届吉林省吉林市高三第二次调研测试数学文试题.docx
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届吉林省吉林市高三第二次调研测试数学文试题
2019-2020学年吉林省吉林市普通中学度高三第二次调研测
试数学(文)试题
一、单选题
Ax|0x14Bx|x2,则AB
,
1.集合
(
)
A.x|0x3
B.x|1x3
C.x|0x2
【答案】D
D.x|1x2
A,B
AB
.
【解析】先求出集合
【详解】
,再利用交集的运算即可求出
Ax1x3Bx|x2,所以ABx1x2.
,
因为
故选:
D.
【点睛】
本题主要考查集合的交集运算,属于基础题.
i
2.i是虚数单位,则1i
(
)
11
11
11
C.i
22
11
D.i
22
A.i
B.i
22
22
【答案】A
【解析】根据复数的运算,利用复数的除法,即可求解,得到答案.
【详解】
i1i
1i1i1i
i
1i
11
i
22
由题意,复数
【点睛】
,故选A.
2
本题主要考查了复数的化简、运算,其中解答中熟记复数的基本运算法则,合理、准确
运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
3.如果一组数据的中位数比平均数小很多,则下列叙述一定错误的是(
)
A.数据中可能有异常值
C.数据中可能有极端大的值
【答案】B
B.这组数据是近似对称的
D.数据中众数可能和中位数相同
【解析】根据中位数、平均数、众数的定义说明.
【详解】
中位数表示一组数据的一般水平,平均数表示一组数据的平均水平,如果这两者差不多,
说明数据分布较均匀,也可以看作近似对称,但现在它们相关很大,说明其中有异常数
据,有极端大的值,众数是出现次数最多的数,可能不止一个,当然可以和中位数相同,
因此只有B错误.
故选:
B.
【点睛】
本题考查样本数据特征,掌握它们的概念是解题基础.
4.“ab2c”的一个充分条件是(
)
ac或bc
ac且bc
ac
bc
ac或bc
B,ac
或
A.
B.
C.
且
D.
【答案】C
A,ac或bc
ab2c
A
【解析】对于
,不能保证
成立,故不对;对于
bc,不能保证ab2c成立,故B不对;对于C,ac且bc,由同向不等式相
加的性质知,可以推出ab2c,故C正确;对于
ab2c成立,故D不对,故选C.
D,acbc
或
,不能保证
5.若4sin3cos0,则sin22cos
2
(
)
48
25
56
25
8
5
43
A.
B.
C.
D.
5
【答案】B
3
【解析】由4sin3cos0,求得tan,再由
4
2tan2
sin22cos
2
,即可求出.
tan1
2
【详解】
sin
3
4
由4sin3cos0,求得tan
,
cos
2sincos2cos
2
2tan2
而sin22cos
2
,
sin
3
2
cos
2
tan1
2
22
4
32
56
所以sin22cos
2
.
25
1
4
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查已知正切值,齐次式求值问题的解法以及二倍角公式的应用,意在考查学
生的数学运算能力,属于基础题.
x1
x
y
xy0
z2xy
,则的最小值为(
6.已知实数,满足线性约束条件
)
xy+20
A.1
B.1
C.5
D.5
【答案】B
【解析】首先画出可行域,然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可.
【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示,
y2xz
目标函数即:
截距最小,
,其中z取得最小值时,其几何意义表示直线系在y轴上的
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值,
x1
xy1,可得点的坐标为:
A1,1,
联立直线方程:
z
2xy211
.
据此可知目标函数的最小值为:
min
故选B.
【点睛】
本题考查了线性规划的问题,关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义,属于基础
题.
7.对两个变量进行回归分析,给出如下一组样本数据:
0.675,0.989,
1.102,0.010,2.899,1.024,9.101,2.978,下列函数模型中拟合较好的是
(
)
A.y3x
B.
y3x
C.yx12
D.ylogx
3
【答案】D
【解析】作出四个函数的图象及给出的四个点,观察这四个点在靠近哪个曲线.
【详解】
ylogx
如图,作出A,B,C,D中四个函数图象,同时描出题中的四个点,它们在曲线
3
的两侧,与其他三个曲线都离得很远,因此D是正确选项,
故选:
D.
【点睛】
本题考查回归分析,拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多,说明拟合效果好.
1
fxx
2
lnx的最小值是(
B.1
8.函数
)
2
1
A.
2
C.0
D.不存在
【答案】A
【解析】先求出函数的定义域和导数,判断出单调性,即可求出最小值.
【详解】
1
fxx
2
1x1x1
lnx的定义域为0,,fxx
2
函数
,
x
x
1
所以函数在
fx
0,1
上递减,在
1,
上递增,故
f
f1
min
.
2
故选:
A.
【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的最值,属于基础题.
9.我国宋代数学家秦九韶(1202-1261)在《数书九章》(1247)一书中提出“三斜求
积术”,即:
以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂
乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.其实质是根据三角形的三边
2
1
4
c
2
a
2
b
2
a
bc
长,,求三角形面积,即
S
S
a
2
c
2
.若ABC的面积
2
11
2
c
S
,a3,b2,则等于(
)
A.5
B.9
C.5或3
D.5或9
【答案】C
【解析】把已知数据代入面积公式解方程即得.
【详解】
2
11
4
1
4
(c
2
34
11
2
1
4
(c1)
2
2
]
由题意得
[3c
2
)
2
]
,
[3c
,
2
2
整理得c
4
14c
2
450,c9或5,即c5或3.
2
故选:
C.
【点睛】
a,b
本题寓数学知识于数学文化之中,解题时只要把已知
代入面积公式解方程即可得.
ABCDABCD
E
,F,G,H分别为所在棱的中点,则
10.如图,正方体
中,
1
1
1
1
ACD
下列各直线中,不与平面
平行的是(
)
1
B.直线GH
C.直线EH
D.直线
AB
1
A.直线EF
【答案】C
【解析】根据线面平行的判定定理判断.
【详解】
ACD
EF//AC,
首先四个选项的直线都不在平面
内,由中点及正方体的性质知
1
GH//AC//ACAB//DC,∴直线EF,GHAB
ACD
平行,剩
1
,
,
都与平面
1
1
1
1
1
下的只有EH不与平面
ACD
平行.实际上过
A
作CD的平行线,这条平行线在平面
1
1
ACD
EH
ABBA
相交(它们都在平面内).
11
内且与
1
故选:
C.
【点睛】
本题考查线面平行的判定,解题根据是线面平行的判定定理.
x
2
2
y
2
2
11.已知双曲线C:
1(a0,b0)的焦距为2c.点A为双曲线C的右
a
b
1
顶点,若点A到双曲线C的渐近线的距离为c,则双曲线C的离心率是(
)
2
A.2
B.3
C.2
D.3
【答案】A
a,b,c
【解析】由点到直线距离公式建立
【详解】
的等式,变形后可求得离心率.
ab
b
1
b
d
c
,
由题意A(a,0),一条渐近线方程为yx,即bxay0,∴
a
a
2
2
2
a
2
b
2
1
a
2
(c
2
a
2
)
1
c2,即
c2,e
4
2
4e
40,e2.
c
2
4
c
2
4
故选:
A.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率,掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础.
1
12.已知aln,
blog2
,
5
,则(
)
ce
B.acb
2
A.abc
【答案】B
C.bac
D.cab
1
【解析】首先与1比较,得一最大的,剩下的两个与比较.
2
【详解】
1
a
,最大,
首先
2
ln1,0log21,0e1
5
1
1
1
1
1
2
其次log2log55,e
2
,∴cb,∴acb.
5
2
e
4
故选:
B.
【点睛】
本题考查比较幂和对数的大小,对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较,如0,1,
1
2等等.本题中是与比较的.
2
二、填空题
mxny20m0n0
:
Cx
2
y2x2y10的圆心,
2
13.直线
(
,
)过圆
1
1
则
的最小值是______.
mn
【答案】2
1
1
【解析】根据直线过圆心可得,mn2,再根据基本不等式即可求出的值.
mn
【详解】
2
2
x
2
y
2
2x2y10即为x1y13,所以圆心为1,1.
1
由题意可得,mn2,即
mn1,
2
1
1
1
2
111
m
n
n1
222
mn
2
所以
.
mn
mn2
m2
当且仅当mn1时取等号.
故答案为:
2.
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最小值,涉及圆的标准方程的应用以及点与直线的位置
关系的应用,属于基础题.
x
2
2
y
2
2
14.若椭圆C:
1ab0
与圆C
:
x
2
y
2
9和圆
Cx
:
2
2
y
2
8均
1
a
b
有且只有两个公共点,则椭圆C的标准方程是______.
x
2
y
2
【答案】
+
=1
9
8
【解析】根据圆和椭圆的对称性可知,圆C与椭圆C交于长轴的两端点,圆C
与椭圆
交于短
1
2
C交于短轴的两端点,即可求出a,b的值,进而求出椭圆C的标准方程.
【详解】
根据圆和椭圆的对称性可知,圆C与椭圆C交于长轴的两端点,圆C2与椭圆C
1
x
2
y
2
轴的两端点,所以a3,b22,故椭圆C的标准方程是
+
=1.
9
8
x
2
y
2
故答案为:
【点睛】
+
=1.
9
8
本题主要考查圆与椭圆的对称性的应用,以及椭圆标准方程的求法,属于基础题.
15.如图,在ABC中,ACBC,点M,N分别为CA,CB
CB1,则AGAC______.
的中点,若AB5,
8
3
【答案】
【解析】根据ABC为直角三角形,利用勾股定理可求出AC2,以及
2
cosCAB
.
5
以AC,AB为基底,表示出AG,由数量积的运算即可求出AGAC的值.
【详解】
2
cosCAB
因为ACBC,所以AC512,
.
5
而点M,N分别为CA,CB的中点,所以G为ABC
的重心,
2
21
1
即有AGANABACABAC.
3
1
32
3
2
1
AGACABACACABAC+AC
3
3
1
2
8
=
25
+4=
.
3
5
3
8
故答案为:
.
3
【点睛】
本题主要考查数量积的运算和三角形重心性质的应用,解题关键是选择合适的基底,意
在考查学生的数学运算能力,属于中档题.
16.在三棱锥OABC中,OA,OB,OC两两垂直,且OA3,OBOC2.若
以O为球心,rr0为半径做一个球,当球面与ABC所在平面相切时,r
______.
3
【答案】
22
11
【解析】当球面与ABC所在平面相切时,点O到面ABC的距离为球的半径,根据等
r
积法,即可求出.
【详解】
依题意可知,点O到面ABC的距离为球的半径.所以
1
VOABCS
3
1
1
r3222,
ABC
3
2
在ABC中,ABAC9413,BC4422,
1
SABC2213222.
2
6
322
11
即有r
.
22
3
故答案为:
【点睛】
22.
11
本题主要考查三棱锥的体积求法以及等积法的应用,意在考查学生的直观想象能力和数
学运算能力,属于基础题.
三、解答题
17.为满足人们的阅读需求,图书馆设立了无人值守的自助阅读区,提倡人们在阅读后
将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况,数据统
计如下(单位:
本).
文学类专栏
科普类专栏
其他类专栏
文学类图书
科普类图书
其他图书
100
30
40
10
30
60
200
10
20
(1)根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率;
(2)根据统计数据估计图书分类错误的概率.
2
7
【答案】
(1)
(2)
3
25
【解析】
(1)根据古典概型的概率公式,分别求出文学类图书总数以及正确分类的图书
数,即可求出;
(2)根据古典概型的概率公式,分别求出图书分类错误的数量以及图书总数,即可求
出.
【详解】
(1)由题意可知,文学类图书共有1004010150本,其中正确分类的有100本
100
150
2
3
所以文学类图书分类正确的概率p
.
1
(2)图书分类错误的共有302040101030140本,因为图书共有500本,
302040101030
7
所以图书分类错误的概率p
.
2
500
25
【点睛】
本题主要考查古典概型的概率公式的应用,意在考查学生的数据处理能力,属于基础题.
18.已知数列是首项为2的等比数列,若
a
a,a1,a
成等差数列.
123
n
(1)求的通项公式;
a
n
(2)若数列满足
b
bloga,求b
2
1
b2
2
b3
2
b4
2
b5
2
b6
2
b
2
99
b
2
100
的值.
n
n
2
n
n
nN
a,a1,a
*
(2)5050
【答案】
(1)
a2
n
q
成等差数列,列出方程解出公比,即可求得
【解析】
(1)根据
a
的通
1
2
3
n
项公式;
2
blogan
b
2
n
bn
n1
2
2
n1nn1
(2)因为
,并项求和,
,
n
2
n
即可求出.
【详解】
(1)∵是等比数列,且
a
a,a1,a
成等差数列
123
n
2a1aa
2aq1aaq
2
∴
,即
2
1
3
1
1
1
a222q122q
2
∵
∴
1
q0
q=2
,
解得
(舍去)或
nN
blogan
a2
n
*
∴
n
(2)∵
n
2
n
∴b
2
1
b2
2
b3
2
b4
2
b99
2
b
2
100
1
2
2
2
3
2
4
2
99
2
100
2
1123499100
5050
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义应用,以及并项求和法求数列的和,意在考查学生的数学
运算能力,属于基础题.
19.如图,三棱柱ABCABC的侧棱AA垂直于底面ABC,ACB90,
BAC30,BC1,AA6,M是棱CC的中点.
(1)证明:
ABAM;
(2)求三棱锥AAMB的体积.
3
【答案】
(1)证明见解析
(2)
2
【解析】
(1)要证ABAM,可证AM平面AB
AMAC,又
C
.由平面知识可证得
BC平面ACCA可推出BCAM,即得AM平面AB,于是
C
ABAM;
1
(2)根据等积法,VAAMBVBAMA
,即可求出.
SAMABC
3
【详解】
(1)证明:
∵AA平面ABC∴四边形ACCA是矩形
∵M为CC中点,且AACC6
6
∴CM
∵BC1,BAC30,ACB90
CMAC
2
∴ACAC3,∴
ACAA
∵MCACAA,∴MCA与CAA相似
∴CAMAAC,∴AACAAM90
∴AMAC
∵ACB90,∴BC⊥平面ACCA,
∴BC平面ACCA
∵AM平面ACCA,∴
BCAM
∴AM平面AB
(2)在ABC中,BC1,ACB90,BAC30
C
,∴AMAB
所以AC3.由
(1)知BC平面ACCA
1
1
3
2
由于四边形ACCA是矩形,所以
S
AAAC63
3
.
MAA
2
2
1
13
BC
3
∴VAAMBVBAMAS
31
.
AMA
3
32
2
【点睛】
本题主要考查利用线面垂直的判定定理,性质定理证明线线垂直,以及利用等积法求
三棱锥的体积,意在考查学生的直观想象能力,逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
20.已知ABC中,角A,B,C所对的边分别为,,,
a
bcA
,且满足
2
bcsin2A20cosBC0
.
(1)求ABC的面积S;
cb
(2)若a4S,求的最大值.
2
bc
【答案】
(1)5
(2)22
【解析】
(1)由诱导公式和二倍角公式可得bcsinA,从而得三角形面积;
cb
b
2
c
2
(2)由余弦定理得b
2
c
2
2bccosAa
2
2bcsinA,从而可把
用
bc
bc
角A表示出来,由三角函数性质求得最大值.
【详解】
解:
(1)在ABC中,ABC,∴BCA
bcsin2A20cosBC0
∵
∴2bcsinAcosA20cosA0
∵A,
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