福建省高考文科数学试卷无答案版答案解析版.doc
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2010年福建省高考数学试卷(文科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)(2010•福建)若集合A={x|1≤x≤3},B={x|x>2},则A∩B等于( )
A.
{x|2<x≤3}
B.
{x|x≥1}
C.
{x|2≤x<3}
D.
{x|x>2}
2.(5分)(2010•福建)计算1﹣2sin222.5°的结果等于( )
A.
B.
C.
D.
3.(5分)(2010•福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其侧面积等于( )
A.
B.
2
C.
2
D.
6
4.(5分)(2010•福建)i是虚数单位,等于( )
A.
i
B.
﹣i
C.
1
D.
﹣1
5.(5分)(2010•福建)设x,y∈R且,则z=x+2y的最小值等于( )
A.
2
B.
3
C.
5
D.
9
6.(5分)(2010•福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的i值等于( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
7.(5分)(2010•福建)函数的零点个数为( )
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0
8.(5分)(2010•福建)若向量=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的( )
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分又不必要条件
9.(5分)(2010•福建)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A.
91.5和91.5
B.
91.5和92
C.
91和91.5
D.
92和92
10.(5分)(2010•福建)将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位.若所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( )
A.
4
B.
6
C.
8
D.
12
11.(5分)(2010•福建)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )
A.
2
B.
3
C.
6
D.
8
12.(5分)(2010•福建)设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:
当x∈S时,有x2∈S.给出如下三个命题:
①若m=1,则S={1};②若m=﹣,则≤n≤1;③若n=,则﹣≤m≤0.其中正确命题的个数是( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
13.(4分)(2010•福建)若双曲线﹣=1(b>0)的渐近线方程式为y=,则b等于 _________ .
14.(4分)(2010•福建)将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2:
3:
4:
6:
4:
1,且前三组数据的频数之和等于27,则n等于 _________ .
15.(4分)(2010•福建)对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界):
其中为凸集的是 _________ (写出所有凸集相应图形的序号).
16.(4分)(2010•福建)观察下列等式:
①cos2α=2cos2α﹣1;
②cos4α=8cos4α﹣8cos2α+1;
③cos6α=32cos6α﹣48cos4α+18cos2α﹣1;
④cos8α=128cos8α﹣256cos6α+160cos4α﹣32cos2α+1;
⑤cos10α=mcos10α﹣1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α﹣1;
可以推测,m﹣n+p= _________ .
三、解答题(共6小题,满分74分)
17.(12分)(2010•福建)数列{an}中,a1=,前n项和Sn满足Sn+1﹣Sn=()n+1(n∈)N*.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn;
(Ⅱ)若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数t的值.
18.(12分)(2010•福建)设平面向量=(m,1),=(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4}.
(Ⅰ)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;
(Ⅱ)记“使得m⊥(m﹣n)成立的(m,n)”为事件A,求事件A发生的概率.
19.(12分)(2010•福建)已知抛物线C:
y2=2px(p>0)过点A(1,﹣2).
(I)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L,使得直线L与抛物线C有公共点,且直线OA与L的距离等于?
若存在,求直线L的方程;若不存在,说明理由.
20.(12分)(2010•福建)已知集合U={1,2,3,4,5,6},A={2,3,4},B={4,5,6},则A∩(CUB)= _________ .
21.(12分)(2010•福建)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;
(Ⅲ)是否存在v,使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?
若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.
22.(14分)(2010•福建)中小学生的视力状况受到全社会的广泛关注,某市有关部门对全市3万名高中生的视力状况进行一次抽样调查统计,所得到的有关数据绘制成频率分布直方图,如图,从左至右五个小组的频率之比依次是2:
4:
9:
7:
3,第五小组的频数是36.
(1)本次调查共抽测了 _________ 名学生;
(2)本次调查抽测的数据的中位数应在第 _________ 小组;
(3)如果视力在4.9﹣5.1(含4.9、5.1)均属正常,那么全市高中生视力正常的约有 _________ 人.
2010年福建省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)(2010•福建)若集合A={x|1≤x≤3},B={x|x>2},则A∩B等于( )
A.
{x|2<x≤3}
B.
{x|x≥1}
C.
{x|2≤x<3}
D.
{x|x>2}
考点:
交集及其运算.5488857
分析:
结合数轴直接求解.
解答:
解:
如图,
故选A.
点评:
本题考查集合的交运算,属容易题,注意结合数轴,注意等号.
2.(5分)(2010•福建)计算1﹣2sin222.5°的结果等于( )
A.
B.
C.
D.
考点:
二倍角的余弦.5488857
分析:
可以看出本式是一个余弦的二倍角公式,直接逆用公式,得到结果为cos45°,再由特殊角的三角函数求值.
解答:
解:
原式=,
故选B.
点评:
本题三角变换中的二倍角公式,特别是余弦的二倍角公式,因为它的表现形式有三种,解题时要根据题目需要选择合适的公式,公式用的是否恰当,是解题的关键,最后又考查特殊角的三角函数值.
3.(5分)(2010•福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其侧面积等于( )
A.
B.
2
C.
2
D.
6
考点:
由三视图求面积、体积.5488857
分析:
本题考查立体几何中的三视图,考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力.由图可知,棱柱的底面边为2,高为1,代入柱体体积公式易得答案.
解答:
解:
由正视图知:
三棱柱是以底面边长为2,
高为1的正三棱柱,
∴底面积为=2,
侧面积为3×2×1=6,
故选D.
点评:
根据三视图判断空间几何体的形状,进而求几何的表(侧/底)面积或体积,是高考必考内容,处理的关键是准确判断空间几何体的形状,一般规律是这样的:
如果三视图均为三角形,则该几何体必为三棱锥;
如果三视图中有两个三角形和一个多边形,则该几何体为N棱锥(N值由另外一个视图的边数确定);
如果三视图中有两个为矩形和一个多边形,则该几何体为N棱柱(N值由另外一个视图的边数确定);
如果三视图中有两个为梯形和一个多边形,则该几何体为N棱柱(N值由另外一个视图的边数确定);
如果三视图中有两个三角形和一个圆,则几何体为圆锥.
如果三视图中有两个矩形和一个圆,则几何体为圆柱.
如果三视图中有两个梯形和一个圆,则几何体为圆台.
4.(5分)(2010•福建)i是虚数单位,等于( )
A.
i
B.
﹣i
C.
1
D.
﹣1
考点:
复数代数形式的混合运算.5488857
分析:
复数的分子、分母化简,可得结果.
解答:
解:
=,
故选C.
点评:
本题考查复数的基本运算,考查计算能力.
5.(5分)(2010•福建)设x,y∈R且,则z=x+2y的最小值等于( )
A.
2
B.
3
C.
5
D.
9
考点:
简单线性规划的应用.5488857
专题:
压轴题.
分析:
本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:
根据已知的约束条件,画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最小值.
解答:
解:
约束条件,对应的平面区域如下图示:
当直线Z=x+2y过点(1,1)时,z=x+2y取最小值3,
故选B.
点评:
用图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可得到目标函数的最优解.
6.(5分)(2010•福建)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的i值等于( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
考点:
程序框图.5488857
专题:
图表型.
分析:
分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是利用循环计算S的值,并输出满足条件S>11时,变量i的值.模拟程序的运行,用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到输出结果.
解答:
解:
程序在运行过程中各变量的值如下表示:
aSi是否继续循环
循环前/01/
第一圈222是
第二圈8103是
第三圈24344否
此时i值为4
故选C
点评:
根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:
:
①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.
7.(5分)(2010•福建)函数的零点个数为( )
A.
3
B.
2
C.
1
D.
0
考点:
分段函数的解析式求法及其图象的作法.5488857
分析:
分段解方程,直接求出该函数的所有零点.由所得的个数选出正确选项.
解答:
解:
当x≤0时,令x2+2x﹣3=0解得x=﹣3;
当x>0时,令﹣2+lnx=0解得x=100,所以已知函数有两个零点,
故选B.
点评:
本题考查函数零点的概念,以及数形结合解决问题的方法,只要画出该函数的图象不难解答此题.
8.(5分)(2010•福建)若向量=(x,3)(x∈R),则“x=4”是“|a|=5”的( )
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分又不必要条件
考点:
向量的模.5488857
分析:
当x=4时能够推出|a|=5成立,反之不成立,所以是充分不必要条件.
解答:
解:
由x=4得=(4,3),所以||=5成立
反之,由||=5可得x=±4所以x=4不一定成立.
故选A.
点评:
本题考查平面向量和常用逻辑用语等基础知识.
9.(5分)(2010•福建)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是( )
A.
91.5和91.5
B.
91.5和92
C.
91和91.5
D.
92和92
考点:
茎叶图;众数、中位数、平均数.5488857
专题:
图表型.
分析:
根据茎叶图写出这组数据,把数据按照从大到小排列,最中间的一个或最中间两个数字的平均数就是中位数,平均数只要代入平均数的公式得到结果.
解答:
解:
由茎叶图可知:
这组数据为87,89,90,91,92,93,94,96,
所以其中位数为=91.5,
平均数为(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5,
故选A.
点评:
本题考查茎叶图的基础知识,考查同学们的识图能力,考查中位数与平均数的求法.在求中位数时,首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列,找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求.
10.(5分)(2010•福建)将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位.若所得图象与原图象重合,则ω的值不可能等于( )
A.
4
B.
6
C.
8
D.
12
考点:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.5488857
专题:
计算题.
分析:
由题意将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位.若所得图象与原图象重合,说明是函数周期的整数倍,求出ω与k,的关系,然后判断选项.
解答:
解:
因为将函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象向左平移个单位.
若所得图象与原图象重合,所以是已知函数周期的整数倍,即k•=(k∈Z),
解得ω=4k(k∈Z),A,C,D正确.
故选B.
点评:
本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识,是已知函数周期的整数倍,是本题解题关键.
11.(5分)(2010•福建)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )
A.
2
B.
3
C.
6
D.
8
考点:
椭圆的标准方程;平面向量数量积的含义与物理意义.5488857
专题:
综合题;压轴题.
分析:
先求出左焦点坐标F,设P(x0,y0),根据P(x0,y0)在椭圆上可得到x0、y0的关系式,表示出向量、,根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案.
解答:
解:
由题意,F(﹣1,0),设点P(x0,y0),则有,解得,
因为,,
所以==,
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2,
因为﹣2≤x0≤2,所以当x0=2时,取得最大值,
故选C.
点评:
本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力.
12.(5分)(2010•福建)设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:
当x∈S时,有x2∈S.给出如下三个命题:
①若m=1,则S={1};②若m=﹣,则≤n≤1;③若n=,则﹣≤m≤0.其中正确命题的个数是( )
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
考点:
集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断.5488857
专题:
计算题;压轴题.
分析:
根据题中条件:
“当x∈S时,有x2∈S”对三个命题一一进行验证即可:
对于①m=1,得,②,则对于③若,则,最后解出不等式,根据解出的结果与四个命题的结论对照,即可得出正确结果有几个.
解答:
解:
由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足:
当x∈S时,有x2∈S知,符合定义的参数m的值一定大于等于1或小于等于0,惟如此才能保证m∈S时,有m2∈S即m2≥m,符合条件的n的值一定大于等于0,小于等于1,惟如此才能保证n∈S时,有n2∈S即n2≤n,正对各个命题进行判断:
对于①m=1,m2=1∈S故必有可得n=1,S={1},
②m=﹣,m2=∈S则解之可得≤n≤1;
对于③若n=,则解之可得﹣≤m≤0,
所以正确命题有3个.
故选D
点评:
本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法.属于创新题,解答的关键是对新定义的概念的正确理解,列出不等关系转化为不等式问题解决.
二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)
13.(4分)(2010•福建)若双曲线﹣=1(b>0)的渐近线方程式为y=,则b等于 1 .
考点:
双曲线的简单性质;函数解析式的求解及常用方法.5488857
专题:
计算题.
分析:
根据双曲线的性质求得渐近线方程的表达式求得b.
解答:
解:
由双曲线方程可得渐近线方程为y=±,又双曲线的渐近线方程式为y=,
∴,解得b=1.
故答案为1
点评:
本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法,属基础题.
14.(4分)(2010•福建)将容量为n的样本中的数据分成6组,绘制频率分布直方图.若第一组至第六组数据的频率之比为2:
3:
4:
6:
4:
1,且前三组数据的频数之和等于27,则n等于 60 .
考点:
频率分布直方图.5488857
专题:
计算题.
分析:
根据比例关系设出各组的频率,在频率分布表中,频数的和等于样本容量,频率的和等于1,求出前三组的频率,再频数和建立等量关系即可.
解答:
解:
设第一组至第六组数据的频率分别为2x,3x,4x,6x,4x,x,
则2x+3x+4x+6x+4x+x=1,
解得,
所以前三组数据的频率分别是,
故前三组数据的频数之和等于=27,
解得n=60.
故答案为60.
点评:
本小题考查频率分布直方图的基础知识,熟练基本公式是解答好本题的关键,属于基础题.
15.(4分)(2010•福建)对于平面上的点集Ω,如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω,则称Ω为平面上的凸集,给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界):
其中为凸集的是 ②③ (写出所有凸集相应图形的序号).
考点:
元素与集合关系的判断.5488857
专题:
压轴题;新定义.
分析:
由凸集的定义,可取一些线段试一下,若有不在图形内部的点即可排除.
解答:
解:
①中取最左边的点和最右边的点的连线,不在集合中,故不为凸集;
④中取两圆的公切线,不在集合中,故不为凸集;②③显然符合.
故答案为:
②③
点评:
本题为新定义题,正确理解定义是解决问题的关键,难度不大.
16.(4分)(2010•福建)观察下列等式:
①cos2α=2cos2α﹣1;
②cos4α=8cos4α﹣8cos2α+1;
③cos6α=32cos6α﹣48cos4α+18cos2α﹣1;
④cos8α=128cos8α﹣256cos6α+160cos4α﹣32cos2α+1;
⑤cos10α=mcos10α﹣1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α﹣1;
可以推测,m﹣n+p= 962 .
考点:
类比推理.5488857
专题:
压轴题;规律型.
分析:
本小题考查三角变换、类比推理等基础知识,考查同学们的推理能力等.观察等式左边的α的系数,等式右边m,n,p的变化趋势,我们不难归纳出三个数的变化规律,进而得到结论.
解答:
解:
因为2=21,8=23,32=25,…,128=27所以m=29=512;
观察可得n=﹣400,p=50,
所以m﹣n+p=962.
故答案为:
962
点评:
归纳推理的一般步骤是:
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;
(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).
三、解答题(共6小题,满分74分)
17.(12分)(2010•福建)数列{an}中,a1=,前n项和Sn满足Sn+1﹣Sn=()n+1(n∈)N*.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an以及前n项和Sn;
(Ⅱ)若S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列,求实数t的值.
考点:
等比数列的通项公式;等比数列的前n项和;等差关系的确定.5488857
专题:
计算题.
分析:
(Ⅰ)根据an+1=Sn+1﹣Sn求得an+1进而根据a1求得数列{an}的通项公式,根据等比数列的求和公式求得前n项的和.
(Ⅱ)根据求得
(1)的前n项和的公式,求得S1,S2,S3,进而根据等差中项的性质求得t.
解答:
解:
解:
(Ⅰ)由Sn+1﹣Sn=()n+1得(n∈N*);
又,故(n∈N*)
从而(n∈N*).
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,,.
从而由S1,t(S1+S2),3(S2+S3)成等差数列可得:
,解得t=2.
点评:
本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式.属基础题.
18.(12分)(2010•福建)设平面向量=(m,1),=(2,n),其中m,n∈{1,2,3,4}.
(Ⅰ)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;
(Ⅱ)记“使得m⊥(m﹣n)成立的(m,n)”为事件A,求事件A发生的概率.
考点:
古典概型及其概率计算公式;计数原理的应用.5488857
专题:
计算题.
分析:
(I)按照第一个数字从小变大的顺序,列举出所有的事件,共有16种结果.(II)根据向量垂直的充要条件,列出关于m,n的关系式.把关系式整理成最简单的形式,根据所给的集合中的元素,列举出所有满足条件的事件,根据古典概型概率公式得到结果.
解答:
解:
(I)有序数对(m,n)的所有可能结果是:
(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)
(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共有16个,
(II)∵m⊥(m﹣n),
∴m2﹣2m+1﹣n=0,
∴n=(m﹣1)2
∵m,n都是集合{1,2,3,4}的元素.
∴事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4),共有2个,
又基本事件数是16,
∴所求的概率是P==
点评:
本题主要考查概率古典概型,考查向量垂直的充要条件,考查运算求解能力、应用意识,是一个比较好的题目,这种题目值得同学们仔细研究.不要没有规律的胡乱写出来,防止漏掉.
19.(12分)(2010•福建)已知抛物线C:
y2=2px(p>0)过点A(1,﹣2).
(I)求抛物线C的方程,并求其准线方程;
(II)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线L,使得直线L
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- 福建省 高考 文科 数学试卷 答案 解析