高考文科数学复习选修不等式选讲解析版.doc
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选修4-5 不等式选讲
[考纲要求]
(1)理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式:
①|ax+b|≤|a|+|b|.
②|a-b|≤|a-c|+|c-b|.
③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
|ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c.
(2)了解下列柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明。
①柯西不等式的向量形式:
0
②
0
③
0
(此不等式通常称为平面三角不等式。
)
(3)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:
0
(4)会用向量递归方法讨论排序不等式。
(5)了解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明一些简单问题。
(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式
0
(x>-1,x≠0,n为大于1的正整数),了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。
(7)会用上述不等式证明一些简单问题,能够利用平均值不等式,柯西不等式求一些特定函数的极值。
(8)了解证明不等式的基本方法:
比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法。
[知识点梳理]
1.两个实数大小关系的基本事实
a>b⇔________;a=b⇔________;a
2.不等式的基本性质
(1)对称性:
如果a>b,那么________;如果________,那么a>b.即a>b⇔________.
(2)传递性:
如果a>b,b>c,那么________.
(3)可加性:
如果a>b,那么____________.
(4)可乘性:
如果a>b,c>0,那么________;如果a>b,c<0,那么________.
(5)乘方:
如果a>b>0,那么an________bn(n∈N,n>1).
(6)开方:
如果a>b>0,那么________(n∈N,n>1).
3.绝对值三角不等式
(1)性质1:
|a+b|≤________.
(2)性质2:
|a|-|b|≤________.
性质3:
________≤|a-b|≤________.
4.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式
a>0
a=0
a<0
|x| |x|>a (2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c⇔______________; ②|ax+b|≥c⇔______________. (3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 5.基本不等式 (1)定理: 如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立. (2)定理(基本不等式): 如果a,b>0,那么________,当且仅当________时,等号成立.也可以表述为: 两个________的算术平均________________它们的几何平均. (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x,y, ①如果它们的和S是定值,则当且仅当________时,它们的积P取得最________值; ②如果它们的积P是定值,则当且仅当________时,它们的和S取得最________值. 6.三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a,b,c均为正数,那么________,当且仅当________时,等号成立. 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均. (2)基本不等式的推广 对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均__________它们的几何平均,即________, 当且仅当________________时,等号成立. 7.柯西不等式 (1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立. (2)设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. (3)柯西不等式的向量形式: 设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. 8.证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a>b⇔a-b>0,ab,只要证明________即可,这种方法称为求差比较法. ②求商比较法 由a>b>0⇔>1且a>0,b>0,因此当a>0,b>0时要证明a>b,只要证明________即可,这种方法称为求商比较法. (2)分析法 从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的____________,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法,即“执果索因”的证明方法. (3)综合法 从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法. (4)反证法的证明步骤 第一步: 作出与所证不等式________的假设; 第二步: 从条件和假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结论,否定假设,从而证明原不等式成立. (5)放缩法 所谓放缩法,即要把所证不等式的一边适当地________________,以利于化简,并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立. (6)数学归纳法 设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合,如果: (1)证明起始命题P1(或P0)成立; (2)在假设Pk成立的前提下,推出Pk+1也成立,那么可以断定{Pn}对一切自然数成立. [考点题型剖析] 题型一 含绝对值的不等式的解法 【典型例题】 例1-1解不等式|x+1|+|x-1|≥3. 思维启迪 本题不等式为|x-a|+|x-b|≥c型不等式,解此类不等式有三种方法: 几何法、分区间(分类)讨论法和图象法. 规范解答 解 方法一 如图所示,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么A,B两点的距离和为2,因此区间[-1,1]上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1,到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x. [4分] ∴-1-x+1-x=3,得x=-. 同理设B点右侧有一点B1到A,B两点距离之和为3,B1对应数轴上的x,∴x-1+x-(-1)=3.∴x=. 从数轴上可看到,点A1,B1之间的点到A,B的距离之和都大于3;点A1的左边或点B1的右边的任何点到A,B的距离之和都大于3.[8分] 所以原不等式的解集是∪.[10分] 方法二 当x≤-1时,原不等式可化为 -(x+1)-(x-1)≥3,解得: x≤-.[3分] 当-1 x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解.[6分] 当x≥1时,原不等式可以化为 x+1+x-1≥3.所以x≥.[9分] 综上,可知原不等式的解集为.[10分] 方法三 将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3, 即y=[3分] 作出函数的图象,如图所示: 函数的零点是-,. 从图象可知,当x≤-或x≥时,y≥0,[8分] 即|x+1|+|x-1|-3≥0. 所以原不等式的解集为∪.[10分] 温馨提醒 这三种方法是解|x+a|+|x+b|≥c型不等式常用的方法,方法一中关键是找到特殊点,方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则,方法三则要准确画出函数图象,并准确找出零点. 例1-2(2012·课标全国)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集; (2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围. 解 (1)当a=-3时,f(x)= 当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1; 当2 当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4. 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[-3,0]. 思维升华 解绝对值不等式的基本方法: (1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (2)当不等式两端均为正号时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式; (3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解. 例1-3 (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x) (2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 审题破题 (1)可以通过分段讨论去绝对值; (2)在x∈时去绝对值,利用函数最值求a的范围. 解 (1)当a=-2时,不等式f(x) 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3, 则y= 其图象如图所示,由图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0,所以原不等式的解集是 {x|0 (2)∵a>-1,则-<, ∴f(x)=|2x-1|+|2x+a| 当x∈时,f(x)=a+1, 即a+1≤x+3在x∈上恒成立. ∴a+1≤-+3,即a≤, ∴a的取值范围为. 【变式训练】 1.(2013·重庆)若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3| 答案 (-∞,8] 解析 ∵|x-5|+|x+3|=|5-x|+|x+3| ≥|5-x+x+3|=8, ∴(|x-5|+|x+3|)min=8, 要使|x-5|+|x+3| 2.(2013·江西)在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为________. 答案 [0,4] 解析 由||x-2|-1|≤1得-1≤|x-2|-1≤1, 解得0≤x≤4. ∴不等式的解集为[0,4]. 3.(2012·山东)若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k=________. 答案 2 解析 ∵|kx-4|≤2,∴-2≤kx-4≤2,∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3},∴k=2. 4[2014·江西卷]x,y∈R,若|x|+|y|+|x-1|+|y-1|≤2,则x+y的取值范围为________. 答案 [0,2] 5.不等式≥1的实数解为__________. 答案 . 解析 ∵≥1,∴|x+1|≥|x+2|. ∴x2+2x+1≥x2+4x+4,∴2x+3≤0. ∴x≤-且x≠-2. 6.已知函数f(x)=|x+1|+|x-2|-m. (1)当m=5时,求f(x)>0的解集; (2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围. 解 (1)由题设知|x+1|+|x-2|>5, 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集: 或或 解得函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(3,+∞). (2)不等式f(x)≥2即|x+1|+|x-2|>m+2, ∵x∈R时,恒有|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 不等式|x+1|+|x-2|≥m+2解集是R, ∴m+2≤3,m的取值范围是(-∞,1]. 7.已知函数f(x)=|x-a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值; (2)在 (1)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围. 解 方法一 (1)由f(x)≤3得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}, 所以解得a=2. (2)当a=2时,f(x)=|x-2|,设g(x)=f(x)+f(x+5), 于是g(x)=|x-2|+|x+3|= 所以当x<-3时,g(x)>5; 当-3≤x≤2时,g(x)=5; 当x>2时,g(x)>5. 综上可得,g(x)的最小值为5. 从而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5]. 方法二 (1)同方法一. (2)当a=2时,f(x)=|x-2|. 设g(x)=f(x)+f(x+5). 由|x-2|+|x+3|≥|(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当-3≤x≤2时等号成立),得g(x)的最小值为5. 从而,若f(x)+f(x+5)≥m,即g(x)≥m对一切实数x恒成立,则m的取值范围为(-∞,5]. 8.(2013·辽宁)已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1. (1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集; (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值. 解 (1)当a=2时, f(x)+|x-4|= 当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1; 当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解; 当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5; 所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}. (2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x), 则h(x)= 由|h(x)|≤2,解得≤x≤. 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}, 所以于是a=3. 9.[2011课标]选修4-5: 不等式选讲 设函数,其中。 (Ⅰ)当时,求不等式的解集; (Ⅱ)若不等式的解集为,求a的值。 (24)解: (Ⅰ)当时,可化为。 由此可得或。 故不等式的解集为或。 ( Ⅱ)由得 此不等式化为不等式组或即或 因为,所以不等式组的解集为由题设可得=,故 10.[2014课标Ⅱ]选修45: 不等式选讲 设函数f(x)=+|x-a|(a>0). (1)证明: f(x)≥2; (2)若f(3)<5,求a的取值范围. 24.解: (1)证明: 由a>0,有f(x)=+|x-a|≥=+a≥2, 所以f(x)≥2. (2)f(3)=+|3-a|.
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