有理数提高题(有答案)文档格式.doc
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已知且,那么有理数的大小关系是。
(用“”号连接)
1、若且,比较的大小,并用“”号连接。
例4:
已知比较与4的大小
1、已知,试讨论与3的大小
2、已知两数,如果比大,试判断与的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例5:
有理数在数轴上的位置如图所示,式子化简结果为()
1、有理数在数轴上的位置如图所示,则化简的结果为。
2、已知,在数轴上给出关于的四种情况如图所示,则成立的是。
①②③④
3、已知有理数在数轴上的对应的位置如下图:
则化简后的结果是()
三、培优训练
1、已知是有理数,且,那以的值是()
A.B.C.或D.或
1
A
2
B
5
C
2、如图,数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点,再向右移动5个单位长度到达点.若点表示的数为1,则点表示的数为( )
A. B. C. D.
3、如图,数轴上标出若干个点,每相邻两点相距1个单位,点A、B、C、D对应的数分别是整数且,那么数轴的原点应是()
A.A点B.B点C.C点D.D点
4、数所对应的点A,B,C,D在数轴上的位置如图所示,那么与的大小关系是()
A.B.C.D.不确定的
5、不相等的有理数在数轴上对应点分别为A,B,C,若,那么点B()
A.在A、C点右边B.在A、C点左边C.在A、C点之间D.以上均有可能
6、设,则下面四个结论中正确的是()
A.没有最小值B.只一个使取最小值
C.有限个(不止一个)使取最小值D.有无穷多个使取最小值
7、在数轴上,点A,B分别表示和,则线段AB的中点所表示的数是。
8、若,则使成立的的取值范围是。
9、是有理数,则的最小值是。
10、已知为有理数,在数轴上的位置如图所示:
且求的值。
11、(南京市中考题)
(1)阅读下面材料:
点A、B在数轴上分别表示实数,A、B两点这间的距离表示为,当A、B两点中有一点在原点时,不妨设点A在原点,如图1,;
当A、B两点都不在原点时,
①如图2,点A、B都在原点的右边;
②如图3,点A、B都在原点的左边;
③如图4,点A、B在原点的两边。
综上,数轴上A、B两点之间的距离。
(2)回答下列问题:
①数轴上表示2和5两点之间的距离是,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是;
②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是,如果,那么为;
③当代数式取最小值时,相应的的取值范围是;
④求的最小值。
聚焦绝对值
一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念,引入绝对值概念之后,对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解;
绝对值又是初中代数中一个基本概念,在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时,常常遇到含有绝对值符号的问题,理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面:
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
去绝对值符号法则:
2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看表示数的点到原点的距离;
表示数、数的两点间的距离。
3、灵活运用绝对值的基本性质
①②③④
⑤⑥
二、知识点反馈
1、去绝对值符号法则
已知且那么。
1、已知且,那么。
2、若,且,那么的值是()
A.3或13B.13或-13C.3或-3D.-3或-13
1、已知的最小值是,的最大值为,求的值。
1、如图,有理数在数轴上的位置如图所示:
则在中,负数共有()
A.3个B.1个C.4个D.2个
2、若是有理数,则一定是()
A.零B.非负数C.正数D.负数
3、如果,那么的取值范围是()
4、是有理数,如果,那么对于结论
(1)一定不是负数;
(2)可能是负数,其中()
A.只有
(1)正确B.只有
(2)正确C.
(1)
(2)都正确D.
(1)
(2)都不正确
5、已知,则化简所得的结果为()
A.B.C.D.
6、已知,那么的最大值等于()
A.1B.5C.8D.9
8、满足成立的条件是()
9、若,则代数式的值为。
10、若,则的值等于。
11、已知是非零有理数,且,求的值。
13、阅读下列材料并解决有关问题:
我们知道,现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式时,可令和,分别求得(称分别为与的零点值)。
在有理数范围内,零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况:
(1)当时,原式=;
(2)当时,原式=;
(3)当时,原式=。
综上讨论,原式=
通过以上阅读,请你解决以下问题:
(1)分别求出和的零点值;
(2)化简代数式
14、
(1)当取何值时,有最小值?
这个最小值是多少?
(2)当取何值时,有最大值?
这个最大值是多少?
(3)求的最小值。
(4)求的最小值。
15、某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站,如图,现在要在AB段上修建一个加油站M,为了使加油站选址合理,要求A,B,C,D四个汽车站到加油站M的路程总和最小,试分析加油站M在何处选址最好?
16、先阅读下面的材料,然后解答问题:
在一条直线上有依次排列的台机床在工作,我们要设置一个零件供应站P,使这台机床到供应站P的距离总和最小,要解决这个问题,先“退”到比较简单的情形:
①②
如图①,如果直线上有2台机床(甲、乙)时,很明显P设在和之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P的距离之和等于到的距离.
如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时,不难判断,P设在中间一台机床处最合适,因为如果P放在处,甲和丙分别到P的距离之和恰好为到的距离;
而如果P放在别处,例如D处,那么甲和丙分别到P的距离之和仍是到的距离,可是乙还得走从到D近段距离,这是多出来的,因此P放在处是最佳选择。
不难知道,如果直线上有4台机床,P应设在第2台与第3台之间的任何地方;
有5台机床,P应设在第3台位置。
问题
(1):
有机床时,P应设在何处?
问题
(2)根据问题
(1)的结论,求的最小值。
有理数的运算
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算,当引进负数概念后,数集扩大到了有理数范围,我们又学习了有理数的计算,有理数的计算与算术数的计算有很大的不同:
首先,有理数计算每一步要确定符号;
其次,代数与算术不同的是“字母代数”,所以有理数的计算很多是字母运算,也就是通常说的符号演算。
数学竞赛中的计算通常与推理相结合,这不但要求我们能正确地算出结果,而且要善于观察问题的结构特点,将推理与计算相结合,灵活选用算法和技巧,提高计算的速成度,有理数的计算常用的技巧与方法有:
1、利用运算律;
2、以符代数;
3、裂项相消;
4、分解相约;
5、巧用公式等。
1、利用运算律:
加法运算律乘法运算律
计算:
解:
原式=
1、计算
(1)
(2)
1、计算:
2、裂项相消
(1);
(2);
(3)
(4)
例3、计算
=
1、计算:
3、以符代数
分析:
令=,则
4、分解相约
原式==
=
1、是最大的负整数,是绝对值最小的有理数,则=。
2、计算:
(1)=;
(2)=。
3、若与互为相反数,则=。
4、计算:
=。
=。
6、这四个数由小到大的排列顺序是。
7、计算:
=()
A.3140B.628C.1000D.1200
8、等于()
A.B.C.D.
9、计算:
10、为了求的值,可令S=,则2S=,因此2S-S=,所以=仿照以上推理计算出的值是()
A、B、C、D、
11、都是正数,如果,,那么的大小关系是()
A.B.C.D.不确定
12、设三个互不相等的有理数,既可表示为的形式,又可表示为的形式,求的值
13、计算
(1)
14、已知互为相反数,互为负倒数,的绝对值等于,
求的值
15、已知,求、的值
16、图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为.
第2层
第1层
……
第n层
图1 图2 图3 图4
如果图1中的圆圈共有12层,
(1)我们自上往下,在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数,则最底层最左边这个圆圈中的数是 ;
(2)我们自上往下,在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数,,,,求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和.
【专题精讲】
【例1】计算下列各题
⑴
⑵
【例2】计算:
【例3】计算:
⑴
⑵
反思说明:
一般地,多个分数相加减,如果分子相同,分母是两个整数的积,且每个分母中因数差相同,可以用裂项相消法求值。
①②
③④
【例4】
(第18届迎春杯)计算:
【例5】计算:
【例6】计算:
【例7】请你从下表归纳出的公式并计算出:
的值。
【实战演练】
1、用简便方法计算:
2、
3、已知则
5、(“聪明杯”试题)
6、的值得整数部分为()
A.1B.2C.3D.4
提示:
7、
8、计算:
9、计算的值.
10、计算:
参考答案
基础训练题
一、填空。
1、2;
2、≤;
3、非负数;
4、互为相反数;
5、毫米;
6、5或1;
7、5;
8、;
9、-8;
10、±
3,±
1;
11、。
二、解答题。
1、-25或87;
3、当时,常数值为7;
4、2;
5、
6、不可能,因为每次翻转其中任意4个,无论如何翻转,杯口朝上的个数都是奇数个,所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零,故不可能。
例1、D拓广训练:
1、B;
3、因为,所以
例2、8或2拓广训练:
1、0或-6;
2、12
例3、拓广训练:
1、题目有误。
例4、解:
当时,;
当时,.
略。
例5、C拓广训练:
1、-2;
2、①③3、D
1、C2、D3、B4、A5、C6、D
7、;
9、
10、5;
11、①3,3,4;
②,1或-3;
③;
④997002
例1、―2或―8.拓广训练:
1、4或0;
2、A
例2、A拓广训练:
1、通过零点值讨论得a=5,b=5;
所以a+b=10.
1、A;
2、B;
3、D;
4、A;
5、A;
6、B;
7、B;
8、C
9、1;
10、1或-3;
11、0;
12、-7;
13、⑴零点值分别为-2,4.⑵略。
(分三种情况讨论)
14、⑴、3;
⑵、-2;
⑶、1;
⑷、2
15、加油站应建在D,C两汽站之间(包括D,C两汽车站)16、95172
例1、拓广训练:
⑴-1.2;
⑵例2、拓广训练:
⑴-34
例3、拓广训练:
⑴例4、拓广训练:
⑴
1、-1;
2、,-8;
3、1;
4、;
5、6;
6、;
7、C;
8、D;
9、B;
10、(原题无答案);
11、 A;
12、0;
解析如下:
由题意:
13、⑴,⑵-92
14、28或-26;
15、;
16、67,1209
专题讲解
例1、⑴⑵
例2、0
例3、⑴⑵
例4、
例5、885解析如下:
例6、
解析如下:
例7、,
实战演练
1、1997.解析如下
原式=999×
(998998998+1)-998×
(999999999-1)
2、3、-1,
4、分析如下:
5、解析:
6、A解析如下
7、解析如下:
8、9、
解析如下
10、
22
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