刻t(x)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
温度oC(y)
15
14
14
14
14
15
16
18
20
22
23
25
28
时刻t(x)
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
温度oC(y)
31
32
31
29
27
25
24
22
20
18
17
16
4.比较这两种方法各自的优点和缺点。
对于给定的数据,运用Matlab及以上两种不同的方法找出相应的多项式,并作出其图像。
你认为哪种方法要好些。
你能不能找到其他的办法解决这个问题。
5.在平面上任意画一条简单光滑闭曲线,求此闭曲线围成的平面图形的面积。
并观察当曲线上取的点逐渐增加时,所求多项式及所求面积值的变化情况。
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