中考数学考点跟踪训练24-矩形Word文档格式.doc
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,
∴∠ABC==35°
.
又∵∠DBC=90°
∴∠FBD=180°
-∠ABC-∠DBC=55°
3.(2011·
绵阳)下列关于矩形的说法中正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相垂直且平分
D.矩形的对角线相等且互相平分
答案 D
解析 矩形的对角线相等且互相平分.
4.(2011·
兰州)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为( )
A.16B.17C.18D.19
答案 B
解析 如图,S1占三角形面积的,
∴S1=×
=9;
S2占三角形面积的,
∴S2=×
=8;
所以S1+S2=9+8=17.
5.(2011·
重庆)如图,正方形ABCD中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG、CF.下列结论:
①△ABG≌△AFG;
②BG=GC;
③AG∥CF;
④S△FGC=3.其中正确结论的个数是( )
解析 经过折叠,有△ADE≌△AFE,AD=AF,∠D=∠AFE=90°
,∴AB=AF,∠B=∠AFG=90°
.又∵AG=AG,∴△ABG≌△AFG;
设BG=FG=x,则CG=6-x,EG=2+x,EC=4,由勾股定理,得(2+x)2=42+(6-x)2,解之,得x=3,所以CG=BG=3;
画FH⊥GC于H,△GFH∽△GEC,有==,==,∴FH=,GH=.在Rt△CFH中,tan∠FCG===2,在Rt△ABG中,tan∠AGB==2,∴∠FCG=∠AGB,∴AG∥CF;
S△FGC=GC·
FH=×
3×
=≠3;
故结论①、②、③正确.
二、填空题
6.(2011·
黄冈)如图:
矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8,则图中五个小矩形的周长之和为________.
答案
解析 在Rt△ABC中,AC=10,BC=8,所以AB=6,故五个小矩形的周长之和等于矩形ABCD的周长28.
7.(2011·
南京)如图,菱形ABCD的边长是2cm,E是AB中点,且DE⊥AB,则菱形ABCD的面积为________cm2.
答案 2
解析 在Rt△ADF中,AD=2,AE=AB=1,所以DE=,S菱形ABCD=AB·
DE=2×
=2cm2.
8.(2011·
绵阳)如图,将长8cm,宽4cm的矩形纸片ABCD折叠,使点A与C重合,则折痕EF的长为__________cm.新课标第一网
解析 因为折叠,设DF=D′F=x,则FC=8-x,D′C=AD=4,在Rt△D′FC中,由勾股定理,得x2+42=(8-x)2,解之,得x=3.连接AC交EF于点O,由折叠得∠FOC=90°
,在Rt△FCO中,CO=AC=×
=2,所以EO==,EF=2EO=2.
9.(2011·
广东)如图1,已知小正方形ABCD的面积为1,把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1;
把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2);
以此下去……,则正方形A4B4C4D4的面积为______________.
答案 625
解析 因为正方形ABCD的面积为1,所以AB=1,AB1=2,正方形A1B1C1D1的面积等于12+22=5;
同理,正方形A2B2C2D2的面积等于()2+
(2)2=25;
正方形A3B3C3D3的面积等于52+102=125;
正方形A4B4C4D4的面积等于(5)2+(10)2=625.
10.(2011·
德州)长为1,宽为a的矩形纸片(<
a<
1),如图1那样折一下,剪下一个边长等于矩形宽度的正方形(称为第一次操作);
再把剩下的矩形如图2那样折一下,剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形(称为第二次操作);
如此反复操作下去.若在第n此操作后,剩下的矩形为正方形,则操作终止.当n=3时,a的值为____________.
答案 或
解析 由题意,可知当<a<1时,第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为1-a,所以第二次操作时正方形的边长为1-a,第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a,2a-1.此时,分两种情况:
①如果1-a>2a-1,即a<,那么第三次操作时正方形的边长为2a-1.
则2a-1=(1-a)-(2a-1),解得a=;
②如果1-a<2a-1,即a>,那么第三次操作时正方形的边长为1-a.
则1-a=(2a-1)-(1-a),解得a=.
故答案为或.
三、解答题
11.(2011·
广州)如图,AC是菱形ABCD的对角线,点E、F分别在边AB、AD上,且AE=AF.
求证:
△ACE≌△ACF.
解 证明:
∵AC是菱形ABCD的对角线,
∴∠CAE=∠CAF.
在△ACE和△ACF中,
AE=AF,∠CAE=∠CAF,AC=AC,
∴△ACE≌△ACF.
12.(2011·
衢州)如图,△ABC中,AD是边BC上的中线,过点A作AE∥BC,过点D作DE∥AB,DE与AC、AE分别交于点O、点E,连接EC.
(1)求证:
AD=EC;
(2)当∠BAC=Rt∠时,求证:
四边形ADCE是菱形;
(3)在
(2)的条件下,若AB=AO,求tan∠OAD的值.
解
(1)解法一:
证明:
∵DE∥AB,AE∥BC,
∴四边形ABDE是平行四边形,
∴AE∥BD,且AE=BD.
又∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
∴AE∥CD,且AE=CD,
∴四边形ADCE是平行四边形.
∴AD=CE.
解法二:
∴四边形ABDE是平行四边形,∠B=∠EDC.
∴AB=DE.
∴BD=CD.
∴△ABD≌△EDC(SAS).
∴AD=EC.
(2)解法一:
∵∠BAC=Rt∠,AD是斜边BC上的中线,
∴AD=BD=CD.
又∵由
(1)得四边形ADCE是平行四边形,
∴四边形ADCE是菱形.
∵DE∥AB,∠BAC=Rt∠,
∴DE⊥AC.
解法三:
∵四边形ABDE是平行四边形,
∴AE=BD=CD.
又∵AD=EC,
∴AD=CD=CE=AE.
(3)解法一:
解:
∵四边形ADCE是菱形,
∴AO=CO,∠AOD=90°
又∵BD=CD,
∴OB是△ABC的中位线,则OD=AB.
∵AB=AO,
∴OD=AO.
∴在Rt△AOD中,tan∠OAD==.
∴AO=CO=AC,AD=CD,∠AOD=90°
∴AB=AC.
∴在Rt△ABC中,tan∠ACB==.
∵AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA.
∴tan∠OAD=tan∠ACB=.
13.(2011·
南京)如图,将▱ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.
△ABF≌△ECF;
(2)若∠AFC=2∠D,连接AC、BE.求证:
四边形ABEC是矩形.
解
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF.
∵EC=DC,∴AB=EC.
在△ABF和△ECF中,
∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,
∴△ABF≌△ECF.
∵AB=CD=EC,AB∥EC,
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴AF=EF,BF=CF.
∴∠ABC=∠D.
又∵∠AFC=2∠D,
∴∠AFC=2∠ABC.
∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,
∴∠ABF=∠BAF.
∴FA=FB.
∴FA=FE=FB=FC,
∴AE=BC.∴▱ABEC是矩形.
∵AB=EC,AB∥EC,
∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE.
∴∠AFC=2∠BCE.
∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,
∴∠FCE=∠FEC.
∴∠D=∠FEC.∴AE=AD.
又∵CE=DC,
∴AC⊥DE.即∠ACE=90°
∴▱ABEC是矩形.
14.(2011·
宁波)如图,在▱ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线,过A点作AG∥BD交CB的延长线于点G.
DE∥BF;
(2)若∠G=90°
,求证:
四边形DEBF是菱形.
在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD.
∵E、F分别为边AB、CD的中点,
∴DF=DC,BE=AB,
∴DF∥BE,DF=BE.
∴四边形DEBF为平行四边形.
∴DE∥BF.
(2)证明:
∵AG∥BD,
∴∠G=∠DBC=90°
∴△DBC为直角三角形.
又∵F为边CD的中点,
∴BF=CD=DF.
又∵四边形DEBF为平行四边形,
∴四边形DEBF是菱形.
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